Zmn-1171 一阳生 : 讨论定义自然数的机制和【第无穷次后继运算】的存在性，评《Zmn-1166》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1166》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

讨论定义自然数的机制和【第无穷次后继运算】

的存在性，评《Zmn-1166》。

一阳生

一、讨论定义自然数的机制和【第无穷次后继运算】的存在性。

1、薛老师说：“我认为说准确点，应是生成过程即演算使用后继运算得到自然数，而不是后继运算得到自然数。”

薛老师根据命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，得出得到(是得到不是定义)自然数的机制【在一次演算中由0经有穷次的后继运算得到一个自然数；然后在另外一次演算中把后继运算次数清零，重新由0经有穷次后继运算得到一个新的自然数；总共无穷次的演算得到全部自然数】。在薛老师这里是演算使用后继运算得到自然数。

我通过【对薛老师用数学归纳法证明该命题的过程进行分析论证】，得出定义自然数的机制【在一次演算中后继运算运算了n次得到n后，在同一次演算中再次让后继运算运算1次(不是n’次)，得到n的后继数n’】。在我这里是后继运算在得到了n之后，又在同一次演算中再次后继运算1次得到了n’。薛老师要注意n’的得到不是在另外的一次演算中由0经有穷次或n’次后继运算得到的。在我这里不存在另外一次演算乃至无穷多次的演算。

所以(在假设该命题可被证明成立的条件下)在一次演算中，后继运算定义了全部的自然数。然后在已经定义全部自然数的条件下，才证明了任一自然数都具有该性质【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】。所以事实上薛老师得到自然数的机制【在一次演算中由0经有穷次的后继运算得到一个自然数；然后在另外一次演算中把后继运算次数清零，重新由0经有穷次后继运算得到一个新的自然数；总共无穷次的演算得到全部自然数。】所依赖的根据是错误的。因为该命题本质上只是在表达每个自然数都具有的性质P，而不是表达自然数的定义机制即不是自然数的定义。（其中的【一次演算】按我和薛老师约定的含义理解。）

薛老师是直接根据该命题或该性质得出得到自然数的机制，而我是对该命题或该性质被证明的过程进行分析后得出定义自然数的机制。我的根据在逻辑推理上在先，自然我的定义自然数的机制是正确的。

当薛老师强行使用自己的得到自然数的机制时，自然数已由我的定义机制定义出来过了。所以薛老师的得到机制所依赖的根据【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】中的【有穷次】(具体如0次,1次,2次等)，从我的定义自然数的机制角度看，都是由自然数对应定义出来的。

在承认我的定义自然数的机制是正确的条件下，即使薛老师仍强行使用自己的得到自然数的机制，也只是再现自然数而已。但从此薛老师将不必煞费苦心的为了规避循环定义，把性质【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】中的【有穷次】定义为实践经验把握的原始概念了。也将不必为了如何造出无穷多个【有穷次】而烦恼了。薛老师要大大方方的承认【有穷次】就是由自然数定义出来的，因为性质【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】不是定义自然数所依赖的根据。

综上，薛老师虽极不情愿，但总算承认了命题【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可定义全部的自然数】是正确的。但薛老师还是要主动明确的认真表态，承认还是不承认？

薛老师说：我们所说的【后继演算】就是常说的【后继运算】，是一个意思，没有区别。是施加于自然数上又得出一个自然数(称为后继自然数)的一种运算，也说是演算。”

看到薛老师把演算和后继运算说成一回事。我想一定是薛老师没有真正理解我们约定的【一次演算】的含义。

我们约定的【一次演算】有两个特点，第一可得到一个或多个自然数。如果得到多个自然数是指包含0、1、2等在内的连续多个自然数。如果得到一个自然数是指最后一次后继运算直接得到的数。第二如果【一次演算】结束进行另一次演算，在另一次演算中须把前一次演算中的后继运算次数清零，然后重新起算后继运算次数得到新自然数。

2、薛老师在《Zmn-1156》中说：“我薛某肯定承认在自然数生成的无穷过程中。进行了无穷次后继运算必然【遍历了全部的在生成每个自然数时的有穷次后继运算】。反过来，肯定也承认：【没有进行无穷次后继运算，即只进行有穷次后继运算(如n次)，必然没有遍历全部的有穷次后继运算】。也就是说在自然数的生成过程中【进行了无穷次后继运算】⇔【遍历了全部的有穷次后继运算】。”

请薛老师回答，既然得到有穷个自然数须后继运算运算到某有穷序数次(如n次)，那么得到全部无穷个自然数的后继运算须运算到哪个序数次？因为没有最后一个有穷序数次，所以后继运算运算到任一有穷序数次(如n次)，都得不到全部自然数。请薛老师认真回答：后继运算要运算到哪一序数次才能得到全部自然数？这个序数次是不是超过所有的有穷序数次？

薛老师不同意【无穷次运算】是【第无穷次运算】，则一定是把【无穷次运算】对应了【无穷多个自然数】。次数和个数涉及到了数的概念，数有基数和序数。薛老师的【无穷次运算】是对应基数意义的。但基数的定义建立在序数的基础上，有基数意义的【无穷次运算】，必然会有序数意义的【无穷次运算】即【第无穷次运算】存在。薛老师如不同意请重点反驳。

