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Zmn-1195-4 李鸿仪 : 自然数集合的非唯一性与基数理论的错误,四评薛问天的zmn_1192
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自然数集合的非唯一性与基数理论的错误,四评薛问天的zmn_1192
李鸿仪,Leehyb@139.com
很多人认为,自然数集合是唯一的。
聪明人永远只占少数,这就决定了,如果存在有意义的分歧的话,大多数人的意见永远是平庸的。
这里所谓有意义的分歧,是指分歧的各方都有各自的道理,而不是明显错的,比如说不包括精神病人的观点。
数学是一个很容易讲道理的科学。因此谁是谁非很容易判断。
这个讲道理的方法就是严格的数学证明。
在数学中,除了不证自明的原始命题外,任何命题都是需要严格证明的,没有证明过的命题最多只能叫做假设或猜想,没有可靠的数学意义。
在集合论中,用∈关系证明自然数集合是唯一的非常容易,我在文章zmn_1189中已经叙述过了,这里不再重复。
可惜的是,这个证明是建立在自然数集合的外延是固定的这一假定基础上的,而该假定并不成立。
当集合的外延不固定的时候,我们甚至无法判断一个元素是不是一定属于某个集合的外延。在这种情况下,不可能用∈或∉进行可靠的证明。
因此,在集合论中,任何用∈或∉进行的与无限集合有关的证明都是不可靠的。
例如,我在上一篇文章中(自然数集合的无限性,三评薛问天的zmn_1192)指出,自然数集合N的无限性在于且在于其外延是在不断扩大的,因此如果把外延固定下来,这个集合就变成有限的自然数集合了,而一个有限的自然数集合,我们总能找到某一个不在这个集合里面的自然数,使得连n∈N也不成立了。
因此,离开了自然数集合的外延是固定的这个假定,这个地球上不可能有人还能够证明自然数集合是唯一的。
若有人认为仍然可以证明,就请他出来证明一下,我必定可以指出他证明中的不严格之处,比如说隐含了一些不可靠的假定等。
我之所以说得这么肯定,是因为任何一个普遍成立的命题都不可能有反例,相反,只要有一个反例就可证明这个命题的非普遍性。
因此,推翻一个命题,或者证伪一个命题有时比证明这个命题要容易:只要举出一个反例即可。
我在文章当中已经举出了自然数集合唯一性的一个反例:
N={1,2,3...}时,
N′={2n-1,2n|n∈N}={1,2,3...}当然也是一个自然数集合。
但这两个集合并不相同。
有的人可能会不服气,元素都是自然数,怎么会不相同?
后面我将会严格地证明:这两个集合的元素数目不同:N′的元素数目是N的两倍。
如果两个集合的元素数目都不同,这两个集合怎么可能是同一个集合?
这两个集合并不是随便杜撰的。在日常生活中可以找到大量的实例。例如两个无限招生的班级A和B,假定A班每招一个学生,B班就要招两个学生,那么这两个班级学生的学号就分别形成两个自然数集合。
两个可以无限生产零件的车间也类似(略)。
下面就用数学归纳法证明,N′的元素数目是N的两倍:
证明①n=1时,N={1},N′={1,2},显然成立;②假定n=k时成立,即N′={1,2,3...2k-1,2k}的元素数目是N={1,2,3,...,k}的两倍,则n=k+1时,N增加了k+1这个元素,而N′增加了2k+1和2k+2两个元素,故N′的元素数目仍然是N的两倍。证毕
上述证明虽然非常简单,但意义重大。因为从上面证明中可以看出
①N和N′的元素数目不同,所以外延不同,N和N′是两个不同的自然数集合,即自然数集合不是唯一的。
②集合的元素当然是指对元素进行计数得到的结果,对于有限集合,这是一个非常简单的概念。对于无限集合,虽然我们并不能给出任何一个无限集合元素数目的具体数值,但是却可以给出它们的相对数值。例如,在上面例子中,N′的元素数目就是N的两倍。
③既然可以用元素数目精确地比较无限集合的相对大小,充满矛盾和悖论的所谓基数理论,就可以永远进历史博物馆了。
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说起基数理论,源远流长。
很长时间以来,人们都以为无限集合元素数目这一概念没有意义,甚至没有定义。其理由是元素数目只能用自然数来计数,而无限集合的计数过程不能完成,所以无法给出用自然数表示的元素数目,于是就认为无限集合的元素数目没有意义了。
这种看法是狭隘的。世界上有一种数叫做相对值。当我们无法知道某一个集合的元素数目的绝对值是多少的时候,并不等于我们无法知道两个集合的元素数目的相对比值是多少。 而在很多时候,我们其实只需要比较两个集合的大小,这时候只需要知道元素数目的相对比值就足够了。
康托提出了建立在一一对应基础上的所谓基数理论,本质上也是研究相对值是否相等的一个方法:如果两个集合的元素可以建立严格的一一对应,就可以认为它们的元素数目的比值为1。
这种方法虽然并没有十分普遍的意义,比方说当比值不为1的时候就无法应用,但也不能说是错的:至少当比值为1的时候应该没有什么问题。
遗憾的是,康托处理具体问题的时候完全没有哪怕是一点点的严格性。例如,他竟然在集合N1={0}UN与其真子集N={1,2,3...} 之间建立了一一对应关系。
一一对应,虽然有严格的数学定义,但是通俗地说,其实就是一个萝卜一个坑。因此,能够建立一一对应的两个集合,它们的元素数目必定是相同的。
而任何无限集合的真子集,都不过是 原集合中部分元素组成的集合,因此,真子集的元素数目必定是比原集合少的。萝卜数和坑数都不相同,怎么可能建立一一对应关系?
因此,所谓无限集合可以与其真子集一一对应,是数学史上错得最离谱,最愚蠢的一个命题。
可就是这样一个命题,却长期以来被主流数学界奉为经典,广泛接受,足见包括绝大多数人的主流数学界已经平庸到如何程度!
问题的关键仍然在于∈号的应用:要证明这两个集合能一一对应,就要用到∈号。但如前所述,对于集合外延不确定的集合,∈号没有意义,所以康托的所谓证明是错的。
事实上,用可靠的数学归纳法很容易证明,这两个集合之间是不能建立一一对应关系的(见《三评》一文)
连如此低级的错误都要犯,所谓的基数理论当然就一塌糊涂,矛盾百出。
完全摒弃乱七八糟的基数理论,直接根据集合的定义研究元素数目相对关系的方法, 不但能够研究相对比值不等于1的情形,而且比基数理论要严格得多。
康托的思想方法如此混乱不堪,但是在教材中又把他捧得如此之高,这本质上也是一种把人的思想搞乱,毒害下一代的毒教材思路。
任何一个把错误当真理的人,必定是是非不分的,比如说薛问天。
迷途知返,回头是岸。坚持错误是没有出路的。为了面子而不承认真理,只会失去更多的面子。
而反戈一击,成为改正错误的楷模,至少能够给后人留下一个不错的反面教材,这样的人生倒也未必没有积极意义。
希望薛问天先生不要再坚持错误了。
强力呼吁任何一个尚有良知的数学家勇敢地站出来,与错误作斗争,拯救我们可怜的学生娃和下一代。
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GMT+8, 2024-10-12 11:16
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