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Zmn-0385 薛问天：我也谈谈扬六省先生对√2是无理数证明的质疑。
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Zmn-0385 薛问天：我也谈谈扬六省先生对√2是无理数证明的质疑。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对扬六省先生的《0377》《0382》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
我也谈谈扬六省先生对√2是无理数证明的质疑。
薛问天
。
杨六省先生说【笔者的质疑是：文兰先生的证明究竟要否定什么？肯定什么？】
(一)，反证法的假定是【假设√2是有理数】。
文兰先生证明的原文是:
证明 假设√2是有理数.则存在整数p和q使得√2=p/q。不妨设p和q没有公约数.两端平方，得p2 =2q2。 故p2为偶数.故p为偶数.故p2为4的倍数.故q2为偶数.故q为偶数.这与p和q没有公约数矛盾.这一矛盾证明√2不是有理数.证毕。
这里写得清清楚楚明明白白，反证法的假定是【假设√2是有理数】。杨先生质疑的是【证明究竟要否定什么？肯定什么？】反证法要否定的自然是反证法的假定【√2是有理数】(A)，要肯定的自然是【√2不是有理数】(乛A)，即【√2是无理数】。这里没有任何可置疑的地方。扬先生所置疑的实际上都是在此反证法假定下的推论，看能否推出矛盾。其实只要把这些推论写得更仔细些，更完整些，扬先生的疑问就会迎刃而解。
(二)，有理数的两个等价定义。
定义1。我们称ⅹ是有理数，当且仅当，存在整数m,n，使x=m/n。
定理1。如果存在整数m,n，使x=m/n，则存在互素的整数p,q，使x=p/q。
【证明】设存在整数m,n，使x=m/n。如果m,n互素，则定理得证。如果m,n不互素，令d是m,n的最大公约数，令p=m/d，q=n/d，显然有p,q互素且x=p/q。证毕。
有了这个定理，显然就有了有理数的另一个等价的定义。
定义2。我们称ⅹ是有理数，当且仅当，存在整数p,q，使x=p/q而且p,q互素。
(三)，由反证法假定A推出的矛盾。
由反证法假定A:【√2是有理数】根据有理数的定义2，即可推出命题B:【存在整数p,q，使√2=p/q而且p,q互素。】
另外，我们可以证明如下定理。
定理2。对任何整数p,q，如果√2=p/q，则p,q都是偶数。
【证明】。设√2=p/q，两端平方，得p2 =2q2。 故p2为偶数.故p为偶数.故p2为4的倍数.故q2为偶数.故q为偶数.证毕。
由定理2可推出命题C:【对任何整数p,q，如果√2=p/q，则p,q不互素(有公约数2)。】
根据逻辑规律知，乛B ≡ 乛(彐p,q∈整数)[√2=p/q ∧ p,q互素]
≡ (∀p,q∈整数)[√2=p/q → p,q不互素] ≡ C。
综上所述，由反证法假定A根据定义2推出B，但B与根据定理2推出的C即乛B为真，相矛盾。于是否定了反证法的假定A，【这一矛盾证明√2不是有理数】。
杨六省先生，经过我这样仔细地补充和解释，你还有异议吗？
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