博文

Zmn-0366 薛问天：概念的混淆是产生错误的重要根源。评师教民先生《0362》的两篇文章。

已有 1462 次阅读 2020-11-21 10:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0366 薛问天：概念的混淆是产生错误的重要根源。评师教民先生《0362》的两篇文章

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0362》师教民先生两篇文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

概念的混淆是产生错误的重要根源。

评师教民先生《0362》的两篇文章。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 师教民先生《0362》的两篇文章，重点讨论了我对他提出两个问题的回答。他在《0357》中提出的两个问题是:

【1)您说的上述两个函数中的函数y=f (x) 是否组成我们已经达成共识的复合函数 y=h (y)的两个函数 y=f (x)和 x=g (y)中的函数 y=f (x)？

2)您说的上述两个函数中的函数 y=f (x)的自变量 x 是否等于组成复合函数 y=h (y)的函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 g (y)？】

说明：上述 1)，2)中的〖上述两个函数〗是指函数 y=f (x)和复合函数 y=f (x) [x=g (y)]．

我在《0359》己经作了明确的回答。

对问题1)我的回答是「是，没错。」明确的说「函数y=f (x) 是组成复合函数 y=h (y)的两个函数之一，另一个函数是x=g(y)。」

对问题2)，我的回答是「错，不是。」

作为两个函数之一的y=f(x)，ⅹ是其「自变量」，对于函数f(x)的自变量x，既不要求令x=g(y)，也不要求令x≠g(y)。

(一)，令函数y=f(x)的自变量x=g(y)，是使函数f和函数g构成复合函数的一种方法和手段，而不是函数y=f(x)所具有的一个属性。

当函数f(x)的ⅹ是「自变量」时，才是函数y=f(x)。在组成复合函数时，为求复合函数的映射f·g，按复合函数的定义，才令x=g(y) 。一旦令x=g(y)，x就已不是「自变量」了，此时的自变量是y不是x，x是复合函数的中间变量。也就是说，令x=g(y)后，函数己是复合函数y=h(y)了，而不是函数y=f(x)。也就是说令函数y=f(x)的自变量x=g(y)，是使函数f和函数g构成复合函数的一种方法和手段，而不是函数y=f(x)所具有的一个属性。

这里一共有三个函数，①是y=f(x)，②是x=g(y)，③是由y=f(x)和x=g(y)组成的复合函数y=h(y)。概念是如此明显清晰，①即y=f(x)，当然是组成的复合函数③即y=h(y)的两个函数之一。函数①即y=f(x)，作为一个独立的函数，x是其自变量。什么叫自变量，自变量就是可以在其定义域中任意取值的变量。作为函数f(x)，怎么可以要求其自变量x一定等于函数g(y)呢？令x=g(y)这是在求复合函数的映射值时的一项措施。令x=g(y)后，x就不是函数的自变量了，自变量就是y了。函数也己不是函数f，而是复合函数h了。因而自变量x是否等于g(y)并不是函数f(x)的一个属性，不存在【自变量x=g(y)的f(x)】这样的函数y=f(x)，也不存在【自变量x≠g(y)的f(x)】这样的函数y=f(x)。

师先生应当这么想就清楚了，作为复合函数组成一员的函数f是一个独立的函数，他不仅可以同x=g(y)组成复合函数f[g(y)]，也可以同另一函数x=w(y)，组成另一个复合函数y=f[w(y)]。要知道组成这两个不同复合函数的函数y=f(x)是同一个函数，你能说这个函数f(x)的自变量一定等于g(y)吗？显然不能这么说。因为x是f(x)的自变量，可以等于其定义域中任何值，也可以令其等于x=w(y)，组成另外的复合函数。

现在來看看师教民先生的分析有多么不讲理。师说【薛问天先生对 1)的回答是：「是，没错．」也就是说，薛问天先生已承认〖上述两个函数〗中的前一个函数 y=f (x)是组成复合函数 y=h (y)的函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 y=f (x)，故据复合函数的定义，薛问天先生说的函数 y=f (x)的自变量 x 等于 g (y)。】

【薛问天先生对 2)的回答是：「错，不是．」也就是说，薛问天先生已承认函数 y=f (x)的自变量 x 不等于 g (y)．这就与薛问天先生对 1)的回答中的【函数 y=f (x)的自变量 x 等于 g (y)】矛盾了．】

