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Zmn-0415 沈卫国：康托对角线法及实数不可数问题拾遗
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Zmn-0415 沈卫国：康托对角线法及实数不可数问题拾遗
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
康托对角线法及实数不可数问题拾遗
沈卫国
摘要：就康托对角线法的运用上产生的问题，对前期论文进行了一些补充说明。以更为简洁的方式，就此问题进行了讨论，以期更易理解。
关键词：康托对角线法；反证法；可数；不可数；对应方式；一一对应；自然数；有理数；无理数；实数；无穷；位数；单值性；多值性
康托对角线法的问题，近廿余年，笔者已经详细讨论了。可谓连篇累牍，亦不为过。近期亦有其他作者，都从不同角度、程度论述过此问题。对康托对角线法中逻辑问题的认识，已然日渐深入与明晰。此文属于对以往文章的补缺性质，为笔者近期随时想到的，或可对此问题有所补益。此文中涉及的问题，有些或已散见于笔者前期系列论文中，或其不同形式见于前期文章，但在此文中一并讨论发表，亦不无补益。
1、反证法的运用问题
在讨论中，笔者发现，一些人只要一提反证法，似乎谁一用，就百试不爽，无往而不利。其实像任何证明方式一样，反证法也有用错的时候和地方。比如下例：
设某数为正，用反证法证明为非正，则该数为负。这个证明对否？当然不对，因为还有可能该数为0。且这还不涉及三值逻辑的问题。
另一个例子，如假设某人为女人，但推出矛盾，则不是女人，为男人。一定就对吗？当然不是。极端情况，不是还有又男又女、不男不女的人吗？
因此，反证法的运用上一定要小心，陷阱是很多的。
2、康托对角线法证明实数不可数过程中的逻辑问题之一
康托对角线法证明实数不可数，在逻辑上是行不通的。理由是可数、不可数的定义决定的。可数的定义，是在某种具体的对应方式（函数关系）下，可以与自然数一一对应。而其反命题，也就是不可数的定义，自然就是在任何一种具体对应方式（函数关系）下，都不可能与自然数一一对应。但这个“任何方式”，总数是无穷多的，因此根本就无法穷尽，怎么证明？难道能够穷举所有这无穷种对应方式吗？而不能穷举，又如何能断定在无穷种对应方式下实数都不能与自然数一一对应？更何况如果实数真的是不可数的，也就是不能与自然数一一对应，那么，这种对应方式可以有甚至不可数无穷多个。也就是这种与自然数的一一对应方式就有不可数无穷多种，也就是如要证明实数不可数，必须在不可数无穷种对应方式下证明其不能与自然数一一对应。这就是逻辑循环。所证，包含在了证明的过程中了。更何况不可数意味着根本不能在一阶逻辑中穷尽，而现有数学、逻辑都是以一阶逻辑为基础的，二阶逻辑问题很多，根本无法推行。这就更加说明，在逻辑上，康托对角线法更根本就不能证明实数不可数。对可数无穷种对应方式不行，对不可数种对应方式更不行。
有人大概一看此路不通，又会说证明实数不可数，不需要具体的对应方式。这就是胡搅蛮缠了。涉及对应方式的命题的一个证明，可以不需要对应方式？比如你要证明涉及无穷的一个命题，结果你在证明中却绝口不提“无穷”两字（你就是说“我说的是无限，不是无穷”，你不是还要给出个“无限就是无穷”的证明或定义吗？），怎么能做到的？这样的证明能成立吗？不是我在这里多嘴，很多人在种种心理下为了维护旧有理论的权威，就是这么胡来的。因此还不得不提一下。
当然，表面上看，可数的定义是“可以与自然数一一对应”，似乎其中并没有“某种具体的对应方式”的表述。但任何“一一对应”以至任何“对应”，当然是严格依赖其“对应方式”也就是函数关系的，这无需多言。对不可数的定义也一样，此处不再赘述。
3、被忽略的对角线上产生有理数的情况意味着什么
有理数已被康托证明是可数的。也就是可以排成一列。但如果没有特殊的规定，则不能保证对角线法新产生的数一定不是有理数。因为即使前n位不循环（无论n多大），也永远不能保证大于n时就不会循环。这种可能性再小，也不能排除。因此，只能硬性规定它不循环。或这个“不循环”不过是规定出来的，不是证明出来或事实存在的。即对角线上产生的新数不是有理数这一点，是规定的，如果已经假设了表中已经排出了全部有理数的话。
同理，如果假设表中已经排出了全部无理数，则必须也规定对角线上新产生的数不是无理数。即只能循环。这同样是无理数已经全部排出的假定所要求的“规定”。即已经假设全部无理数在表中被排出了，那么，就必须规定不能再在对角线上产生新的无理数。
