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Zmn-0406 薛问天:评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。

已有 1121 次阅读 2021-1-3 10:21 |系统分类:论文交流

Zmn-0406 薛问天:评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对李鸿仪先生《0403》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

李鸿仪先生质疑康托尔定理证明

的几个错误论点。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg实际上对李先生质疑康托尔定理的一些错误论点,已经作过些评论。不过鉴于李先生把他的论点汇总起來,写了《0403》这篇文章。我们也就这篇文章所述的几个论点,不厌其烦地,再一一加以评论。

 (1),对量词【任意】的误解:。

李先生说【对于任意大的n, 对角线只能保证b_n(薛注,应为b)不等于a_1,a_2,a_3,… a_n中的任何一个,却无法保证 b_n (薛注,应为b)不等于 a_n+1,a_ n+2,a_ n+3,… 中的任何一个。

这是李先生想出來的奇谈怪论,一个命题对任意自然数n都成立,自然是该命题对所有的自然数无一遗漏地全都成立。而李先生却说无法保证该命题对大于n的自然数也成立,从而否定该命题对于所有自然数都成立这个断言。

如果n是个常量,例如n=100,我们断定某命题对n成立,自然只是断定此命题对100成立,无法保证此命题对大于100的自然数都成立。甚至也无法保证命题对小于100的自然数也成立。可是这里的n並不是常量,而是一个变量,而且是冠以【全称量词】的变量,是对于【任意的自然数n】命题都成立,也就是对于【所有的自然数n】命题都成立。

李先生曾在跟帖中说过【如果某命题对任一元素成立,并不一定意味着对所有元素成立,】这句话不对。尽管【任一元素】和【所有元素】在汉语的词义解释上,在日常生活的自然语言的用语上,不完全相同。但是在逻辑上,如果论域(集合)相同,则A:【某命题对任一元素成立】,和B:【某命题对所有元素成立】是完全等价的。A真则B真,A假则B假,A≡B。

李先生说【换言之,除非 a_n 是(1)中的最后一个小数(这当然是不可能的),否则对角线就无法保证 b 不在(1)之内,即并没有形成必然的矛盾,反证不成立。

由于【命题对任意的自然数n成立】等价于【命题对于所有的自然数都成立】,所以【对于任意的自然数n,b≠a_n】等价于【b不等于所有的a_n】。当然李先生也知道最后一个a_n并不存在,既使它存在也不等于b,因为b不等于所有的a_n

既然b不等于所有的a_n,b就不在(1)中,从而形成矛盾,定理得证。说明李先生的质疑论点不成立。

 

(2),【定理1】及其【证明】的错误。

李先生给出了一个错误的【定理1 】及相应的【证明】:

定理 1 。无法保证 b 不在(1)之内,故对角线没有证明实数不可数。

 证明:对于任意大的 n,总存在 m>n,有可能使得b_n=a_m,即无法保证 n 趋于无穷时,b=lim b_n 不在(1)之内,所以对角线没有证明实数不可数。证毕。

由本文(1)知「对于任何自然数n,b不等于a_n (由于b_n不等于a_nn)」,亦即「b不等于所有的a_n」。因而就保证了b不在(1)中,而不是【无法保证 b 不在(1)之内】。证明中说【对于任意大的 n,总存在 m>n,有可能使得b_n=a_m,(薛注: 这里可能笔误应是指b=a_m,b_n是b的第n位,a_m是第m个实数,不可能谈相等或不等)】。这是不对的。因为「b不等于所有的a_n」,因而无论m有多大,都有「b不等于a_m」成立,不可能存在m,使得b=a_m成立。由于该证明中【b=lim b_n】是个莫明其妙的式子,则所说的【即无法保证 n 趋于无穷时,b=lim b_n 不在(1)之内,】更不知所云。要知道,b是部分和序列0 .b1...bn,(即b1/10+...+bn/10^n)当n→∞时的极限,并不是bn当n→∞时的极限。

 

 (3),为什么【b 不在(1)之内】,为什么与b不相等的a_n【能穷尽(1)中的所有小数】?

在康托尔的证明中,并不是如李先生所述,是根据【对角线可以无限延长】。李先生说【有人可能会疑惑,既然对角线可以无限延长,为何不能穷尽(1)中的所有小数呢?

实际上在康托尔的证明中,之所以能推论出【b 不在(1)之内】,以及与b不相等的an能【能穷尽(1)中的所有小数】,是由于反证法的假定【R是可列的】,即【R和N之间能建立一一对应(即无重复和无遗漏的双射)】。因而对任何n,使b≠a_n,则b不在(1 )中。也就是说由假定【R可列】既推出(1)中包含全体R的所有无穷小数,又推出R中的无穷小数b不在(1)中的矛盾命题。

 

(4),b的存在证明了什么?