师先生在这里故意混淆概念。令【函数 y=f (x)的自变量 x 等于 g (y)】，这只是构成复合函数y=h(y)的一种方法，一项措施，并不是函数f(x)本身所具有的一个特性。不是说函数一旦是f(x)，函数 y=f (x)的自变量 x就一定要等于 g (y)。所以我的回答1)【函数y=f (x) 是组成复合函数 y=h (y)的两个函数之一，】并不意味着薛先生所推出的命题【函数 y=f (x)的自变量 x就一定要等于 g (y)。】

我的回答2)，作为一个独立的函数【函数 y=f (x)的自变量 x ，可以在其定义域中任意取值，不要求x=g (y)．也不要求x≠g(y)。】这并不是师先生主观臆想推出的结论【函数 y=f (x)的自变量 x 不等于 g (y)。】

因而所谓的【矛盾】，只是师先生主观推出的两个命题【函数 y=f (x)的自变量 x 等于 g (y)】和【函数 y=f (x)的自变量不x 等于 g (y)】的矛盾，而薛问天先生回答本身并无矛盾。

(二)，原來提问是个陷阱。

师教民在《0362》的第二篇文章中自己道出，他提出的问题原來是为我设置的一个陷阱。他设想的结果是，【不论薛问天先生对这两个问题回答是“是”还是回答是“否”，都能证明薛问天先生错误．】

没想到他的如意算盘不但没有实现，反倒充分暴露了他的概念混乱和逻辑混乱。

我对问题1)的回答是「是」。我们來看师先生的分析:【①如果薛问天先生回答的是“是”，那么编号为①的函数就成了 y=f (x) [x=g (y)]，因此编号为①和编号为⑤的函数就完全相同了，即函数 y=f (x)和 y=f (x) [x=g (y)]就是同一函数了．】

说明。按师先生的定义【y=h (y)，y=f [g (y)]，y=f (x) [x=g (y)]的编号分别为③，④，⑤；组成上述同一复合函数的函数y=f (x)和 x=g (y)的编号分别为①，②．】

我们再回过头來看看问题1)的内容【1)您说的上述两个函数中的函数y=f (x) 是否组成我们已经达成共识的复合函数 y=h (y)的两个函数 y=f (x∴)和 x=g (y)中的函数 y=f (x)？ 】

我回答「是」，即函数y=f (x) 是组成复合函数 y=h (y)的两个函数之一的 y=f (x)。按你的定义【组成上述同一复合函数的函数y=f (x)和 x=g (y)的编号分别为①，②】，函数y=f(x)的编号理应为①。怎么师先生竟然能从我的回答中得出【那么编号为①的函数就成了 y=f (x) [x=g (y)]，因此编号为①和编号为⑤的函数就完全相同了，即函数 y=f (x)和 y=f (x) [x=g (y)]就是同一函数了．】如此荒谬的结论來。根据什么能得出这样的结论？我的回答同你的结论，有什么逻辑关系？总得说点根据和理由吧！可见师先生的概念和逻辑己经混乱到何等程序。

(三)，怪胎f(x)[x≠g(y)]

我们前面己经讲了，令函数y=f(x)的自变量x=g(y)，是使函数f和函数g构成复合函数的一种方法和手段，而不是函数y=f(x)所具有的一个属性。特别是对师先生所提出的那个标记y=f(ⅹ)[x=g(y)]，不要产生误解。它只不过是复合函数的标记之一。它本身只不过是一个整体的符号。用它代表复合函数只是我们的一个约定。它代表的是复合函数。不要认为有了这个标记，就据此说复合函数是【自变量ⅹ等于x=g(y)的函数y=f(x)】。复合函数不是具有某种属性的函数f(x)。不要把复合函数h同函数f(x)相混淆，复合函数h和函数f这是两个不同的函数。在这点上一定要保持清醒的头脑，不可混淆。

f(ⅹ)[x=g(y)]，是复合函数的一个标记，标记的是确定的数学对象。但是师教民先生提出的f(ⅹ)[x≠g(y)]，却是一个不知是何物的怪胎。我之所以称其为怪胎，就是因为师先生始终给不出它的确切定义，说不清它是什么？

