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Zmn-0371 陈定学:明确自然数体系的符号学原理及其意义

已有 396 次阅读 2020-11-25 17:46 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0371 陈定学:明确自然数体系的符号学原理及其意义

【编者按。下面是陈定学先生发来的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

明确自然数体系的符号学原理及其意义

            陈定学

  (安徽省合肥市第四人民医院)

 

内容摘要:从符号组合角度看,每个自然数都是由组合码和元序列码两部分组合而成;所有进制的数系都遵循着相同的符号组合原理自然数的符号组合模式有左组合码右元序列码左元序列码右组合码两种元序列+元序列符号的无限次组合延伸是自然数体系从有限数体系向无限数体系跃迁的机制

 

关键词:符号组合规律;元序列;组合码;元序列码;组合模式;

 

<>自然数的符号组合之惑

自然数是通过符号表达基序信息的,从这意义上说,自然数体系是一套符号体系。当前,虽然用阿拉伯数字符号构造的十进制自然数体系被数学界确立为全人类的通用数系但是数学界对于自然数(符号)体系的构造原理却鲜有论及

 

如果在知乎或百度上有奖提问十进制数89的后继为什么是用10两个符号的左右组合成的10能不能用00组合或01组合或11组合呢?恐没有人能给出明确的回答

 

众所周知,当前的十进制数系是人类在漫长的生活实践中摸索着慢慢建立起来的,89的后继用”10之所以被广泛接受,并不是因为这样组合基于了某种确定的构造逻辑或方法原理,而是因为这样组合所构造的序列及数关系,能够被人类的生活实践验证为正确(真),所以就这么固定下来了,至于为什么正确,组合的方法原理是什么,是否还有其它组合方法等问题,数学界至今未见论及(也许笔者孤陋寡闻)。

 

 

 

<>明确自然数符号组合原理的意义

 

自然数系列是一套严密的逻辑关系体具有传递性三岐性1等逻辑学特点任意两个自然数之间必然是大于小于的包含与被包含关系绝不会出现等于无关系的情形,可见自然数体系是一套完备的符号逻辑系统这样的符号系统不可能没有可归纳的同一性的构造规律

 

从认识论角度明确自然数的符号组合原理是必要的,不仅能从符号学角度揭示自然数体系的构造原理,从原理上弄懂89的后继为什么是”10”(实际上也可以是”01”,见4.3章节),还能解决很多数论问题。譬如”0是不是自然数这个至今仍争议不定〔2〕的数论问题,在本文视角看来,0是元序列中的打头号,具有始发、空位内涵〔3〕,0毫无疑问是自然数(符号)。

 

除了以上显见的表层意义外,本文还有以下三方面重要意义。

 

 

1、本文明确了自然数的符号组合原理,为研究各种进制数的性质提供了积极的方法论工具(详见5.1章节);

 

2本文解决了自然数体系如何从有限数体系跃迁为无限数体系的认识论问题(5.2章节)

3、本文从符号的形体结构上解释了为什么所有的古数都构造不出合格数系(5.3章节)

 

 

<>元序列”是自然数体系是核心要素

 

在没讲解自然数的符号组合规律之前笔者认为有必要铺垫性地提出一些有助于解构自然数体系的概念先从元序列概念说起

 

任何符号任何进制的自然数体系的构造最初都是从对元序列的构造开始的所谓元序列是指构造者用自定义选择的两个或两个以上的符号在一维空间上对它们的排列位置作定格固定后所形成的一组静态的符号序列

(笔者在下文中用“<>号把组成元序列中的符号括起,作为对元序列的标记

 

构造元序列的符号是广义的实物、字符、图形、图像但凡视觉上有封闭轮廓的形相物个体都可以用来构造元序列譬如用abc三个英文字母可以构造出元序列<abc>构造者根据这个元序列,以及笔者给出的自然数的符号组合原理(见第四章节就可以构造出一套三进制的自然数(符号体系

 

元序列是构造数体系的原始材料,例二进制数体系的元序列是<01>十进制数系的元序列是<0123456789>十六进制的元序列是<0123456789abcdef>

 

元序列是自然数体系生长展开的种子基因自然数的一切性质皆来自元序列元序列的性质有以下几方面:

 

3.1元序列是进制数的定义者

 

