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Zmn-0394 薛问天：充分认识【逻辑推理】在认知过程中的重要作用。评李鸿仪先生的跟帖

已有 2060 次阅读 2020-12-11 20:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0394 薛问天：充分认识【逻辑推理】在认知过程中的重要作用。评李鸿仪先生的跟帖。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《0375》文后李鸿仪先生的跟帖的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

充分认识【逻辑推理】在认知过程中的重要作用。

评李鸿仪先生的跟帖。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 康托定理的证明，它的反证法假定是【单位区间中全体实数集合是可列(可数)的】。这里用的概念是「可列」，而不是「列完」。′

(一)，「可列」和「列完」

【集合是可列(可数)的】这个概念在数学上有严格的定义，那就是【一个集合称为是可数(可列)的，当且仅当它能同全体自然数集合N建立一一对应(双射)关系】。「双射」即集合全体元素无重复的和无遗漏的映射。:

在数学中本无【集合是可列完的】这个概念。不过李鸿仪先生在这里给出了它的定义。李先生说【定义：若可把某集合全部元素列出，呈现在人们面前，则称可把该集合元素列完，这里，列出元素指可以写出元素的具体内容或与其相关的符号等表示法。】我早已说过，李先生也认可，由于人类受到时空的限制，所有的无穷集，它的元素不可能全部呈现在你面前。也就是说按李先生的定义，所有的无穷集的元素都不是【可列完的】。顺便说一句，李先生说【例如，圆周率可以用3.14159….或pi 等方法列出即写出。】这是不对的，因为不可能把圆周率的小数点后的无穷个位，全部都呈现在你面前，所以也同样不可能【全部列完】。

(二)，可数无穷集合的给定，集合可列的判定。

既然无穷集合的元素，不可能全部呈现在你的面前，那么人们怎么给定一个无穷集？怎么判定一个集合是可列的呢？怎么能判定它的元素同自然数可以无重复无遗漏地一一对应呢？当然，如果人的认知只靠【眼见为实】一个渠道，那是无法认知任何无穷集的。因为无穷集不可能全部呈现在你面前，无法做到【眼见为实】。然而人类文明的发展，使人的认知还有另一渠道，那就是【逻辑推理】。有人片面地理解【实践是检验真理的唯一标准】这句话。错误地以为【实践是认知的唯一途径】。殊不知人的认知过程有两个重要环节，其一是实践，另一就是逻辑推理。这两个认知环节相辅相成，缺一不可！如果只有感性认识，只能看见苹果从树上掉下，只有通过理性认识，才能认识到有地心吸力和万有引力的力学理论。

只靠【眼见为实】可以认知有穷集，而要认知无穷集就要靠【逻辑推理】。不能因为无穷集的元素不能全部呈现在你面前，就否认无穷集的存在，就认为不能认识无穷集。实际上人们是可以给定一个无穷集的，是可以判定一个集合是否是可数(可列)的。依据的是【逻辑推理】，并不需要把它的元素全部呈现在你面前。并不要求它们可以「列完」，全部呈现在你面前，让你親眼看见:。而是通过【逻辑推理】，只要求对任何自然数n，通过推理可以断定有与之对应的元素存在，就认可该无穷集合的存在和给定，如能推出它是无重复无遗漏的双射。则可断定它是可数(可列)的集合。

(三)，康托尔定理证明所用的是「可列」而不是「列完」。

我们來分析康托尔定理的证明。证明【单位区间中的实数集合R是不可列(可数)的】。用的是反证法。

(1)，反证法假定A。

首先假定【(命题A) :单位区间中的实数集合R是可列(可数)的】，注意这里用的是「可列」而不是「列完」。即所假定的并不是R的元素可以全部【呈现在你的面前】。而是【集合R的全部元素可以同N的全体自然数间建立无重复无遗漏的一一对应】。

(2)，推出命题B为真。

在假定命题A下，根据可列的定义可以直接推出【(命题B): 对R中任何实数，都存在一个自然数n与之对应】为真。我们将与n对应的实数称为第n个实数a_n。

(3)，a_n的第n位小数a_nn的存在。

对任何自然数n，由于第n个实数a_n是无穷位小数，小数点后有无穷个位，因而一定有第n位存在，将其记作a_nn。因而可推出对任何自然数n，实数a_n的第n位a_nn都存在。

(4)，实数b的给定。

我们构造R中的一个实数(无穷位小数)b如下。

b=0.b₁b₂...b_n...，其中b_n≠a_nn(例如，在二进制下，如果a_nn=1，则令b_n=0，如果a_nn=0，则令b_n=1。这样的不等于a_nn的b_n，无论在二进制或十进制等各种进制下都存在。)

尽管b的全部无穷位小数不可能全部呈现在你的面前，但是通过推理我们可以确认对任何自然数n，b_n都存存。因而可以确认这个无穷位小数(即R中的实数)b的存在。

(5)，矛盾命题乛B的推出。

由于b的存在，b是无穷小数，是R中的实数。又知它不等于任何第n个实数，因为对任何n，b同第n个实数至少有一位不相等，即b的第n位同笫n个实数的第n位不相等，b_n≠a_nn。

于是就推论出命题:【存在R中的实数，没有任何自然数n能与之对应。】这就是同B矛盾的命题乛B。

(6)，由于在反证法假定A下，推出了B与乛B的矛盾，于是乛A得证，即完成了【单位区间中的实数集合R是不可列(可数)的】证明。证毕。

(四)，逻辑推理所推论的是全部元素。而不是只能呈现在你面前的部分元素。

从上面证明的推理來看。它所论证的是集合的全部元素。由假定A所推出的命题B是【对R中任何实数，都存在一个自然数n与之对应。】是集合R的无重复无遗漏的全部元素。只凭【眼见为实】只能认知【呈现在你面前的】部分元素，而【逻辑推理】则可认知无穷集的全部元素。

李鸿仪在跟帖中说:【对角线是用已经列出（即写出）实数形成的，因此用对角线构筑的数只能保证与这些已经列出（即写出）实数不同，却无法保证与还没有列出（即写出）的实数不同。】

显然逻辑推理不受李先生的这个约束，它可以论证【对任何n，b同第n个实数至少有一位不相等，即b的第n位同笫n个实数的第n位不相等，b_n≠a_nn。】从而得出结论【所构造的R中的实数b，它不等于与任何自然数n对应的实数】。这里所论及的是全部一个不漏的自然数。而这正是逻辑推理的强大之处。不要以为逻辑推理是靠不住的主观臆想，如果这样想就错了。逻辑推理是人类千万年来经过千万次实践验证的，行之有效的必不可少的重要认知工具，是人类历史上走向文明的标志性的体现。

李先生说的【任何可数无限集合的元素都是永远列（写）不完的，因此被假定为可列的实数也是永远列（写）不完的，因此无法保证用对角线构筑的数与实数中还没有列出（即写出）实数不同。】是过低地估计了人类文明和人类的认知能力，对【逻辑推理】的强大认知功能缺乏足够的认识。

李先生最后在跟帖中说【请薛先生直接对这段话进行驳斥。】我这里写的这篇短文就算作是我对李先生这段跟帖的简单评论吧。

（全文完）

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