Zmn-0441 李振华：区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法

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区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法

李振华

[0,1]中全体实数的长度为1，这是公认的观点，也与我们的直觉相符，但有没有可能，就像无限取球悖论一样，不同的取球方式会剩下不同个数的球，全体实数不同的生成方式会导致不同的长度？答案是肯定的，下面将给出证明。

考虑二进制下[0,1]中的全体实数，我们将对其执行以下操作：

第一步，使小数点后第一位只有0这个值，这表达了区间[0,1/2]，长度为1/2。

第二步，恢复第一位，使小数点后第二位只有0这个值，这表达了区间[0,1/4]+[1/2,3/4]，长度为1/2。

......

第n步，恢复第n-1位，使小数点后第n位只有0这个值，这表达了区间[0,1/2^n]+[2/2^n,3/2^n]+.....+[(2^n-2)/2^n,(2^n-1)/2^n]，长度为1/2。

......

无限地操作下去，区间中会剩下那些点呢？

每一次有限的操作，所得的结果都是长度为1/2的[0.1]的某个真子集，按照这个规律，我们推测，无限次操作之后，结果应该也是长度为1/2的[0,1]的某个真子集。

但事实却是，无限次操作之后，得到的将是[0,1]中的全体实数！

为什么呢？因为第n位的状态在第n+1步操作时就恢复了0和1两种状态，无限次操作之后，小数点后每一个位都有0和1两种状态，所以表达了[0,1]中的所有实数。

另一方面，每一次操作，区间的长度都是1/2，所以无限次操作之后，长度依然是1/2。

也就是说，[0,1]中全体实数的长度为1/2。按照同样的方法，我们还可以证明[0,1[中全体实数的长度为1/4，1/8，可以是0和1之间的任何实数。既然长度不等的线段拥有相同的点数，区间[0,1]有不同的长度也没有什么好奇怪的。

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