Zmn-1195-4 李鸿仪 : 自然数集合的非唯一性与基数理论的错误，四评薛问天的zmn_1192

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自然数集合的非唯一性与基数理论的错误，四评薛问天的zmn_1192

李鸿仪，Leehyb@139.com

       很多人认为，自然数集合是唯一的。

       聪明人永远只占少数，这就决定了，如果存在有意义的分歧的话，大多数人的意见永远是平庸的。

        这里所谓有意义的分歧，是指分歧的各方都有各自的道理，而不是明显错的，比如说不包括精神病人的观点。

       数学是一个很容易讲道理的科学。因此谁是谁非很容易判断。

        这个讲道理的方法就是严格的数学证明。

        在数学中，除了不证自明的原始命题外，任何命题都是需要严格证明的，没有证明过的命题最多只能叫做假设或猜想，没有可靠的数学意义。

        在集合论中，用∈关系证明自然数集合是唯一的非常容易，我在文章zmn_1189中已经叙述过了，这里不再重复。

        可惜的是，这个证明是建立在自然数集合的外延是固定的这一假定基础上的，而该假定并不成立。

        当集合的外延不固定的时候，我们甚至无法判断一个元素是不是一定属于某个集合的外延。在这种情况下，不可能用∈或∉进行可靠的证明。

       因此，在集合论中，任何用∈或∉进行的与无限集合有关的证明都是不可靠的。

       例如，我在上一篇文章中(自然数集合的无限性，三评薛问天的zmn_1192)指出，自然数集合N的无限性在于且在于其外延是在不断扩大的，因此如果把外延固定下来，这个集合就变成有限的自然数集合了，而一个有限的自然数集合，我们总能找到某一个不在这个集合里面的自然数，使得连n∈N也不成立了。

        因此，离开了自然数集合的外延是固定的这个假定，这个地球上不可能有人还能够证明自然数集合是唯一的。

       若有人认为仍然可以证明，就请他出来证明一下，我必定可以指出他证明中的不严格之处，比如说隐含了一些不可靠的假定等。

        我之所以说得这么肯定，是因为任何一个普遍成立的命题都不可能有反例，相反，只要有一个反例就可证明这个命题的非普遍性。

        因此，推翻一个命题，或者证伪一个命题有时比证明这个命题要容易:只要举出一个反例即可。

        我在文章当中已经举出了自然数集合唯一性的一个反例:

N={1，2，3...}时，

N′={2n-1，2n|n∈N}={1，2，3...}当然也是一个自然数集合。

        但这两个集合并不相同。

        有的人可能会不服气，元素都是自然数，怎么会不相同？

       后面我将会严格地证明:这两个集合的元素数目不同:N′的元素数目是N的两倍。

        如果两个集合的元素数目都不同，这两个集合怎么可能是同一个集合？

        这两个集合并不是随便杜撰的。在日常生活中可以找到大量的实例。例如两个无限招生的班级A和B，假定A班每招一个学生，B班就要招两个学生，那么这两个班级学生的学号就分别形成两个自然数集合。

        两个可以无限生产零件的车间也类似(略)。

        下面就用数学归纳法证明，N′的元素数目是N的两倍:

       证明①n=1时，N={1}，N′={1，2}，显然成立；②假定n=k时成立，即N′={1，2，3...2k-1，2k}的元素数目是N={1，2，3，...，k}的两倍，则n=k+1时，N增加了k+1这个元素，而N′增加了2k+1和2k+2两个元素，故N′的元素数目仍然是N的两倍。证毕

        上述证明虽然非常简单，但意义重大。因为从上面证明中可以看出

        ①N和N′的元素数目不同，所以外延不同，N和N′是两个不同的自然数集合，即自然数集合不是唯一的。

         ②集合的元素当然是指对元素进行计数得到的结果，对于有限集合，这是一个非常简单的概念。对于无限集合，虽然我们并不能给出任何一个无限集合元素数目的具体数值，但是却可以给出它们的相对数值。例如，在上面例子中，N′的元素数目就是N的两倍。

        ③既然可以用元素数目精确地比较无限集合的相对大小，充满矛盾和悖论的所谓基数理论，就可以永远进历史博物馆了。

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        说起基数理论，源远流长。

        很长时间以来，人们都以为无限集合元素数目这一概念没有意义，甚至没有定义。其理由是元素数目只能用自然数来计数，而无限集合的计数过程不能完成，所以无法给出用自然数表示的元素数目，于是就认为无限集合的元素数目没有意义了。

       这种看法是狭隘的。世界上有一种数叫做相对值。当我们无法知道某一个集合的元素数目的绝对值是多少的时候，并不等于我们无法知道两个集合的元素数目的相对比值是多少。  而在很多时候，我们其实只需要比较两个集合的大小，这时候只需要知道元素数目的相对比值就足够了。

      康托提出了建立在一一对应基础上的所谓基数理论，本质上也是研究相对值是否相等的一个方法:如果两个集合的元素可以建立严格的一一对应，就可以认为它们的元素数目的比值为1。

        这种方法虽然并没有十分普遍的意义，比方说当比值不为1的时候就无法应用，但也不能说是错的:至少当比值为1的时候应该没有什么问题。

       遗憾的是，康托处理具体问题的时候完全没有哪怕是一点点的严格性。例如，他竟然在集合N1={0}UN与其真子集N={1，2，3...} 之间建立了一一对应关系。

        一一对应，虽然有严格的数学定义，但是通俗地说，其实就是一个萝卜一个坑。因此，能够建立一一对应的两个集合，它们的元素数目必定是相同的。

       而任何无限集合的真子集，都不过是 原集合中部分元素组成的集合，因此，真子集的元素数目必定是比原集合少的。萝卜数和坑数都不相同，怎么可能建立一一对应关系？

       因此，所谓无限集合可以与其真子集一一对应，是数学史上错得最离谱，最愚蠢的一个命题。

        可就是这样一个命题，却长期以来被主流数学界奉为经典，广泛接受，足见包括绝大多数人的主流数学界已经平庸到如何程度！

       问题的关键仍然在于∈号的应用:要证明这两个集合能一一对应，就要用到∈号。但如前所述，对于集合外延不确定的集合，∈号没有意义，所以康托的所谓证明是错的。

       事实上，用可靠的数学归纳法很容易证明，这两个集合之间是不能建立一一对应关系的(见《三评》一文)

         连如此低级的错误都要犯，所谓的基数理论当然就一塌糊涂，矛盾百出。

        完全摒弃乱七八糟的基数理论，直接根据集合的定义研究元素数目相对关系的方法， 不但能够研究相对比值不等于1的情形，而且比基数理论要严格得多。

      康托的思想方法如此混乱不堪，但是在教材中又把他捧得如此之高，这本质上也是一种把人的思想搞乱，毒害下一代的毒教材思路。

       任何一个把错误当真理的人，必定是是非不分的，比如说薛问天。

     迷途知返，回头是岸。坚持错误是没有出路的。为了面子而不承认真理，只会失去更多的面子。

       而反戈一击，成为改正错误的楷模，至少能够给后人留下一个不错的反面教材，这样的人生倒也未必没有积极意义。

        希望薛问天先生不要再坚持错误了。

        强力呼吁任何一个尚有良知的数学家勇敢地站出来，与错误作斗争，拯救我们可怜的学生娃和下一代。

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