总之，有理数和无理数的“待遇”，在实施“证明”之前，必须一致。如果以有理数可数，无理数不可数为由把二者的待遇区别对待，则是结论在证明之前，是逻辑循环或循环论证。
而全部实数（有理数+无理数）如果都假设已经在表中被排出，则必须假设对角线上不能再产生新的、不在表中的实数，无论是有理数还是无理数。明白说，就是必须规定不能再进行所谓的求反（二进制下）或求异（多进制，如十进制下）操作。谁叫你事先假设了表中已经排出了全部实数呢？既然做了如此假设，就不能在证明前又否定这个假设。否则就是假设了两个互相矛盾命题。而不是证明了原命题的否定命题。
从以上讨论也可以看出，康托对角线法根本就未能如其所愿地证明实数不可数。
4、在不同的对应方式下，不同的序列趋于无穷的速度不同，但这不是不可数
如果我们把所有实数与小数的位数的一一对应（康托对角线法所要求的），改成n位对应于2n个实数（二进制时）或10n个实数（十进制时），则没有一一对应了，这是一个一对多的对应。在这种对应方式下，自然也就是没有了对角线。当然，这是指的在以上一对多的对应方式的前提下的。因此，这种情况下康托对角线法不能用了。在此种情况下，随着位数n趋于无穷，与位数n可以表示的不同实数的个数10n也会趋于无穷，只不过二者是不同步的。后者远快于前者。而且会随n的增加越来越快。但都是可数的，也就是都与自然数一一对应。无论n本身还是10n，只要令后者等于n’就成了。谁又能说n’就不是自然数了？
5、自然数每一个的单值性与位数每一个的多值性，必须严格区分
可数，按定义，即与自然数一一对应。但必须特别注意，这里的自然数，当然是每个单值的。也就是1就是1，2就是2，只有一个值。如果有多值的自然数，当然违反自然数的定义。而可数的定义，可不是与每个多值的位数的一一对应。这种情况，是徒有自然数的形式，而没有自然数的实质。因为自然数对位数而言，只是一个编码、编号，而不是其真实的数值。因为小数的每一位，在十进制下都有十个不同的值，而不同的这样的值都可以表示不同的小数。因为十进制设置的目的，创造的目的，就是如此。就是为了用较少的位数，尽可能多地表示不同的小数。因此，小数的个数，当然不可能与其设置目的就是为了表示更多的小数的位数一一对应。比如学校的班级，就是为了一个班容纳多于一个的学生的（比如有40个学生/每班），如果有人要求全校的学生数与班级数一一对应，可以吗？而不能与作为自然数的班级数一一对应，就是全校的学生数不是自然数了吗？但康托对角线法本质上就是这么干的。
由于以上理由，康托对角线法先是假设了全部实数可以与本质是每个单值的自然数一一对应，然后又无意中（由康托对角线法的使用方式决定的）等于假设了全部实数与本质是每位多值的小数位数一一对应。这等于又否定了原先的假设。其后，又通过变换每位之值以产生新的实数。如果这就是不可数，等于是改变了可数与不可数的定义，因此没有任何意义。
总之，如果还坚持可数就是与每个单值的自然数可以一一对应的定义，在假设了全部实数可数而排成一列的前提下，也就是已经假设了全部实数都可以与每个单值的自然数一一对应了，就绝对不应该再去把这已经列出的实数、也就是已经与每个单值的自然数一一对应上的实数，再去与每位多值的位数（只是具有自然数的外在形式或编号）去一一对应。因为随着每位的取值不同，是会产生不同的实数的。这种对应，直接否定了原先的假设。
多进制存在的理由，也即是其本身之所以被人类创造出来的目的，就是为了用较少的位数表达更多的的数，以压缩表达空间和便于运算。换言之，其目的就是为了使得每位多值的位数与其能表达的数之间不能一一对应的。再说一遍：不能一一对应，是其目的。结果现在反而要求每位多值的位数所能表达的全部实数去与这个位数本身一一对应，否则就是不可数，说的过去吗？难道人们发明多进制（比如十进制）的目的，就是为了不能全部表达这个位数所能表达数？仅从这个角度，也可以看出所谓的实数不可数是违反多进制建立的初衷的。同时，相同的位数，可以表达的十进制数不但比位数多，而且远比同位数的二进制数多，能说十进制比二进制更不可数吗？既然一个比一个多（十进制比二进制情况）没有更不可数这回事，那么同理，一个比一个多（二、十进制比位数情况）也不应该有不可数这回事。理应如此。
即使是有理数，如果令其与每位多值的小数位数一一对应，也可以有此有理数表之外的有理数存在。起码我们可以构造出这样的有理数：先在对角线上构造一个有理数，也就是循环小数或有限小数（某位后都是0的），然后再反过来用有理数填满这张表。原则是在对角线处，取与原先构造的那个有理数在该位的数值不同的数值。如该有理数在该位的数值为1，则取2（当然也可以是3、4、......等等），于是，该对角线上的有理数必不在该表中。但是，这能说明有理数不可数吗？只能是该表在这种对应方式下，并没有列出全部有理数吧？无理数的情况，实数的情况，与此类似。
