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Zmn-0373 薛问天：跨过门檻进入美丽的数学殿堂，评奇文:《“极限理论”十大罪状》。

已有 3097 次阅读 2020-11-26 11:47 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0373 薛问天：跨过门檻进入美丽的数学殿堂，评奇文:《“极限理论”十大罪状》。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《“极限理论”十大罪状》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

跨过门檻进入美丽的数学殿堂，

评奇文:《“极限理论”十大罪状》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 偶然在网上看到一篇奇文:《“极限理论”十大罪状》。他所列的“极限理论”十大罪状是:

【第一条：一坨牛粪，压倒鲜花

第二条：魔术起家，逆天悖理

第三条：出尔反尔，两面三刀

第四条：传播巫术，蛊惑人心

第五条：指鹿为马，贼喊捉贼

第六条：小题大做，无病呻吟

第七条：装神弄鬼，故作高深

第八条：移花接木，嫁祸他人

第九条：偷梁换柱，反客为主

第十条：误人子弟，祸国殃民】。

作者不详。像是一个一年级的大学生，刚从中学毕业，初次学习高等数学课。接触到数学分析中的一些基本概念。由于没有完全学懂，于是就发了一大堆牢骚，对极限理论进行了大肆的讨伐和【大批判】。

对这篇文章可以从各个方面进行评论。如针对大学生应有的严格认真的学习态度，谦虚谨慎的道德风尚，尊重科学尊重知识的科学精神，以及语言文风的基本文明礼貌......等。甚至都可以提高到消除十年动乱时期【批判反动学术权威】的文革流毒的高度。不过我在本文中只是针对文中提到的几个数学问题，从数学的角度进行些评论，指出该文作者在对这些问题认识上的缺陷和错误。

学习高等数学，是有一些认知上的门槛的。出现了一些不同于中学所学知识的新概念。只有通过认真的思考，虚心地学习和理解，顺利地跨过这个门槛，才能进入丰富多采的美丽的数学殿堂。如果迈不过这个门槛，那就只能站在门外，从门缝里看数学，发发劳骚而已。:

该文很长，我只引用我评论的那部分。阅读原文请点击下述链接。:

《“极限理论”十大罪状》。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/73781334

(一)，极限理论消解了贝克萊悖论。

该文开始说的基本上是对的: 牛顿、莱布尼兹发明了微积分后，在实际应用中取得了巨大的成功。然而在背后的理论解释上存在着瑕疵。在求函数导数的过程中，牛顿先假设 Δx ≠ 0，对增量比函数Δy/Δx经过一连串运算，然后再令 Δx = 0，得到该函数的导数。如此一来，Δx 的取值前后出现了不一致的现象，用此方法求出的结果导数虽然正确，但逻辑上是有矛盾的。此即所谓的有名的【贝克萊悖论】。引发了历史上有名的第二次数学危机。

极限理论就是为了消解这个悖论，解除这个危机目的而产生的。并不像文中所说的什么【不过是数学家们为了化解第二次数学危机而做的一种解释，一套“辩护词”。】

极限论澄清了牛顿的导数概念中的无穷小既等于0 又不等于0的模糊含义。清晰地把导数定义为当Δx→0时，增量比Δy/Δx的极限。由于极跟的不可达性，始终有Δx≠0 。从而从根本上解除了Δx≠0同Δx=0的矛盾，消解了贝克萊悖论。极限论完满地解决了第二次数学危机的问题。奠定了微积分的坚实的理论基础。

文中所说的【极限理论的成功，不是因为它真的能消除第二次数学危机，也不是因为它是严谨的科学，更不是因为它必不可少，而是因为它具有巨大的商业价值。】这些论断完全是无视客观的历史事实，无中生有子虚烏有的主观臆想和捏造栽赃。′

(二)，关于0.999...=1的问题。

这位同学接受不了「0.999...=1」这个事实。他在文中说:

【在中学数学课上，教师教导学生“整体大于部分”。两个小数比较大小时，先比较整数位，整数位大的那个数更大。例如 0.99 和 1.0 相比，由于0小1大，所以 0.99 < 1。按照这个规律，无论“0.”后面有多少个9，它都小于1，即 0.999… < 1。

