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Zmn-0402 薛问天: 查清楚,想清楚,就不糊涂了。评林益先生《0400》

已有 652 次阅读 2020-12-30 15:08 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0402 薛问天: 查清楚,想清楚,就不糊涂了。评林益先生《0400》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对林益先生《0400》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

查清楚,想清楚,就不糊涂了。

评林益先生《0400》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg(一),在康托尔定理的证明中,没有用到【无穷方阵】的概念。

数学证明是非常严格的,环环相扣,每个推理都要有充足的根据。在康托尔定理的证明中并未用到【无穷方阵】的概念。也没有给出这个【无穷方阵】概念的严格定义。林益先生说【列出的无穷小数就是一个二维【方阵】,这应该是事实。】这是你对证明的理解,实际上的康托尔的证明,并没有涉及无穷【方阵】。这是不是【事实】,查证很容易,任意拿一本讲解康托尔定理证明的专业书,查一查就知道了。证明中只用到一一对应的概念,没有用无穷【方阵】的概念。

什么是【证明】?证明实际上是一个有穷的命题序列。序列中的每个命题,或者是公理,或者是由序列中前面的命题根据公理、定义、定理严格推导出來的命题。序列的最后一个命题就是证明的结论。证明中有无用到【无穷方阵】,把证明中的这有穷个命题列出來,一看便知。是否事实,不是根据林先生的臆想,说【应当】是事实,就是事实。而实际查一查就会明白它是不是事实。查清楚就不糊涂了。

 

(二),不仅要求结论正确,而且要求推理也是正确的,

林益先生对他说的错误推理:【因为在纯小数的位数是任意有限的情况下都不能构成方阵,因此在无穷的情况下也不能构成方阵。】辩解说:【可是,在康托尔的证明中,…已经证明纯小数“在无穷的情况下也不能构成方阵”的结论,为什么薛问天老师却认为是错误的,

数学是逻辑缜密的科学,不仅要求结论正确,而且要求推理也是正确的,既使结论正确,但你的推理是错误的,也必须指出。【证明纯小数“在无穷的情况下也不能构成方阵”的结论】是整个康托定理用反证法所证明的结论,无疑是正确的。而你说【因为在纯小数的位数是任意有限的情况下都不能构成方阵,因此在无穷的情况下也不能构成方阵。】这个【因为......因此......】的推论是错误的。推不出來,理由和根据说得不对。

 

 (三),对康托证明的根据理解有误。

林先生说【打破了康托尔假定,就是因为康托尔构造的无穷小数b,显然就是在【方阵】可列的基础上多了一个b,实际就是“可列+1 便成为不可列”,这是活生生的事实,薛问天老师却认为我对“康托尔的证明理解有错误。”,我不知为什么错,我也犯“糊涂”。

这么明显的对康托尔证明的理解错误,林先生竞然㸔不出错误來?

林先生你是怎么理解,康托尔是根据什么打破了反证法的假定的。你理解的根据是【因为康托尔构造的无穷小数b,显然就是在【方阵】可列的基础上多了一个b,实际就是“可列+1 便成为不可列”,】你理解错了,康托尔不是根据你说的这个理由打破反证法的假定的。这个理由根本就不能成为理由,因为【可列+1 便成为不可列】本身就是个错误的命题,怎么能成为论证的根据呢?你对证明根据的理解是错误的。康托尔证明打破R可列这个假定的真正根据是,这个假定推出了B和乛B这两个矛盾的命题。从而否定了反证法的假定A。关于这点林先生是一清二楚,不知在这里为何又故意强调了错误的根据。是真的【糊涂】吗?

 

(四),思维上不缜密的地方。

林先说【既然“由此假定推出的命题有真有假,不要因此而困惑。”那我凭什么认为康托尔推出的命题一定是正确的呢?明明是薛问天老师自己说“由此假定推出的命题有真有假,不要因此而困惑。”为什么认为我的“思维并不缜密。”

思维不缜密在什么地方?就是你没有看仔细,这两句话中,一个说的是【由此假定推出的命题........。】一个说的是【康托尔推出的命题......。】前者是康托尔由反证法的假定A【R是可数的】推出的命题,而后者是康托尔无此假定直接推出的命题。这两种情况下推出的命题的真假值能一样吗?也就是说,在推理中直接推出Q为真同在推理中推出P→Q为真。这两种情况下Q的真假能一样吗?显然不一样。而这正是我强调下述道理的原因。我强调说〖这里涉及一个逻辑规律。当证明了 P→Q 为真时。并不保证 Q 一定为真,因为在 P 为假时,Q 可能为真也可能为假。〗当然如果是直接推出Q为真,那Q就是真的,不存在可能为真也可能为假的问题。

没有区别这两种情况下推出的命题的不同,这就是在逻辑思维上还不缜密的地方。

 

 (五),一个命题A能推出矛盾,它肯定是假的命题。

林益先生问【为什么薛问天老师认为反证法假定 A,推出矛盾命题 B 与¬B,证明了 A 为假而¬A 为真。”......薛问天老师引入的“B与 A 有什么关系?符合逻辑哪一条规律?我很“糊涂”。

什么是反证法,正如林益先生所述【反证法理论依据是排中律,要么 A,要么¬A,只有这两种情况,】因而反证法用证明A为假來证明¬A为真。

如何证明A为假呢,这是根据这样一条逻辑推理规律:

如果P→Q为真,Q为假,则P为假。

具体应用到这里,就是证明由A可以推出一个假的命题(B∧¬B)。就能证明A为假。

也就是说A和B,¬B的关系是【推出】关系,由A【R是可数的】即【R与N可以建立一一对应】,可以推出在此对应下B:【R中任一实数,都有N中一自然数与之对应】。另一方面又可推出在此对应下¬B: 【存在R中实数b,无N中自然数与之对应】。(B∧¬B)是矛盾命题自然恒为假,由A可以推出一个假的命题(B∧¬B)。就能证明A为假。

 

(六),当证明了 P→Q 为真时。并不保证 Q 一定为真,

因为在 P 为假时,Q 可能为真也可能为假。所以要请林益先生特别注意,【康托定理是正确的,并不意味着证明中在假定 A 下推出的命题实际一定为真,实际上有真有假。不必为在假定 A 下推出的命题是真是假而困惑。

例如【如果天下雨,则马路上有水。】这无疑是个真的命题。但是【马路上有水】,却可能有真有假。天没下雨,马路上可能就没水。

要知道【所有无穷纯十进制小数能够构成方阵】这个令林益先生困惑的命题,是在【R是可数的】的假定A下推出的,并不是康托定理直接推出的命题,康托尔定理并未推出它为真,所以林益先生不必未此命题不真而困惑。

而这正是我强调这个逻辑规律的目的所在,如我在前面(四)中所说,是希望林益先生的思维更加缜密些,清楚些。想清楚了就不会糊涂了!

(全文完)



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