有人也许会争辩说，你构造的这个过程，是先构造对角线，然后再填此表。不符合对角线法的步骤。但是，既然在对角线上可以事先构造出那个有理数，你怎么证明其按一般对角线法的步骤，就根本不会出现在对角线上？如果说事实如此，是不是也要给个证明？这个证明，谁可以给出？既然给不出，就是没有证明。就不能排除这种情况，可能性再小、概率再小，也不是没有可能。有可能，就无法排除，也就是没有证明。没有证明，就足以说明问题了。因为笔者说的就是没有证明。
况且就算完全按照康托对角线法的次序，先排出列表中的实数，再去决定对角线上产生的那个实数。那么，如果这个过程是完全随机的，无论这个n扩展的多大，即使前面的没有循环，能保证后面的就不循环吗？这就如前面循环了，也不能保证后面继续循环（或不循环）是一个道理。如果这个过程不是随机的，而是刻意选择的不循环（十进制等多余二进制时才可如此），人为操作的不循环。这个是没有意义的。这等于是选择了所列实数表原本就没有列出全部实数。而不是证明了不可能列出全部实数。换言之，如果我们可以通过人为选择而产生对角线上的一个无理数，那么，同样道理，我们也可以通过人为选择来构造对角线上产生的是一个循环的有理数。如此，就没有证明所列表中没有列出全部实数。因为显然，一个有理数在实数表外，不能证明该表不可数（没有列出全部无理数）。因为有理数早就证明是可数的了，少一个有理数，不能说明对象集合不可数。这里面的细微而重要的差别，应该明确。对二进制情况，不是逐位求异，而是逐位求反。因此没有什么选择问题。因此，对角线上产生的新的实数，究竟是循环的有理数还是不循环的无理数，无论n多大，都是无法确定的。也就是前n位循环（像有理数），也不代表其后就循环；反之，前n位不循环，也不意味着其后就不会循环起来。这个n当然是趋于无穷的。因此无法根据无论多大的有限位n来确定一个无穷小数的循环与否。而一旦这个新产生的数是循环的有理数，则整个实数不可数的证明失效。因为有理数是可数的，少了一个可数集合中的元素，不能证明该集合不可数。
总之，康托对角线法不可能确定对角线上新产生的数究竟是有理数还是无理数，从这个角度看，它也不可能证明实数不可数，也就是证明了所列表中不可能列出全部实数。如欲达到这个证明，必须首先证明对角线上新产生的那个实数，一定是一个无理数。但这是不可能的。理由前面已经给出了。而一旦刻意选择对角线上产生的数为无理数，也就等于刻意选择了列表中的实数没有包括全部无理数，这种刻意选择，能说是个证明吗？
还有一个很普遍的论点，说是以上事实正反映了实数比自然数多的特性。也就是实数不可数。这当然是肤浅之论。因为对角线法只是反映了按照这种对应方式，实数不能与自然数一一对应。但没有也不可能证明在其它对应方式下实数也不能与自然数一一对应。所列实数与每位多值的位数一一对应的对应方式，只是一种特定的对应方式，而前已论及，任何一种对应方式下不能与自然数一一对应，根本就不是不可数。不可数必须是任何一种对应方式下（有无穷多种）都不能与自然数一一对应，才是不可数。至于什么多，什么少，更不是可数不可数的理由。比如显然（直观上，当然其实也依赖于具体对应方式），至少看上去偶数比自然数少，但同样可数；而有理数比自然数多，也是可数的。这种“多、少”，也是依赖于具体对应方式的。
6、究竟有没有无穷位的自然数或就是数值为无穷的自然数的问题
这个问题，实际笔者在其它文章中已经回答了。这里简要再提一下。
如果我们把自然数1，当成1个，自然数2，当成2个，................，既然可以有无穷多个的自然数，那不是也就应该有数值为无穷的那个自然数吗？位数也一样，为简单起见，就把自然数以一进制表示：1为一位，2为两位，...............，岂不是无穷即为无穷位？上述论点，看似有理，而且似乎很难反驳。但实际上，问题的产生，像很多问题一样，也是由于对相关概念表述的不完备所引起的。实际上，完备的说法应该是，每一个自然数都是有限的。这是个前提。因此只能是有限的自然数值n（n不能为无穷），对应于有限的自然数的个数n（同样，n不能为无穷），因此，无穷多的有限的自然数的个数，当然不会对应于无限的有限自然数数值。否则就会产生必须排除的矛盾。