这是天经地义、理所当然的事，从来也没有过什么争议。

但是到了大学，数学家们变了一个魔术，让所有人大跌眼镜。设 x = 0.999…，扩大 10 倍则有10x = 9.999… = 9 + 0.999… = 9 + x移项并合并同类项，9x = 9。于是，x = 1

即 0.999… = 1。......】

这位同学的问题出在哪里？出在没有分清有穷小数同无穷小数的区别。如果小数点后有有穷个位0.999...9，(这里三个点的省略号表示省略的有穷个位)，这是有穷小数，所以不管有多少个位，都有0.999...9＜1。也就是说，任何位的有穷小数0.999...9同1的差都是一个大于0 的数。

但是如果小数点后有无穷个位0.999...，(这里三个点的省略号表示省略无穷个位)，这是无穷小数，所以0.999...=1。用在有穷小数下成立的规律0.999...9＜1，作为根据来推断在无穷小数下也成立，认为对于无穷小数0.999...＜1。甚至认为【逻辑与实践都已经证明：0.999… = 1 是错误的。】这就犯了推理的错误，因为无穷小数和有穷小数是不同的对象，不能作这样的推理。

所以说在认知过程中，从只知道到有穷小数到认识到还有无穷小数的存在，以及认识到无穷小数同有穷小数的区别，这是认识上的一个飞跃。只有扩大了视野，完成了这个认识上的飞跃，才能真正接受真正的高等数学，认识到这不是魔术，而是真正的科学真谛。

(三)，对极限【不可达:】所指理解的错误。

从这位同学的表述來看。他对极限定义的表达大体还是正确的。极限是「不可达的」，不像有些人把极限分为【可达的极限】和【不可达极限】。只是该同学对【不可达】的所指的理解不对。他说【对于函数y = 1/x 来说，当 x → ∞时，y 有极限值是 0，记作 lim1/x = 0（x → ∞）。这个0，具有不可达性。无论在任何情况下，1/x 也不可能等于0，即 1/x ≠ 0】。还说【lim1/x = 0.5（x → 2）。这个0.5，按照极限概念的定义，同样具有不可达性。无论在任何情况下，1/x 也不可能等于0.5。即 1/x≠ 0.5】。

这样的理解不可达的所指是不对的，不可达指的是，自变量x≠∞，不是指函数值1/x≠0 。同理，第二个例子不可达指的是自变量x≠2，不是指函数值1/x≠0.5。

关于函数的极限，我们说当x→a时f(x)→A，就是讨论自变量x无限趋近于a但不等于a时，函数f(x)的一种属性: 函数值f(x)无限趋近于A。通俗点讲就是讨论，在自变量x未到达a前的函数值f(x)的情况。这个【不可达】指的是自变量x不等于a，并不是指的函数值f(x)，并没有要求在x≠a时f(x)≠A.。它可以不等于极限值A，也可以等于极限值A。例如对于函数f(x)=1/x→0.5(x→2)。在x≠2时，f(x)=1/x≠0.5。但对于常函数f(x)=3→3(x→2)，在x≠2时，f(x)=3是成立的。这位同学说得很对，对于常函数，极限也是不可达的，但是f(x)=3(常函数)→3(x→2)，讨论x→2时的极限，不可达指的是x≠2，指的并不是说x≠2时f(x)≠3。所以不能由f(x)=3→3(x→2)，即【3→3】，就由不可达推出【lim符号后面的3永远达不到等号后面的极限值3，即 3≠3】。这是对不可达所指理解的错误，是推理的逻辑错误，实际上极限理论一点矛盾都没有。

(四)，∞是无限极限(无穷大)的符号，不是数。

要知道「∞是无限极限(无穷大)的符号，不是数。」这位同学把∞看作数，并作为数一样进行运算。他说【无穷大加上无穷大，其结果仍然是无穷大；无穷大加上一个常数，其结果仍然是无穷大。即∞ + ∞ = ∞，∞ + A = ∞。根据上述规则，我们可以写出下列式子∞ + 1 = ∞，∞ + 2 = ∞，。∞ + 3 = ∞，∞ + 4 = ∞，∞ + 5 = ∞......。对上述各式化简，两边同时减去无穷大∞，得到正面的式子: 1 = 0，2 = 0，3 = 0，4 = 0，5 = 0......。既然1、2、3、4、5都等于0，当然有1 = 2 = 3 = 4 = 5。

