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Zmn-0406 薛问天：评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。
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Zmn-0406 薛问天：评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对李鸿仪先生《0403》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明
的几个错误论点。
薛问天
。
实际上对李先生质疑康托尔定理的一些错误论点，已经作过些评论。不过鉴于李先生把他的论点汇总起來，写了《0403》这篇文章。我们也就这篇文章所述的几个论点，不厌其烦地，再一一加以评论。
(1)，对量词【任意】的误解:。
李先生说【对于任意大的n, 对角线只能保证b_n(薛注，应为b)不等于a_1，a_2，a_3，… a_n中的任何一个，却无法保证 b_n (薛注，应为b)不等于 a_n+1，a_ n+2，a_ n+3，… 中的任何一个。】
这是李先生想出來的奇谈怪论，一个命题对任意自然数n都成立，自然是该命题对所有的自然数无一遗漏地全都成立。而李先生却说无法保证该命题对大于n的自然数也成立，从而否定该命题对于所有自然数都成立这个断言。
如果n是个常量，例如n=100，我们断定某命题对n成立，自然只是断定此命题对100成立，无法保证此命题对大于100的自然数都成立。甚至也无法保证命题对小于100的自然数也成立。可是这里的n並不是常量，而是一个变量，而且是冠以【全称量词】的变量，是对于【任意的自然数n】命题都成立，也就是对于【所有的自然数n】命题都成立。
李先生曾在跟帖中说过【如果某命题对任一元素成立，并不一定意味着对所有元素成立，】这句话不对。尽管【任一元素】和【所有元素】在汉语的词义解释上，在日常生活的自然语言的用语上，不完全相同。但是在逻辑上，如果论域(集合)相同，则A:【某命题对任一元素成立】，和B:【某命题对所有元素成立】是完全等价的。A真则B真，A假则B假，A≡B。
李先生说【换言之，除非 a_n 是（1）中的最后一个小数（这当然是不可能的），否则对角线就无法保证 b 不在（1）之内，即并没有形成必然的矛盾，反证不成立。】
由于【命题对任意的自然数n成立】等价于【命题对于所有的自然数都成立】，所以【对于任意的自然数n，b≠a_n】等价于【b不等于所有的a_n】。当然李先生也知道最后一个a_n并不存在，既使它存在也不等于b，因为b不等于所有的a_n。
既然b不等于所有的a_n，b就不在(1)中，从而形成矛盾，定理得证。说明李先生的质疑论点不成立。
(2)，【定理1】及其【证明】的错误。
李先生给出了一个错误的【定理1 】及相应的【证明】:
【定理 1 。无法保证 b 不在（1）之内，故对角线没有证明实数不可数。
证明：对于任意大的 n，总存在 m>n，有可能使得b_n=a_m，即无法保证 n 趋于无穷时，b=lim b_n 不在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。证毕。】
由本文(1)知「对于任何自然数n，b不等于a_n (由于b_n不等于a_nn)」，亦即「b不等于所有的a_n」。因而就保证了b不在(1)中，而不是【无法保证 b 不在（1）之内】。证明中说【对于任意大的 n，总存在 m>n，有可能使得b_n=a_m，(薛注: 这里可能笔误应是指b=a_m，b_n是b的第n位，a_m是第m个实数，不可能谈相等或不等)】。这是不对的。因为「b不等于所有的a_n」，因而无论m有多大，都有「b不等于a_m」成立，不可能存在m，使得b=a_m成立。由于该证明中【b=lim b_n】是个莫明其妙的式子，则所说的【即无法保证 n 趋于无穷时，b=lim b_n 不在（1）之内，】更不知所云。要知道，b是部分和序列0 .b1...bn，(即b1/10+...+bn/10^n)当n→∞时的极限，并不是bn当n→∞时的极限。
(3)，为什么【b 不在（1）之内】，为什么与b不相等的a_n【能穷尽（1）中的所有小数】？
在康托尔的证明中，并不是如李先生所述，是根据【对角线可以无限延长】。李先生说【有人可能会疑惑，既然对角线可以无限延长，为何不能穷尽（1）中的所有小数呢？】