3、薛老师说：“我上次说由自然数的定义(①②③)推出【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】。明显看出这个【有穷】就是逻辑推理的【有穷次】。…。这属于一阳生对逻辑推理的不了解。如果在逻辑推理中用有穷步推理推出的命题，这命题说的是【任一】自然数满足某性质，就等价于推出【所有】自然数都满足此性质。这是逻辑的功能，不需要想其它办法。请注意定义③中说的是任何自然数都可由①②得到。我们的推理是对【任何】自然数的命题进行的推理。”

我上篇文章说薛老师的手头上只有0次、1次、2次等这些极其少的一些【有穷次】，根据命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，一个具体的有穷次只能得到一个具体的自然数。所以这些极其少的几个有穷次得不到全体自然数。显然薛老师听进去了我的话，薛老师在想办法造出0次、1次、2次、…，这无穷多个【有穷次】。

薛老师说：“不能这么说，我们是从理论上讨论问题的，不能拿你看到的个别现实来论证。 【有穷次】并不是【极其少】，也不是【有上限】的，而是可以【任意大】。一万次也是有穷次，累死人也只是有穷次，有穷不是无穷，但可以有任意大的有穷。”

薛老师前面说【有穷次】是靠人们长期实践经验把握的，是推理的次数。从我们的真实实践经验看，我们能具体写出、具体说出、具体想象出的次数和生产生活中产生的各种统计次数确实都是极其少的一些有穷次，这远远达不到穷尽全部自然数。

薛老师现在又说有穷次没有最大次只有更大次和任意大次。像这样的次数，只有次数连续不终止的增加才有可能达到，尽管如此这还是不能够穷尽全部自然数。所以如果有这样的推理次数，那就别指望推理产生最后一步的命题和最终结果了。所以薛老师这这里见机行事，毫不犹豫的抛弃了有穷次所锚定的现实推理次数，也抛弃了实践经验，改为理论讨论了。

抛弃了实践经验和现实推理次数的0次、1 次、2次、3次、…，这无穷多个的【有穷次】，薛老师须要交代清楚他们的理论来源。

当然不需要我提醒，薛老师已经主动交代了。薛老师说让自然数的定义(①②③)推出【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】。我就不深究推出的证明过程了(实际上推出不了)。薛老师推出或证明的目的无疑就是：由于有0、1、2、3、…无穷多个自然数，所以推出0次、1次、2次、3次、…无穷多个【有穷次】。因为一个具体自然数对应一个具体有穷次。这就解决了无穷多个【有穷次】的理论来源问题。当有了无穷多个【有穷次】后，就可高枕无忧地再用【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】反推出或反定义出全部自然数了。至于逻辑上产生的循环定义问题，薛老师已经无视了忽略了。

二、关于小球的运动。

我们来讨论薛老师之前认同但后来又否认的一个观点：小球在半开区间[0,1)中运动，不达到1点，就不能遍历半开区间[0,1)中的所有点。

我说除非存在一个与1点相邻的点，可称此与1点相邻的点为a点。除非小球向1点运动达到a点，才可称小球没有达到1点但小球却遍历了半开区间[0,1)中的所有点。但根据直线上点的性质，与1点相邻的点是不存在的。这就意味着小球在半开区间[0,1)内向1点运动时，与1点之间永远是有距离的。薛老师的既要小球不达到1点，又要小球遍历半开区间[0,1)中的所有点，是做不到的！

上面是我的严格证明过程。薛老师的既要又要只能在假设的条件下才能得到满足，但这种假设不存在。请薛老师反驳吧！当然所谓的时间开区间、空间开区间、稠密、无限趋近等这些不严谨的花哨表达都是掩饰，就不要再提了。还有，不给出证明过程的观点是没有说服力的。

三、薛老师的首要任务是给出自己关于极限定义的命题结构。

1、薛老师说：“数学中的不加定义的原始概念都要有公理来界定它的性质。显然【趋向于】不是原始概念，也没有【 具有行为永不停歇的特性。】”

【原始概念都要由公理来界定它的性质】只是您的不完全归纳总结而已，不是定理，您的反驳不能成立。您现在看到了，定义也可以界定原始概念的性质。

您说【趋向于】不是原始概念，那么紧接着您要做的事情就是给出他的定义。否则我们如何进一步讨论。

您要求我给出【x趋向于x0】的定义，我说里面有原始概念不能被定义。那下一步您的正确态度和做法应是：您给出定义。然后我们就此进一步讨论。

我在您的论述中发现，您潜在地给出了【x趋向于x0】的定义，我指出来了。您要旗帜鲜明的表态这是不是您的定义。否则您的观点藏藏掖掖、不让读者明确，反让读者猜测，讨论如何能进行下去！

2、薛老师说：“极限的ε-δ定义给了当 【x趋向于x0】时【f(x)的极限是A】的完整定义。”