一般而言元序列中有多少个符号就能构造出多少进制的自然数体系4〕,譬如01二进制数体系用01两个符号构造的所以是二进制十进制数用0~9十个符号作元序列构造的所以是十进制

 

3.2元序列是自然数基序及关系产生的本源

 

自然数(符号的基序内涵及本质都是基于元序列符号之间的空间位置关系推导出的给出任一元序列(几个书面符号的固定排列或自然界中的一排树一排房屋的静态排列),就可以按进制的数阶倍率关系推算出用这种元序列构造的自然数个体(某种组合型态所表示的基序内涵譬如在用<>作元序列构造的三进制自然数体系中下中下上这个三进制自然数与十进制自然数69是等价的——下中下上”这个组合,是元序列<>按自然数的符号组合规律(见第三章),从”上上”组合开始,组合排列到第69次时所形成的组合型态27х2+9х1+3х2+0=69)反之我们也可以把任一十进制自然数转换为某种元序列的非十进制自然数譬如随机给出一个十进制数81这个数在元序列<abcde>的五进制数体系中相当于组合型态dbb(25х3+5х1+1х1=81);<西>四进制数系中81则相当于组合型态西西东西表示的基序(64×116×14×01×1=81)。

 

 

3.3元序列是自然数(符号的生产者

 

自然数只能以符号形式被人类识别应用自然数都是用符号构造的具体说每一个自然数都是由组合码元序列码两部分组合而成5〕,元序列码即在任一自然数末位上出现的那个符号元序列码只在自然数的末位上出现除了末位上的元序列码其它数位上的符号合在一起统称为组合码”(单个符号的自然数组合码是元序列中的打头号,例如十进制数3的组合形式是”03”),以十进制自然数5692为例它是由组合码569和右侧末位上的元序列码2两部分组合而成

 

元序列码和组合码都来自元序列组合码最初也是由元序列符号两两组合产生的所以笔者说元序列是自然数符号的母体生产者

 

<>自然数的符号组合规律

 

交代完了元序列概念以及派生的组合码元序列码等概念就可以通过这些概念直观地讲解自然数的符号组合规律了

 

自然数体系的符号组合规律先用元序列中的第一个符号与元序列中的所有符号作左右组合并依次排列然后再用元序列中的第二个符号与元序列中的所有符号左右组合并依次承接排列如此类推当元序列中的所有符号都两两组合穷尽后再用前期生成的序列作为组合码继续与元序列中的元序列码组合并依次承接排列这样不断生成的序列(组合码的依次排列与元序列码的不断组合就会不断递进延伸着自然数序列组合码就像滚雪球一样位数越来越多构造的自然数位数也越来越多构造的自然数序列也越来越长如此不断操作并成了自然数及其序列的构造产生过程

 

(说明以上陈述的构造原理是当前自然数采用的左组合码码右元序列码组合模式左元序列码右组合码模式也可以构造自然数见本文4.3章节)。

 

4.101二进制数的符号化构造为例讲解以上陈述的自然数体系的构造原理

 

01二进制自然数的元序列是<01>构造01二进制自然数体系的步骤是:先用0分别与<01>中的01作左右组合并依次排列第一批次可得到组合排列0001(0是二进制数系中的空位号不表示基序内涵在左侧添加上空位号不影响该数的基序性质这么添加是为了整体上呈现自然数的符号组合逻辑);再用1<01>中的01分别组合第二批次可得1011把两次的组合排列连贯成一个序列并得到二进制序列的前四个00011011根据组合规律可推导出11的后继是用组合码10与元序列中的0组合成的100(要把100分解为100两部分来理解其中左侧的10是组合码右侧的那个0是元序列<0,1>中的元序列码0)。

 

为了便于区别组合码和元序列码以及直观呈现组合码和元序列码是如何组合构造自然数及其体系的笔者下文开始把组合码用下画横线作标注(元序列码不另作标记了元序列码只占用一个数位即右侧末位不标也容易识别)。

 

 

 

