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Zmn-0416 薛问天：要正确理解康托尔定理证明中的逻辑推理。评李鸿仪先生的《0410》

已有 1987 次阅读 2021-1-14 08:55 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0416 薛问天：要正确理解康托尔定理证明中的逻辑推理。评李鸿仪先生的《0410》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《0410》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

要正确理解康托尔定理证明中的逻辑推理。

评李鸿仪先生的《0410》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

1，先说说b和b_n的记号问题。

通常是用b_n表示无穷小数b的第n位小数(包括李先生在《0403》中的表述。)即令b=0.b_1b_2b_3...。其中b_i≠a_ii，(i=1,2,3,…)。

李先生解释说他用b_n 表示的是【b 中的前 n 位有限小数】。当然这样的约定也并无不可。但是在如下的命题中。

【对于任意大的n, 对角线只能保证b_n(薛注，应为b)不等于a_1，a_2，a_3，… a_n中的任何一个，却无法保证 b_n (薛注，应为b)不等于 a_n+1，a_ n+2，a_ n+3，… 中的任何一个。】我的注释没有错吧！要知道如果这里不是b，而是b_n，是个有限小数，那么它是如何同a_1，a_2，a_3，…这些无限小数比较相等不相等呢？

2 ，关于全称量词的解释。

对此我想不用我再作解释了。李先生已承认说【这些讨论和定理 1 的证明并没有关系。这是因为，在定理 1 里，”任何”正好就是”所有”】。这里并不是什么【正好就是】，而是在逻辑上作为全称量词的”任何”就是”所有”。因为量词说的是对个体变量的属性约束。说的是个体的属性，在一个集合中"所有"个体具有的属性，就是"每个"，"任何"个体的属性。这里不会有歧义的。有歧义的是在不是指个体的地方。例如可以说【班里"所有同学"排队能形成一个阵列，】但不能说【班里"任意同学"排队能形成一个阵列，】这里问题出在【排队能形成一个阵列】的【所有同学】并不是指个体同学，而是指的整体。所以说只有在【所有的】不是在指个体，而是指整体时才会出现歧义。而作为约束个体变量的全称量词來说，指的是个体，因而”任何”就是”所有”。

这在逻辑上没有任何问题。就拿李先生举的例子来说，如果自然数指的是个体自然数，当然理论上可以认为【所有的自然数都可写出它的数值】，它的意思同【任何的自然数都可写出它的数值】是一个意思。只有在把【所有的自然数】看作是全体自然数的整体时 (已不指个体)才会出现歧义。

至于定理1，既然承认”任何”就是”所有”：对于”任何”一个 n，b不等于a_n，自然推出 b不等于”所有”a_n。李先生却说不能证明 b不等于”所有”a_n。理由是对于m>n，b不等于a_n不能证明 b不等于 a_m(m>n)。

这么简单的证明，李先生不会推不出來吧？

我來告你。因为【对任何n，b不等于a_n】，根据约束变量替换原则，约束变量n可以换成x(论域不变)，命题的真假不变。于是有【对任何x，b不等于a_x】。既然对任何x，b不等于a_x，自然对于x=n，x=m(m＞n)，既有b不等于a_n成立，也有b不等a_m成立。证毕。

3，要正确理解康托定理证明的逻辑思路。

李先生说【对角线元素的特点是表示小数个数的行标严格等于表示小数位数的列标，故不管你承认还是不承认，行标严格等于列标的对角线存在且只存在于小数数目严格等于小数位数的有限大或无限大的方阵内。由于没有任何理由可以认为小数的数目应该等于小数的位数，所以无法排斤组成该方阵的小数只是所有小数中的一个真子集的可能性，而对角线证明且只证明了方阵以外还有其他的实数 b，或者说由于 b 的存在，对角线法证明了这个方阵确实只是实数集的真子集而已。

然而，方阵只是实数集的真子集并不意味着实数集是不可数的。】

这段话说明李先生并没有真正理解康托尔定理证明的逻辑思路。证明用的是反证法，先假定【单位区间中的实数集R是可数的】，然后在此假定下推出矛盾，这就证明了【实数集R是不可数的】。

要知道对角线方法之所以能成立， R中的全体实数能列成【无限方阵】，即李先生之所谓的【小数个数的行标严格等于表示小数位数的列标】。这些都是在反证法的假定下推导出來的。反证法假定【R是可数的】，从而有【R同全体自然数集N能一一对应】，才有了上述这些推论的结果。

李先生质疑说【没有任何理由可以认为小数的数目应该等于小数的位数】，这个说法是不对的，在反证法的假定下，【R同全体自然数集N能一一对应】，由于【自然数集N同小数的位数能一一对应】，就可以推导出这个命题（当然，要认可集合元素的个数就是集合的基数），以及「组成该方阵的小数是R中全部实数的集合」。然而【由于 b 的存在，对角线法证明了这个方阵确实只是实数集的真子集】。即推出了方阵中的实数既是全部实数的集合，又是【实数集合的真子集】，产生了矛盾，这才推翻了反证法的假定，从而证明了李先生认为是【并不意味着】的【实数集是不可数的。】定理得证。

