博文
Zmn-0402 薛问天： 查清楚，想清楚，就不糊涂了。评林益先生《0400》
||
Zmn-0402 薛问天： 查清楚，想清楚，就不糊涂了。评林益先生《0400》
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对林益先生《0400》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
查清楚，想清楚，就不糊涂了。
评林益先生《0400》
薛问天
。
(一)，在康托尔定理的证明中，没有用到【无穷方阵】的概念。
数学证明是非常严格的，环环相扣，每个推理都要有充足的根据。在康托尔定理的证明中并未用到【无穷方阵】的概念。也没有给出这个【无穷方阵】概念的严格定义。林益先生说【列出的无穷小数就是一个二维【方阵】，这应该是事实。】这是你对证明的理解，实际上的康托尔的证明，并没有涉及无穷【方阵】。这是不是【事实】，查证很容易，任意拿一本讲解康托尔定理证明的专业书，查一查就知道了。证明中只用到一一对应的概念，没有用无穷【方阵】的概念。
什么是【证明】？证明实际上是一个有穷的命题序列。序列中的每个命题，或者是公理，或者是由序列中前面的命题根据公理、定义、定理严格推导出來的命题。序列的最后一个命题就是证明的结论。证明中有无用到【无穷方阵】，把证明中的这有穷个命题列出來，一看便知。是否事实，不是根据林先生的臆想，说【应当】是事实，就是事实。而实际查一查就会明白它是不是事实。查清楚就不糊涂了。
(二)，不仅要求结论正确，而且要求推理也是正确的，
林益先生对他说的错误推理：【因为在纯小数的位数是任意有限的情况下都不能构成方阵，因此在无穷的情况下也不能构成方阵。】辩解说:【可是，在康托尔的证明中，…已经证明纯小数“在无穷的情况下也不能构成方阵”的结论，为什么薛问天老师却认为是错误的，】
数学是逻辑缜密的科学，不仅要求结论正确，而且要求推理也是正确的，既使结论正确，但你的推理是错误的，也必须指出。【证明纯小数“在无穷的情况下也不能构成方阵”的结论】是整个康托定理用反证法所证明的结论，无疑是正确的。而你说【因为在纯小数的位数是任意有限的情况下都不能构成方阵，因此在无穷的情况下也不能构成方阵。】这个【因为......，因此......】的推论是错误的。推不出來，理由和根据说得不对。
(三)，对康托证明的根据理解有误。
林先生说【打破了康托尔假定，就是因为康托尔构造的无穷小数b，显然就是在【方阵】可列的基础上多了一个b，实际就是“可列+1 便成为不可列”，这是活生生的事实，薛问天老师却认为我对“康托尔的证明理解有错误。”，我不知为什么错，我也犯“糊涂”。】
这么明显的对康托尔证明的理解错误，林先生竞然㸔不出错误來？
林先生你是怎么理解，康托尔是根据什么打破了反证法的假定的。你理解的根据是【因为康托尔构造的无穷小数b，显然就是在【方阵】可列的基础上多了一个b，实际就是“可列+1 便成为不可列”，】你理解错了，康托尔不是根据你说的这个理由打破反证法的假定的。这个理由根本就不能成为理由，因为【可列+1 便成为不可列】本身就是个错误的命题，怎么能成为论证的根据呢？你对证明根据的理解是错误的。康托尔证明打破R可列这个假定的真正根据是，这个假定推出了B和乛B这两个矛盾的命题。从而否定了反证法的假定A。关于这点林先生是一清二楚，不知在这里为何又故意强调了错误的根据。是真的【糊涂】吗？
(四)，思维上不缜密的地方。
林先说【既然“由此假定推出的命题有真有假，不要因此而困惑。”那我凭什么认为康托尔推出的命题一定是正确的呢？明明是薛问天老师自己说“由此假定推出的命题有真有假，不要因此而困惑。”为什么认为我的“思维并不缜密。”】