承接第二批次第三批次组合可得到100101第四批次组合得到110111第五批次组合得到10001001第六批次组合得到10101011把第一批次至第六批次的组合依次串连起来得到:000110111001011101111000100110101011这就是用<01>作元序列00组合开始历经六批次共12次组合构造出的二进制自然数的前12个数(它们分别与十进制自然数0~11对应),通过上面序列中的组合码出现的规律可见组合成二进制前12个数的组合码依次是(00),(11),(1010),(1111),(100100),(101101),不难发现是这6个组合码与元序列中的01重复组合生成了二进制的前12个数(组合规律要求每个组合码都要与元序列中的符号分别组合一次二进制元序列只有两个符号所以6个组合码可组合出12个二进制自然数若是十进制则组合十次后再换下一个组合码继续组合并排列见下文),12个数的组合码连成的序列也就是当前数学教科书中给出的01二进制序列中的前六6——011011100101

 

可见是元序列符号之间的两两组合产生了组合码组合码又与元序列中的符号继续组合生成新的序列如此不断组合与承接排列并构造出了<01>二进制自然数体系

 

4.2再以元序列<0123456789>构造十进制自然数体系为例讲解自然数体系的符号组合规律

 

 

十进制自然数的元序列是<0123456789>按自然数的符号组合规律用以上符号分别与以上所有符号作左右组合排列第一批次可得00010203040506070809第二批次可得1011……1819……

 

十进制自然数序列的组合码是十次一换元序列码一次一换十进制自然数组合码出现的规律图示如下:

 

00…… 009(第一批次)

 

11…… 119(第二批次)

 

22…… 229

 

33…… 339

 

44…… 449

 

55…… 559

 

66…… 669

 

77…… 779   

 

88…… 889

 

99…… 999

   100 101 ……  108  109

 

   110 111 ……  118  119

   ……

   220   ……   228  229

   ……

  100……   1008 1009

   ……

 

 

由上面列出的画横线的组合码与元序列码在十进制自然数序列中出现的规律可见十进制自然数的组合码依次是01234567891011……(即阵列竖看出现的画横线的序列也即当前数学教科书上说的自然数序列,这个序列也是十进制自然数的组合码序列,用这个序列依次与元序列码组合,就构造出了组合意义的自然数序列)。

 

 

从自然数的符号组合规律可以看出任何一个自然数(符号都是由右侧末位上的一位元序列码和左侧所有数位合在一起的组合码两部分组合而成譬如自然数15462它是由组合码1546和元序列码2左右组合而成由此规律可见五位数的自然数组合码即左边的四个数四位数自然数的组合码即左边那三个数两位数自然数的组合码即左边的那个符号组合码和右边的元序列码一样最初都来自元序列

 

组合码和元序列码容易混淆二者的区别在于组合轮换的次数构造序列时不论多少进制数的序列元序列码每次组合都要换一次(按元序列顺序循环使用),而组合码则p次组合换一次(p是进制数)譬如构造十进制自然数序列时组合码十次一换元序列码一次一换在构造十六进制数的序列时组合码则十六次一换元序列码仍然是一次一换

 

4.3当前人类通用的左组合码右元序列码的组合模式并不是必然唯一的

 

自然数的组合码和元序列码的位置并不是固定不可变的当前人类通用的十进制数和二进制数都是按左组合码右元序列码模式组合构造的笔者通过大量的组合实践表明把组合码与元序列码的位置互换一下同样可以构造数左组合码码右元序列码这种组合模式也可以构造数

 

下面笔者按左元序列码右组合码模式用元序列<0123456789>重新构造十进制数及其序列(笔者在每个数的后面标上通用的十进制数以作对比区别):

 

00(0),10(1),20(2),30(3),40(4),50(5),60(6),70(7),80(8),90(9),01(10),11(11),21(12),31(13),41(14),51(15),61(16),71(17),81(18),91(19),02(20),12(21),22(22),……89(98),99(99),001(100),101201……899(998),999(999),0001(1000),1001(1001),2001(1002),……

 

 

 

通过上面列出的序列对比可见新组合模式和原左元序列码右组合码模式构造出的十进制数整体的区别在于左右颠倒原本89的后继组合是左10的组合10按笔者提出的新组合模式89的后继就成了左01的组合01

 

左元序列码右组合码模式构造出的十进制数两两之间的基序关系当然也得随之变化新组合模式的十进制数的加乘演绎式选列如下

 

加法演绎式(部分

010=10020=20……090=90

1020=30……1090=01

2030=50……2090=11

3040=70……3090=21

……

9090=81

 

