《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0394 薛问天:充分认识【逻辑推理】在认知过程中的重要作用。评李鸿仪先生的跟帖

已有 1403 次阅读 2020-12-11 20:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0394 薛问天:充分认识【逻辑推理】在认知过程中的重要作用。评李鸿仪先生的跟帖。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《0375》文后李鸿仪先生的跟帖的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

充分认识【逻辑推理】在认知过程中的重要作用。

评李鸿仪先生的跟帖。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg康托定理的证明,它的反证法假定是【单位区间中全体实数集合是可列(可数)的】。这里用的概念是「可列」,而不是「列完」。′

(一),「可列」和「列完」

【集合是可列(可数)的】这个概念在数学上有严格的定义,那就是【一个集合称为是可数(可列)的,当且仅当它能同全体自然数集合N建立一一对应(双射)关系】。「双射」即集合全体元素无重复的和无遗漏的映射。:

在数学中本无【集合是可列完的】这个概念。不过李鸿仪先生在这里给出了它的定义。李先生说【定义:若可把某集合全部元素列出,呈现在人们面前,则称可把该集合元素列完,这里,列出元素指可以写出元素的具体内容或与其相关的符号等表示法。】我早已说过,李先生也认可,由于人类受到时空的限制,所有的无穷集,它的元素不可能全部呈现在你面前。也就是说按李先生的定义,所有的无穷集的元素都不是【可列完的】。顺便说一句,李先生说【例如,圆周率可以用3.14159….或pi 等方法列出即写出。】这是不对的,因为不可能把圆周率的小数点后的无穷个位,全部都呈现在你面前,所以也同样不可能【全部列完】。

 

(二),可数无穷集合的给定,集合可列的判定。

既然无穷集合的元素,不可能全部呈现在你的面前,那么人们怎么给定一个无穷集?怎么判定一个集合是可列的呢?怎么能判定它的元素同自然数可以无重复无遗漏地一一对应呢?当然,如果人的认知只靠【眼见为实】一个渠道,那是无法认知任何无穷集的。因为无穷集不可能全部呈现在你面前,无法做到【眼见为实】。然而人类文明的发展,使人的认知还有另一渠道,那就是【逻辑推理】。有人片面地理解【实践是检验真理的唯一标准】这句话。错误地以为【实践是认知的唯一途径】。殊不知人的认知过程有两个重要环节,其一是实践,另一就是逻辑推理。这两个认知环节相辅相成,缺一不可!如果只有感性认识,只能看见苹果从树上掉下,只有通过理性认识,才能认识到有地心吸力和万有引力的力学理论。

只靠【眼见为实】可以认知有穷集,而要认知无穷集就要靠【逻辑推理】。不能因为无穷集的元素不能全部呈现在你面前,就否认无穷集的存在,就认为不能认识无穷集。实际上人们是可以给定一个无穷集的,是可以判定一个集合是否是可数(可列)的。依据的是【逻辑推理】,并不需要把它的元素全部呈现在你面前。并不要求它们可以「列完」,全部呈现在你面前,让你親眼看见:。而是通过【逻辑推理】,只要求对任何自然数n,通过推理可以断定有与之对应的元素存在,就认可该无穷集合的存在和给定,如能推出它是无重复无遗漏的双射。则可断定它是可数(可列)的集合。

(三),康托尔定理证明所用的是「可列」而不是「列完」。

我们來分析康托尔定理的证明。证明【单位区间中的实数集合R是不可列(可数)的】。用的是反证法。

(1),反证法假定A。

首先假定【(命题A) :单位区间中的实数集合R是可列(可数)的】,注意这里用的是「可列」而不是「列完」。即所假定的并不是R的元素可以全部【呈现在你的面前】。而是【集合R的全部元素可以同N的全体自然数间建立无重复无遗漏的一一对应】。

(2),推出命题B为真。

在假定命题A下,根据可列的定义可以直接推出【(命题B): 对R中任何实数,都存在一个自然数n与之对应】为真。我们将与n对应的实数称为第n个实数an

 (3),an的第n位小数ann的存在。

对任何自然数n,由于第n个实数an是无穷位小数,小数点后有无穷个位,因而一定有第n位存在,将其记作ann。因而可推出对任何自然数n,实数an的第n位ann都存在。

 (4),实数b的给定。

我们构造R中的一个实数(无穷位小数)b如下。

b=0.b1b2...bn...,其中bn≠ann(例如,在二进制下,如果ann=1,则令bn=0,如果ann=0,则令bn=1。这样的不等于annbn,无论在二进制或十进制等各种进制下都存在。)

尽管b的全部无位小数不可能全部呈现在你的面前,但是通过推理我们可以确认对任何自然数n,bn都存存。因而可以确认这个无穷位小数(即R中的实数)b的存在。

(5),矛盾命题乛B的推出。

由于b的存在,b是无穷小数,是R中的实数。又知它不等于任何第n个实数,因为对任何n,b同第n个实数至少有一位不相等,即b的第n位同笫n个实数的第n位不相等,bn≠ann

于是就推论出命题:【存在R中的实数,没有任何自然数n能与之对应。】这就是同B矛盾的命题乛B

 (6),由于在反证法假定A下,推出了B与乛B的矛盾,于是乛A得证,即完成了【单位区间中的实数集合R是不可列(可数)的】证明。证毕。

 

 (四),逻辑推理所推论的是全部元素。而不是只能呈现在你面前的部分元素。

从上面证明的推理來看。它所论证的是集合的全部元素。由假定A所推出的命题B是【对R中任何实数,都存在一个自然数n与之对应。】是集合R的无重复无遗漏的全部元素。只凭【眼见为实】只能认知【呈现在你面前的】部分元素,而【逻辑推理】则可认知无穷集的全部元素。

李鸿仪在跟帖中说:【对角线是用已经列出(即写出)实数形成的,因此用对角线构筑的数只能保证与这些已经列出(即写出)实数不同,却无法保证与还没有列出(即写出)的实数不同。

显然逻辑推理不受李先生的这个约束,它可以论证【对任何n,b同第n个实数至少有一位不相等,即b的第n位同笫n个实数的第n位不相等,bn≠ann】从而得出结论【所构造的R中的实数b,它不等于与任何自然数n对应的实数】。这里所论及的是全部一个不漏的自然数。而这正是逻辑推理的强大之处。不要以为逻辑推理是靠不住的主观臆想,如果这样想就错了。逻辑推理是人类千万年来经过千万次实践验证的,行之有效的必不可少的重要认知工具,是人类历史上走向文明的标志性的体现。

李先生说的【任何可数无限集合的元素都是永远列(写)不完的,因此被假定为可列的实数也是永远列(写)不完的,因此无法保证用对角线构筑的数与实数中还没有列出(即写出)实数不同。】是过低地估计了人类文明和人类的认知能力,对【逻辑推理】的强大认知功能缺乏足够的认识。

李先生最后在跟帖中说【请薛先生直接对这段话进行驳斥。】我这里写的这篇短文就算作是我对李先生这段跟帖的简单评论吧。

(全文完)




返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

          






https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1262112.html

上一篇:Zmn-0393 师教民: 评薛问天先生的文章0388
下一篇:Zmn-0395 薛问天:说了的话要承认,这是严重的概念混淆。师教民先生的《0393》
收藏 IP: 111.19.46.*| 热度|

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (33 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2023-2-3 01:35

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部