李先生并没有完全理解康托尔证明的推理过程,李先生说【对角线小数永远存在且只存在于,小数个数与表示小数位数严格相等的有限大或无限大的方阵内。因此,b 的存在不过证明了小数的个数不能与小数位数一一对应,仅此而已,再无其它。

刚才己经说明,论断「存在R中的无穷小数b,不在(1)中」是在假定【R可列】下推出的。而在此假定下还可推出「(1)中包含全体R的所有无穷小数」,这与b的存在发生矛盾。也就是说正是由于反证法的假定【R可列】,推出了矛盾,这才证明了【R不可列】。使康托尔定理得证。怎么能说是【仅此而已,再无其它。】康托尔定理的证明,就是要证明定理成立,本來就无其它要求。

 

(5),对集合的一一对应要有正确理解。

按照一一对应的严格数学定义,我们称两个集合是一一对应的,当且仅当在两个集合间存在一个双射关系。

李先生说【小数与自然数一一对应的方法有很多种,为何一定要与小数位数一一对应?难道不能与小数位数无关的其他自然数一一对应?

要知道世界上有一条恒真的定律,那就是一个人没讲明白,别人就永远也听不明白。'

李先生的这句话就是一个典型的实例。不知李先生所说的【与小数位数无关的其他自然数】指的是什么?我们知道只要是自然数N,必然与无穷小数的位数有一一对应关系,我们真不明白李先生所说的【与小数位数无关的其他自然数】指的是什么?同时也不明白李先生为什么要说下面的话【这么简单的道理,康粉们怎么就硬是闹不明白?难道康粉们因为盲目迷信外国的月亮,连最初级的思维能力都消失殆尽、荡然无存了?】其实只要你讲明白了,大家就能听明白,你要是没讲明白,别人永远听不明白。这与【月亮上到处都是坑坑洼洼的,一点不圆。】没有任何关系。

 

(6),对康托尔定理证明推理依椐的理解严重误读。

李先生说【即使真的能找出不在(1)内的 b, 也不过是在无限集合中增加了一个元素而已,如果认为能以此改变无限集合的基数,即推翻原可数假定,显然与康托理论中的“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”相矛盾】。

这显然是对康托尔证明的理解错误,李先生竞然㸔不出错误來。李先生你是怎么理解,康托尔是根据什么【推翻原可数假定的】。你理解的根据是【能找出不在(1)内的 b, ...在无限集合中增加了一个元素...能以此改变无限集合的基数,】你理解错了,康托尔不是根据你说的这个理由推翻反证法的假定的。这个理由根本就不能成为理由,因为【无限集合中增加了一个元素...能以此改变无限集合的基数,】本身就是个错误的命题,怎么能成为论证的根据呢?你对证明根据的理解是错误的。康托尔证明【推翻原可数假定】的真正根据是,这个假定推出了两个矛盾的命题。从而否定了反证法的原可数假定。所以说李先生根据他的错误理解所得的的结论【显然与康托理论中的“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”相矛盾】是错误的。集合论没有矛盾。

 

(7),数学是逻辑缜密的科学,不允许有矛盾。

李先生对数学的看法是错误的。数学是逻辑缜密的科学,不容许有逻辑的矛盾的存在。要求理论系统滿足:协调性(无矛盾性)。整个数学的发展史就是不断克服矛盾不断完善的历史。是绝不容许矛盾和混乱的存在。李先生说【数学似乎可以与很多自相矛盾的悖论和平共处。在我看来,这是不可思议和不可容忍的:一门严肃的科学,怎么可以自相矛盾?

这是对数学的严重误解和歪曲。他只看到在数学发展史中悖论引起矛盾的一面,而没有看到悖论由新的数学理论的出现而被消解的事实。所有数学中的悖论都是可被消解的。贝克萊悖论巳被极限理论所消解,第二代微积分已不存在此悖论。罗素悖论已被引入真类的概念所消解,在公理集合论中已无此悖论。认为【数学似乎可以与很多自相矛盾的悖论和平共处】的论断不符合事实,是错误的。李先生说的什么【康托的理论连最起码的自洽也做不到! 乱七八糟的都是一些什么东西啊!】从本文分析的李先生的几个错误论点來看,这些质疑完全是由于李先生对康托尔理论的误解引起的。我相信,只要正确理解康托尔推理的原义,纠正了认识上的这些误区,李先生的这些质疑都可以逐一消解。

(全文完)



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