您现在的【首要任务】是首先给出极限定义的命题结构！并表态是否认可我对于极限定义的命题结构（A ∧ B）→（C → D）。然后我们才能进一步讨论细节问题。不要在没有全局观和整体认知的条件下，说一些含混不清、不知所谓的话。

3、薛老师说：“【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】作为两个单独的命题分开来定义。”

我在前篇文章已说过，极限定义的命题结构是（A ∧ B）→（C → D）。若把【若x趋近于x0，则f(x)的极限是A。】中的前提和结论分开单独看待，当然是无聊的无用的。所以不能分开。例如蕴含关系命题【若m和n是自然数，则m+n是自然数。】中的前提结论也是不能分开看待的，分开看待就没有讨论的价值了。薛老师要注意，虽然无聊无用无价值，但依然是命题。

薛老师说：“对于函数f(x)=x^2来说 …命题【x趋向于0】 ，【x趋向于2】，【f(x)的极限是0】和【f(x)的极限是4】它们分别是独立判断不了真假的命题。”

蕴含关系命题中的前提和结论，分开单独来看，大多都不能给出确定的真值。但如此否定不了他们是命题。

4、薛老师说：“但同时也可以把ε和δ看作是随时间的变化，对越来越小的ε，都存在越来越小的δ，作一种动态的解释。”

可看出动态的分析不是薛老师的强项。对于每个ε 和δ一经确定，他们代表的是自变量因变量的确定取值范围。在取值范围内是x在动在趋向于x0，不是ε 和δ在动。

除非存在一个与x0相邻的值，x达到该值，才能说x遍历了邻域中的所有值。但这是不可能的，所以区间(x,x0)中的值是x永远遍历不到的，所以静态解释和动态解释的含义不一样。

薛老师说：“从极限的ε-δ定义上看，x趋近于x0时f(x)的极限等于A，这个【动态】指的是【δ越来越小，x0的这个邻域越来越小时，对这个邻域中所有的x，函数f(x)应当满足的性质，】这个【动态】並不是指【x向x0的运动】，在这个运动中 函数f(x)应当满足的性质。所以一阳生所说的【x(可把x看成小球)在区间中的运动】，这样来解释极限的【动态】含义，则是完全错误的。”

ε和δ出现在极限定义的（A ∧ B）中，ε和δ参与了函数性质的静态描述，【对于任一ε…都存在δ …】是标准的静态的存在性的描述。认为ε和δ产生运动是您的主观臆想。对于标准的运动描述【趋向于】您却视而不见。

在函数具备了（A ∧ B）中性质的条件下，即使薛老师故意的让ε和δ取值越来越大，但只要x趋向于x0为真，依然会有f(x)的极限是a。

薛老师说：“在这个ε和δ不断变小的动态过程中，对每个ε和δ，都要判断是否对除x0以外在区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值，都满足 |f(x)-A|<ε。必须是所有的值不能有缺失。”

要知道这些都是极限定义中的函数所具有的性质，不须要您多此一举的让ε和δ不断变小去再次判断，这些自然成立。如果您强行判断，您还是得要使用【任一】、【每个】等这些概括性量词，这些概括性量词都是静态描述，还是不涉及行为动作。

【x趋向于x0】首先在字面意义上就表达行为动作，其次【x趋向于x0】与哲学中的【绝对的永恒的运动】相呼应。所以这种动作不须要谁在后面推着x或在前面拉着x前进，也不须要我们做精细动作去微调x使x更好的靠近x0。在绝对永恒的运动下，x毫无疑问的无限的靠近x0，同时f(x)无限的靠近极限a。（【无限】在这里起到形容作用，不作为数学概念。）

5、薛老师问：“你怎么用潜无穷过程动态地来表达极限。你具体说说，怎么通过x的运动来解释极限。我们听听看它同ε-δ定义的极限是否相同。”

当薛老师正确理解了极限定义的命题结构后，这一切疑问都将豁然开朗。极限定义的命题结构是（A ∧ B）→（C → D）。（A ∧ B）是静态的表述函数的性质。静态的（A ∧ B）只是C的前提或者背景知识，并没有定义动态的C。C是【x趋向于x0】，在背景知识的制约下具有行为永不停歇的特性。D是【f(x)的极限是a】，a在（A ∧ B）已出现。从行为动作上直观的讲，当x趋向于x0时，f(x)的值是极为趋近a的，但不一定达到a。所以称呼f(x)的极限是a，在这里【极限】概念的数学内涵与其字面意义基本是统一的。如果x趋向于非X0的值，f(x)自然不会趋近a，更谈不上f(x)的极限是a。

极限定义的命题结构（A ∧ B）→（C → D）是三位一体的定义。其中只有D才是真正的定义，A、B和C都只是D的前提或背景知识。当A、B和C都成立的时候，D作为定义就成立了。当D是【f(x)的极限是a】时，命题（A ∧ B）→（C → D）是关于极限的定义。当D是【f(x)是动态数】时，命题是关于对动态数的定义。当D是【[x趋向于x0]是潜无穷过程】时，命题是关于潜无穷过程的定义。三个定义三位一体，共同存在，相互不冲突。

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