说明上列的00102030405060708090实际上是0123456789(原自然数0~9十个数符号添加上空位号是00010203040506070809组合码在左边),笔者特地在它们的右侧添加上了空位号0(在新组合数的右侧添加空位号0与在原自然数的左侧添加空位号0是同理的,都是空位号的添加),笔者之所以这么添加有三方面目的意义1是为了说明组合码与元序列码的左右位置可自定义选择(组合码和元序列码的位置可以调换);2是为了明晰呈现自然数的符号组合规律添加上空位号0才能体现符号组合之意才能理解元序列号码两两组合并依次排列这句话3是为了示意进位的方向进位都是向空位号方向的空位号在哪边就向哪边进位新组合法是自左向右进位3090=21为例先从左边加39=21过程可表述为本位写2再向右高阶上进1右高阶上原来位值是空位号01后位值变成13090=21见下竖式图(0右上方的角标“¹”是对进一的示意)。

    Untitled-1.jpg

 

说明二以上列出的加法演绎式并不是对原有自然数及其演绎式的机械颠倒(不是通过把原自然数的0~9加法口诀表作颠倒得来的),这些演绎式是通过元序列<0123456789>中各符号所在的空间位置关系推演出的6〕,这些演绎式的得来与原来的自然数基序及关系无关(原自然数的加乘演绎式也是通过形相物的空间关系推导出的,二者是彼此独立、相互并列的两种模式,二者并没有基序产生上的因果关系)。

 

 

乘法演绎式(部分

 

根据以上建构出的加法演绎式和乘法的意涵(m×n表示nm相加),运用累数法可一次性地建构出新组合数的元序列符号(数)两两之间的乘法演绎式(0~9十个数之间的乘法口诀表)。

 

0乘以123456789中的任何其数积都=0

 

1乘以任何数的积都是那个数

 

2×2=42×3=6……2×5=012×9=81

 

3×4=21……3×9=72

 

4×4=614×5=02……4×9=63

 

5×5=52……5×9=54

 

6×6=63……6×9=45

 

7×7=947×8=657×9=36

 

8×8=468×9=27

9×9=18

 

 

 

运用以上的新数加乘演绎式作四则运算演绎

 

例一51×3=54

Untitled-2.jpg

       

  该乘法过程讲解自左向右逐个相乘先算3×5根据乘法演绎式可知3×5=51在本位写5再向左上阶进1(高阶在左!),再根据乘法演绎式1×3=3加上右低阶上进的1可算出右高阶上的位值是4于是得出51×3=54

 

例二9÷52=63.0竖式如下

 

      

 

 

 

该除法过程讲解9Untitled-3.jpg309-57=51(0向右高阶借1当十55右上阶的9被借去1后是88-7=1);5152不够除再在左边添加上0051526正好除尽(52×6=051)。

 

验算63.0×52=9

   

Untitled-4.jpg

 

验算过程讲解第一次乘6×5=03本位写0向右高位进33×5=51加上进的381(513=8135同阶对位),这样第一次得乘积081第二次乘6×2=21本位写2向右阶进12×3=6加上进的17第二次得乘积27把两次的乘积对位相加08127=009(28同阶对位),再去掉63.0这个数上的两个小数点位63.0×52=9验算显示用新组合法构造的数及其加乘演绎式除逆运算都能得出自洽统一的结果(用原自然数检验9÷25=0.36),说明用新组合法构造的自然数和原自然数加乘演绎式具有相同的运算功能说明用新组合法构造的自然数和原组合法构造的自然数具有相同的数学性质和逻辑完备性

 

<>本文思想意义解读

 

首先要强调一点本文耗费大量笔墨讲解了用左元序列码右组合码模式构造自然数体系的可行性并不是要革新现有的十进制自然数体系及其组合模式而是在论证自然数体系的符号性人造性是在解构自然数体系的构造原理

 

 

 

 

本文的思想意义集中体现在以下几个方面

 

 

5.1本文明确给出了自然数的符号组合规律对于进一步研究多种进制的整数有理数提供了积极的方法论工具

 