实际上在康托尔的证明中，之所以能推论出【b 不在（1）之内】，以及与b不相等的an能【能穷尽（1）中的所有小数】，是由于反证法的假定【R是可列的】，即【R和N之间能建立一一对应(即无重复和无遗漏的双射)】。因而对任何n，使b≠a_n，则b不在(1 )中。也就是说由假定【R可列】既推出(1)中包含全体R的所有无穷小数，又推出R中的无穷小数b不在(1)中的矛盾命题。
(4)，b的存在证明了什么？
李先生并没有完全理解康托尔证明的推理过程，李先生说【对角线小数永远存在且只存在于，小数个数与表示小数位数严格相等的有限大或无限大的方阵内。因此，b 的存在不过证明了小数的个数不能与小数位数一一对应，仅此而已，再无其它。】
刚才己经说明，论断「存在R中的无穷小数b，不在(1)中」是在假定【R可列】下推出的。而在此假定下还可推出「(1)中包含全体R的所有无穷小数」，这与b的存在发生矛盾。也就是说正是由于反证法的假定【R可列】，推出了矛盾，这才证明了【R不可列】。使康托尔定理得证。怎么能说是【仅此而已，再无其它。】康托尔定理的证明，就是要证明定理成立，本來就无其它要求。
(5)，对集合的一一对应要有正确理解。
按照一一对应的严格数学定义，我们称两个集合是一一对应的，当且仅当在两个集合间存在一个双射关系。
李先生说【小数与自然数一一对应的方法有很多种，为何一定要与小数位数一一对应？难道不能与小数位数无关的其他自然数一一对应？】
要知道世界上有一条恒真的定律，那就是一个人没讲明白，别人就永远也听不明白。＇
李先生的这句话就是一个典型的实例。不知李先生所说的【与小数位数无关的其他自然数】指的是什么？我们知道只要是自然数N，必然与无穷小数的位数有一一对应关系，我们真不明白李先生所说的【与小数位数无关的其他自然数】指的是什么？同时也不明白李先生为什么要说下面的话【这么简单的道理，康粉们怎么就硬是闹不明白？难道康粉们因为盲目迷信外国的月亮，连最初级的思维能力都消失殆尽、荡然无存了？】其实只要你讲明白了，大家就能听明白，你要是没讲明白，别人永远听不明白。这与【月亮上到处都是坑坑洼洼的，一点不圆。】没有任何关系。
(6)，对康托尔定理证明推理依椐的理解严重误读。
李先生说【即使真的能找出不在（1）内的 b, 也不过是在无限集合中增加了一个元素而已，如果认为能以此改变无限集合的基数，即推翻原可数假定，显然与康托理论中的“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”相矛盾】。
这显然是对康托尔证明的理解错误，李先生竞然㸔不出错误來。李先生你是怎么理解，康托尔是根据什么【推翻原可数假定的】。你理解的根据是【能找出不在（1）内的 b, ...在无限集合中增加了一个元素...能以此改变无限集合的基数，】你理解错了，康托尔不是根据你说的这个理由推翻反证法的假定的。这个理由根本就不能成为理由，因为【无限集合中增加了一个元素...能以此改变无限集合的基数，】本身就是个错误的命题，怎么能成为论证的根据呢？你对证明根据的理解是错误的。康托尔证明【推翻原可数假定】的真正根据是，这个假定推出了两个矛盾的命题。从而否定了反证法的原可数假定。所以说李先生根据他的错误理解所得的的结论【显然与康托理论中的“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”相矛盾】是错误的。集合论没有矛盾。
(7)，数学是逻辑缜密的科学，不允许有矛盾。
李先生对数学的看法是错误的。数学是逻辑缜密的科学，不容许有逻辑的矛盾的存在。要求理论系统滿足:协调性(无矛盾性)。整个数学的发展史就是不断克服矛盾不断完善的历史。是绝不容许矛盾和混乱的存在。李先生说【数学似乎可以与很多自相矛盾的悖论和平共处。在我看来，这是不可思议和不可容忍的：一门严肃的科学，怎么可以自相矛盾？】
这是对数学的严重误解和歪曲。他只看到在数学发展史中悖论引起矛盾的一面，而没有看到悖论由新的数学理论的出现而被消解的事实。所有数学中的悖论都是可被消解的。贝克萊悖论巳被极限理论所消解，第二代微积分已不存在此悖论。罗素悖论已被引入真类的概念所消解，在公理集合论中已无此悖论。认为【数学似乎可以与很多自相矛盾的悖论和平共处】的论断不符合事实，是错误的。李先生说的什么【康托的理论连最起码的自洽也做不到！ 乱七八糟的都是一些什么东西啊！】从本文分析的李先生的几个错误论点來看，这些质疑完全是由于李先生对康托尔理论的误解引起的。我相信，只要正确理解康托尔推理的原义，纠正了认识上的这些误区，李先生的这些质疑都可以逐一消解。
(全文完)
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