可见，极限规则荒谬、无耻，与巫术没有任何区别，它让数学乱得一塌糊涂，成为正常人的地狱、精神病人的乐园。】

由于∞不是数，更不是自然数，把它当作自然数一样來进行算术演算，当然是错误的。这不是极限理论的错，极限理论中没有这些内容，这是这位同学自以为是随心所欲的错误推论。

(五)，关于无穷级数。

该文对无穷级数求和的下式提出了质疑。

说这是【明目张胆地违背数学的基本原则，在计算的中途强行加入极限符号，恬不知耻地得出非法的结论，强行规定无穷级数的和等于 1。】

这种指责实际上是不了解无穷级数求和的基本概念和方法。实数的加法运算只定义了有穷个项的加法，对什么是无穷个项相加的运算结果，原本并无定义。在有了极限概念后，才把无穷级数的和定义为其部分和序列的极限。上式的第二个等号前的两项相等，说明无穷小数就是无穷级数，0.999...=0.9+0.09+0.009+......。

而第二个等号说明这个无穷级数的和等于其部分和序列Sn在n→∞时的极限，即=lim_[n→∞]Sn。

由于Sn=0.9+0.09+0.009+...+0.0...09(n位)=1-0.0...01(n位)=1-1/10ⁿ。当n→∞时，Sn→1。于是得出无穷小数(即无穷级数的和)0.999...=1。所以说，只要分清有穷级数和无穷级数的区别，以及:认可无穷级数的和等于部分和(有穷级数)序列的极限，那么就不会对上式的推导提出任何质疑。

(六)，关于函数的连续性

该文认为引入函数的连续性是【小题大做，无病呻吟】。【它比中学的方法复杂，繁琐，抽象，折腾半天，却得不到的任何新信息。】

该文对函数连续性的定义叙述得还算大体准确。即：如果函数f(x)在x=a处的左极限值、右极限值都存在且相等，并且与 x = a点处的函数值f(a)恰好相等，即可以得出结论：函数 y = f(x)在x = a这一点连续。

问题在于该文作者对「并不是所有的函数都是连续的」这点认识不足，他所看到的不连续函数太少。由于:他所见到的初等函数都是连续的，于是误以为函数在其定义域中都是连续的。例如他错误的认为【一个函数是否连续，只要简单地看它的定义域就可以了。例如函数y = 2x 的定义域是（-∞, +∞），函数在这个区间里都是连续的。】他所举的例子只是初等函数，当然都是连续的。他的问题是学识还太浅，当他进一步学习下去，看到了很多不连续的函数后，自然就会理解，引入连续函数的重要性，就不会再认为研究函数的连续性是【小题大做，无病呻吟】了。

(七)，严谨的ε - δ语言

极限概念，在直观上不难理解，正象该文所说【并不复杂，也不算特别难懂。】函数极限的定义可以极其简单的描述为：“如果一个函数f (x) ，当自变量x无限接近于某点a时，相应的函数f(x)可以无限接近一个数值A，这个数值A就称为函数f (x) 在x趋近于a点时的极限。”

问题是数学不能只满足直观上清楚，还要用严格的语言把它确切地陈述出来。在上述陈述中用了【无限接近】这个词。在严格的数学中，就要把自变量x【无限接近】于a，和f(x)【无限接匠】于A以及这两者的关系说清楚，这就有了如下的定义。【如果对于任意给定的正数ε，总存在着一个正数δ，使得对于滿足不等式 0＜| x - a |＜δ的一切 x，所对应的函数值 f (x) 都满足不等式 | f (x) – A |＜ε，则常数 A 就叫做函数 y = f (x) 当 x → a时的极限。】

这个定义对初学者感到有些陌生，但所用的都是一些常用的逻辑词彙，含义都是非常清晰的。逻辑非常严格，意思非常清楚。把什么是自变x【无限接近】于a和函数值f(x) 【无限接近】于A的确切含义，讲得明明白白，没有任何含混的地方。

同学们只要认真虚心学习，多学几遍，多作些深入地比较分析，就会发现这是一个非常精辟的数学定义。它高度体现了数学的严谨和语言的简洁与精准。从中可以学到如何表达数学概念的严格方法。

真正学懂了，就会觉得受益匪浅，而不会觉得它是【装神弄鬼，故作高深】了！

该文还有很多谬论，由于未涉及具体数学问题，就不在此一一评论了。

(全文完)

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