李先生，你同意还是不同意，康托尔的证明用的是反证法，是因为在假定【R可数】下推出了矛盾，才证明了【R不可数】。

4 ，关于一一对应。

李先生说【根据小数可数的必要条件是小数能与自然数一一对应来进行证明的，这当然没错，但由于在对角线证明中自然数正好与小数的位数一一对应，因此，在对角线证明中，小数可数的必要条件就变成了小数与小数的位数一一对应了，这就不对了，不能与小数的位数一一对应并不意味着不能与自然数一一对应：b 的存在只不过说明了小数的数目比小数的位数多了 1 而已，不要说仅仅多 1，即使多 2 个，3个，。。。m 个甚至无限个，也不意味着小数不能与自然数一一对应。】

这里有两个问题必须澄清。(A)【由于在对角线证明中自然数正好与小数的位数一一对应，因此，在对角线证明中，小数可数的必要条件就变成了小数与小数的位数一一对应了，】这是正确的，因为一一对应关系有传递性。如果全体小数的集合同自然数集合一一对应，而且自然数集合同小数位数的集合一一对应，则全体小数的集合就同小数位数的集合一一对应。因而不能认为【这就不对了】。(B)【不能与小数的位数一一对应】肯定意味着【不能与自然数一一对应：】，因为在(1)中已说清，由于自然数集同小数位数集一一对应，所以如果能与自然数一一对应，则必然能与小数的位数集一一对应。这说明李先生所说的【并不意味着】是错误的。

这两句错话和后面所说的【仅仅证明了小数个数不能与小数位数一一对应，并没有证明小数个数不能与自然数一一对应。也就是说，实数与小数位数一一对应，只是实数与自然数一一对应的充分不必要条件。康的错误是把充分不必要条件当做必要条件了。】因为前面己经论证，如果不能与小数位数集合一一对应，则肯定不能与自然数集合一一对应。也就是说，实数与小数位数一一对应，既是实数与自然数一一对应的充分条件，也是必要条件。

李先生说【b 的存在只不过说明了小数的数目比小数的位数多了 1 而已，......不意味着小数不能与自然数一一对应。】这句话并不是在批驳康托尔定理证明的推理，在康托定理的证明中，没有认为b的存在就【说明了小数的数目比小数的位数多了 1 】，也没有认为这【意味着小数不能与自然数一一对应。】这些都是李先生自己的理解，属于误读。康托尔定理论证的逻辑是，小数b的存在说明(1)中的实数既是R的全部实数的集合，又是【实数集合R,的真子集】这个矛盾的存在。而这个矛盾是在反证法的假定下推出的，从而推翻了这个假定，才使【R不可数】的定理得证。

5，不容对康托尔证明的误解和歪曲。

李先生说【尽管薛先生不承认，这个问题再清楚不过了：康托就是自以为找出了不在（1）内的 b 而“证明”了实数不可数的，地球人都知道，薛先生不承认没用。】

我当然承认，康托尔是【找出了不在（1）内的 b 而“证明”了实数不可数的】，但是问题是为什么b的存在就能证明【R不可数呢】，它的根据是什么？我刚才说了，是用的反证法，是因为在假定【R可数】下推出了矛盾，推出了(1)中的实数既是全部实数的集合，又是【实数集合的真子集】的矛盾，才证明了【R不可数】。

并不是如李先生所理解的那样【不过是在无限集合中增加了一个元素而已，】【认为能以此改变无限集合的基数，即推翻原可数假定。】

李先生，我问你，根据你对康托定理证明的理解，你究意认为「为什么b的存在就能证明【R不可数呢】，康托尔推论的根据是什么？」是你说的【是在无限集合中增加了一个元素】就能【改变无限集合的基数】吗？如果你这样认为，这就是对康托尔证明的严重误解和歪曲。这并不是康托证明中推论的依据。【无限集中增加1个元素就能改变基数】，这本身就是一个错误的命题，怎么能是康托推论的依据呢？这恐怕也是【所有地球人都知道】的事实，只有极极个别的人不清楚。

纵观李先生对康托尔定理证明的质疑，多是这种模式，先按照李先生的错误理解，提出一种「证明」，然后对这种「证明」进行批驳。其实他批驳的并不是康托尔的证明，而是他的错误的理解。这正是李先生错误之关键所在。

不过我同意李先生说的下面这句话【错了就是错了，为错误辩护没有意义，也不会有结果。】对这句李先生自己的话，也请李先生三思。

6，要摆事实讲道理，空议论毫无意义。

李先生置疑数学的【逻辑缜密性】，说【如果数学中存在错误，比如说对角线错误，它还可能缜密吗？】

这就要摆事实讲道理了，你具体说说，你所谓的【对角线错误】是什么？是数学理论的错误，还是你理解的错误。如果是你认识上的错误，就不能算作数学科学的不缜密，而只能是你的思维不缜密。我们希望听到的是你讲的道理，而不是你心目中的结论。至于既不讲道理也不讲事实的这些空洞的不知所指的议论，如说什么【尽管人们在努力地消灭矛盾，本质上不过是用更多的谎言来掩盖慌言，只会越弄越糟。】这些空话毫无意义。如果真有事实，真有道理，就具体说出來，摆事实讲道理，看看是真的数学科学有问题，还是你的思维和理解出现了问题。

(全文完)

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