思维不缜密在什么地方？就是你没有看仔细，这两句话中，一个说的是【由此假定推出的命题........。】一个说的是【康托尔推出的命题......。】前者是康托尔由反证法的假定A【R是可数的】推出的命题，而后者是康托尔无此假定直接推出的命题。这两种情况下推出的命题的真假值能一样吗？也就是说，在推理中直接推出Q为真同在推理中推出P→Q为真。这两种情况下Q的真假能一样吗？显然不一样。而这正是我强调下述道理的原因。我强调说〖这里涉及一个逻辑规律。当证明了 P→Q 为真时。并不保证 Q 一定为真，因为在 P 为假时，Q 可能为真也可能为假。〗当然如果是直接推出Q为真，那Q就是真的，不存在可能为真也可能为假的问题。
没有区别这两种情况下推出的命题的不同，这就是在逻辑思维上还不缜密的地方。
(五)，一个命题A能推出矛盾，它肯定是假的命题。
林益先生问【为什么薛问天老师认为“反证法假定 A，推出矛盾命题 B 与¬B，证明了 A 为假而¬A 为真。”......薛问天老师引入的“B与 A 有什么关系？符合逻辑哪一条规律？我很“糊涂”。 】
什么是反证法，正如林益先生所述【反证法理论依据是排中律，要么 A，要么¬A，只有这两种情况，】因而反证法用证明A为假來证明¬A为真。
如何证明A为假呢，这是根据这样一条逻辑推理规律:
如果P→Q为真，Q为假，则P为假。
具体应用到这里，就是证明由A可以推出一个假的命题(B∧¬B)。就能证明A为假。
也就是说A和B,¬B的关系是【推出】关系，由A【R是可数的】即【R与N可以建立一一对应】，可以推出在此对应下B:【R中任一实数，都有N中一自然数与之对应】。另一方面又可推出在此对应下¬B: 【存在R中实数b，无N中自然数与之对应】。(B∧¬B)是矛盾命题自然恒为假，由A可以推出一个假的命题(B∧¬B)。就能证明A为假。
(六)，当证明了 P→Q 为真时。并不保证 Q 一定为真，
因为在 P 为假时，Q 可能为真也可能为假。所以要请林益先生特别注意，【康托定理是正确的，并不意味着证明中在假定 A 下推出的命题实际一定为真，实际上有真有假。不必为在假定 A 下推出的命题是真是假而困惑。】
例如【如果天下雨，则马路上有水。】这无疑是个真的命题。但是【马路上有水】，却可能有真有假。天没下雨，马路上可能就没水。
要知道【所有无穷纯十进制小数能够构成方阵】这个令林益先生困惑的命题，是在【R是可数的】的假定A下推出的，并不是康托定理直接推出的命题，康托尔定理并未推出它为真，所以林益先生不必未此命题不真而困惑。
而这正是我强调这个逻辑规律的目的所在，如我在前面(四)中所说，是希望林益先生的思维更加缜密些，清楚些。想清楚了就不会糊涂了！
(全文完)
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录： 2020-12-29 10:
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1264910.html
上一篇：科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录：
下一篇：Zmn-0403 李鸿仪： 对角线证明可以休矣！
全部作者的其他最新博文
- • Zmn-1113 薛问天: 要承认客观存在可完成的无穷过程，它有无穷次但没有最后一次操作。评一阳生先生《1111》。
- • Zmn-1112 师教民 : 关于互为反函数中变量的理解单个讨论薛天先生的Zmn系列文章中的问题(3)—评薛问天1104
- • Zmn-1111 一阳生 : 对薛老师《Zmn-1108》文章的评价
- • Zmn-1110 薛问天: 正确理解微分的精确定义和直观含义。评新华先生的《1109》
- • Zmn-1109 新 华 : 重读张景中《我对微分的理解》有感（修改稿）
- • Zmn-1108 薛问天: 要认清客观存在大量无穷过程，它不可半途中止，但却可整体结束和完成。评林益的《1106》