总之，当我们经常说“排出了所有无穷多的自然数”或“自然数有无穷多”这类话时，我们必须明确，能实际排出的，任何时候都只能是有限个自然数。同理，“自然数的个数有无穷多”，并不意味着与自然数个数是有限的时一样，有最大的那个自然数。因此，自然就没有无穷大的那个自然数。这个问题，是由于没有严格区分列出或有有限个自然数，和列出或有无限个自然数的本质差别。好像既然列出了有限个自然数，可以对应最大的有限的自然数值，就会有列出来无限个自然数，也就可以对应最大的无限的自然数值了。这里，列出无限的自然数严格讲是不对的。因为无穷多，就是多了还可以更多，无限制之意。那么，怎么还会有多了还可以更多，无限制（即不能固定不变的）的那个固定的、唯一的数？这不是矛盾的吗？就算非要定义这样的自然数，也只能说这个所谓的“自然数”，是区别于以往的那些有限的自然数的，这个自然数“无穷”，不是一个固定的数，有限的数更不是了。它只能代表大了还能大的这么一个特性。也就是明确地说，它实际上并不是通常意义的、我们所熟知的那个自然数。有人可能认为，这不是就是潜无穷的概念吗？永远不完。实际上，实无穷也是永远不完的。认为实无穷下可以被“完成”、“数完”的看法是错的。实无穷仅仅是可以把这些完不了的元素，“看成”、“当成”一个整体对待而已。有人也许又会说，既然“完不了”，还能作为一个整体吗？怎么不能呢？完成不了的，不就是那个整体吗？有限的部分，不是都可以完成的吗？如此，这些问题都可被澄清了。
更加详细的讨论，请读者参加参考文献中的文章。
参考文献
[1]、沈卫国，论数学基础问题，论自然科学的若干基本问题，海风出版社，1998年8月第一版
[2]、沈卫国，论熵、不可逆过程及数学中的无穷，海风出版社，2009年8月第一版
[3]、沈卫国，论康托对角线法的局限性与数学、逻辑学中的一些基础性问题，天津职业院校联合学报，2008年03期
[4]、沈卫国，论序数及连续统的可数性问题与正则公理，天津职业院校联合学报，2011年05期
[5]、沈卫国，关于康托对角线法推导问题的进一步解释及说明，国家科技图书文献中心预印本
[6]、沈卫国，再论康托对角线法中隐含的简单形式逻辑问题，国家科技图书文献中心预印本
[7]、沈卫国，康托对角线法及其错误的实质，国家科技图书文献中心预印本
[8]、沈卫国，康托对角线法推导中的逻辑误区及其函数关系的再分析，国家科技图书文献中心预印本
[9]、沈卫国，康托对角线法问题详析及由此引出的反证法使用中必须注意的误区，第11次全国科学逻辑研讨会论文集，安徽师范大学，2016年5月
[10]、沈卫国，康托对角线法中的逻辑问题及由此引出的反证法使用中必须注意的推理误区，前沿科学，2017年02期
[11]、沈卫国，增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性，前沿科学，2017年03期
[12]、沈卫国，数学基础若干问题的创新性思考，理论数学，2018年8期
[13]、沈卫国， 由1=0.99999..........与否引伸出的有理数、无理数的本质性定义问题以及无穷相关问题的讨论，国家科技图书文献中心预印本，2020年11月
[14]、沈卫国，从可数、不可数的定义看康托对角线法使用中的逻辑问题，国家科技图书文献中心预印本，2020年11月
作者简介：沈卫国，上海人，已退休，区域供热杂志主编，高级工程师，曾受聘于中国人民大学前逻辑与智能研究所、西北工业大学前逻辑与人工智能研究所研究员，研究方向：计算机控制，热力学，数学基础，微积分基础理论，信息理论等。有专著两本，发表论文数十篇。
电话：13681013383
E-mail：qygrswg@sina.com
注：
笔者近些年所写文章的检索方式
1、进入“国家科技图书文献中心”官网→点击“特色服务”→点击“预印本”→在“文章检索”“条件一”下输入“沈卫国”→点选“全部学科”→点击“检索”。
即可看到笔者今年所有文章。这些文章有些后来发表了，有些没有正式发表。都可以免费下载的。
或
2、进入“汉斯出版社中文学术期刊官网”→在搜索栏中输入“沈卫国”。笔者发表于其“理论数学”网刊和“预印本”的文章（不多，不全）亦可以看到和免费下载
或
3、进入“知乎官网”→搜“何许”（笔者知乎、微信名），亦可见到笔者一些文章、博文。但注意，这里的文章中的一些图、表、公式没有显示。但可能有些与“知友”的讨论
或
4、进入“科学网博客”→搜“文清慧”博客。其中有些笔者文章及讨论
或
5、进入“科学网”→搜“沈卫国”亦可。
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录： 2020-12-29 10:54
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