1)，关于f(ⅹ)[x≠g(y)]的定义，师先生只说过三句话。其中有一句话是说【函数 y=f (x)和函数 x=g (y)并没有组成复合函数，】当然也不能说: f(ⅹ)[x≠g(y)]是「函数y=f(x)同x≠g(y)组成的复合函数」，因为x≠g(y)根本就不是个函数，怎么能组成复合函数。

给某对象下定义要说的是该对象「是什么？」说它「不是什么」这不能作为对象的定义！

2)，师先说过的另一句定义是【将函数 y=f (x)和函数 x=g (y)这两个函数中的函数 y=f (x)记做 y=f (x)[x≠g (y)]，】说f(ⅹ)[x≠g(y)]就是函数y=f(x)，这样一來，所讲的x≠g(y)就是多此一举，多余的，说了白说。我就曾作过如此理解，但遭到了师先生《0339 》的否定。认为是【薛问天先生把他自己编造的观点强加给了我。】

3)，师先生讲的另一句话是【设函数 y=f (x)中的 x 不等于 g (y)】。师先生不愿意对其中的【x不等于g(y)】的含义作任何解释，而且还大言不惭地:说【如果是真的不清楚，那么薛问天先生与我就没有共同的语言了！】真是奇谈怪论，你自己都说不清楚，别人怎么能听得清楚。

师先生把【设函数 y=f (x)中的 x 不等于 g (y)】说成是对函数的【限制条件】。要知道函数y=f(x)的x是自变量，它可以取其定义域Df中的任何值，你限制它【不等于g(y)】是什么意思。这里g(y)并不是一个常数，是变量y的函数。是限制x不等于某个y的函数g(y)值，还是不等于函数g(y)所有值域中的数呢？根本就没有说清楚。不知你的原意是什么，你的限制条件是什么。另外限制后的结果又是什么，还是个函数吗？自变量是什么，还是x吗？函教g(y)中的自变量y又是这个函数的什么变量？不要傲慢地把观众都当做什么都不懂的「牛」，就可以为所欲为地胡乱「弹琴」。

那么f(ⅹ)[x≠g(y)]究竟是什么呢？师先生多次评说【薛问天先生根本就不知道函数还有定义域。】【反映出薛问天先生没有读懂或没有学会经典微积分理论或标准分析法或极限理论或第二代微积分的函数的定义．】

【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．例如：在函数 y=f (x) (x＞0)中，前边的 y=f (x) 是函数式，后边的括号内的 x＞0 是定义域．】

师先生为什么在这里说了这么多关于函数定义域的话，是想暗示(师先生没敢明说，直说)，他的怪胎y=f(ⅹ)[x≠g(y)]同函数 y=f (x) (x＞0)类同，前面y=f(x)是函数式，后面的[x≠g(y)]是定义域。能这样理解吗？显然不能。

先说y=f(ⅹ)[x=g(y)]，这是我们早己认可的标记，这是复合函数的标记，而标记的不是定义域是[x=g(y)]的函数f(x)。

再说y=f(ⅹ)[x≠g(y)]，果真[x≠g(y)]能成为函数y=f(ⅹ)的定义域吗，显然不能。g(y)是个函数不是常数，[x≠g(y)]其中有变量y，定义不出一个确定的集合。因而不像x＞0这样的表达式是可以唯一确定一个集合，使其作为y=f(ⅹ)的定义域。在这里y=f(ⅹ)的定义域是Df，在一般的表达式中都是省略掉的。师先生不会不知道函数表达中一般都省略掉定义域的内容。

有趣的是连师先生自己都不敢明说[x≠g(y)]是y=f(ⅹ)的定义域，却要批评薛某不懂定义域，暗示要作这样的理解。真是用心良苦。

师先生始终说不清楚y=f(ⅹ)[x≠g(y)]的定义是什么？所以我说它是个怪胎，在不确定的怪胎的基础上不可能作出任何推理和判断。不知师先生本人对y=f(ⅹ)[x≠g(y)]的含义是否清楚。如果清楚，根本不需要绕圈子，直接说出此函数的两大要素即可，它的映射是什么，它的定义域是什么？你能说清楚吗？说清楚就不会产生概念的混淆，而概念的混淆则是产生错误的重要根源。

我在《0359》中提出了我们应该取得共识的基本点。那就是我们讨论所涉及三个函数，三个导数和五个微分及其关系的基本概念。只有把这些概念澄清，才会取得共识，才会不犯错误。可惜师教民先生对此未做任何回应。

(全文完)

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录