从纯数学研究角度看掌握了自然数体系的符号组合规律才能熟练正确地构造各种符号各种进制数的数体系(正确的组合方法是不同进制数之间能够实现准确换算的保障),才能进一步研究不同进制数的整数以及有理数的性质(目前已知除尽除不尽与除数与进制有关十进制数系中除数能写成2^p×5^q的都能被除尽譬如2.5456.46.258等数都能被任何一个十进制数除尽除数能不能被整除则与被除数与进制有关被除数尾数为进制数质因数及其整倍数的不会是质数譬如十进制数中没有尾数为25的质数六进制数中没有尾数为23的质数)。

 

 

5.2本文提出的元序列元序列符号的无限次组合延伸的自然数构造论从认识论角度打通了自然数体系从有限基数体系升级为无限基数体系的逻辑路径

 

基于元序列符号的空间位置(这里的符号应作实物符号理解),就可推导出每个符号所在的基序位推导出每个符号指代的基序而承接在元序列之后的用元序列符号组合虚构的基序(这里的元序列符号则指图样字符等书面符号相对于自然界中的实物的基序来说用字符在纸张平面上的左右组合表示的基序相当于虚构基序),则能从逻辑上无限延伸元序列的基序(理论上元序列符号可以按固定的组合规律在一维空间中无限组合排列下去),从而让自然数体系从有限数系升级为可涵盖所有有限数的无限数系满足了数的运算需要

 

另外,本理论对目前数学界用集合概念定义自然数及其体系的方法是批判性的,很显然,只有把元素符号化才能进一步通过符号组合无限次的”虚构基序”,才能构造出无限的自然数系,而元素和集合概念并不能解释自然数体系的符号组合之妙,不能解释自然数体系是如何从有限基数体系跃迁为无限基数体系的。

 

 

5.3本文提出的元序列元序列符号的无限次组合延伸自然数体系构造论从原理上解释了为什么罗马数巴比伦数等众多古数不能发展为合格数系的原因

 

 

上文(5.2对自然数体系从有限基数向无限数跃迁的剖析表明用纯符号组合虚构基序的方法才能让自然数体系从有限走向无限这就对造数的理念和数的视觉型态提出了要求要求元序列码要能够适应组合要求不仅要求每个元序列符号结构要简单紧凑(不容易增减笔画),要求相互之间有较高的视觉区别性(不易混淆),还要求要摒弃人类历史上绝大多数古数采用的基数图示法造数理念因为一旦在数符号中直观呈现了数的基数信息要么会面临某个基数大到无法在一维空间上排列因而无法继续造数的局面出现学生写字画万笔的困境7〕,要么就得被迫中断基数图示法造数逻辑改用符号意义约定法继续造数这样就会破坏整个数系的逻辑同一性使得该数系无法执行进制逻辑进而失去运算功能

 

 

以我国古数和罗马数为例我国古数和罗马数的123分别写为一三和||||||,显见的,这些古数符号中都直观地图示了123三个自然数所表示的基数显然按这样的造数逻辑稍大点的数就无法书写排列了所以我国古数和罗马数到4就中断了一开始的基数图示法逻辑(罗马数把4写成”Ⅳ”,我国古数把4写成”四”,都与前继”|||和”三”失去了构造上的逻辑联系)所以我国古数和罗马数都不能执行进制逻辑都没有完善的运算功能只能作为一套简单的记数用数(只能记录简单基数或标记简单序数)。

 

另外退一步看古数的基数图示法造数理念不仅会局限于大数的图示也会局限于数的有限性不难想象一套数系的基数有上限,必然不能满足数的运算对于数的无限性的要求,这样的数也发展不出有理数

 

 

————————————————————

参考文献:

1、王尚志.”为什么要把0作为一个自然数?J.数学通报2001年第1期;

2黄燕李祎. 0真的应该成为自然数吗,〔J数学通报.2015年第2

3陈定学.自然数的符号学原理4.1.章节.N.https://www.jianshu.com/p/e9e7fc0d103d

4、陈定学,自然数的符号学原理”.4.1.1章节.N

.https://www.jianshu.com/p/e

5解释可以把少数几个单符号的自然数添加上空位号(组合码)使之成为组合态譬如在单独符号2的左边添加上0写成”02

6、陈定学,自然数的符号学原理第五章·

N.https://www.jianshu.com/p/e9e7fc0d103d

7韩雪涛.数的故事”.21,〔M.湖南科学出版

 

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