【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1164》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

用ε越来越小来动态解释极限，这里没有

潜无穷观的任何余地。评一阳生《1164》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一、要严谨严肃的讨论问题。

1、一阳生说得很对，讨论问题【要严谨严肃】。要分清【数学证明】和【直观说明】。不要把两者混为一谈。用数学归纳法证明皮亚诺公理五的等价命题，这是数学证明。关于自然数生成过程的完成，这是直观说明，两者不同。在集合论公理系统中只断定无穷集合的存在，并未涉及集合的生成过程。集合的生成过程只是直观说明。当然，直观说明也要进行正确的逻辑推理，只是要求不同而已。

我们现在讨论的是自然数集合的生成过程的直观说明。如果你把生成一个自然数的过程，由0经有穷次的后继运算得到一个自然数，叫作【一次演算】。那显然生成全体自然数的过程就需要进行无穷次的【一次演算】。每次演算需要进行有穷次后继运算。总共当然需要进行无穷多次后继运算。

当然如果你把生成全体自然数的过程称为【一次演算】，那只能把生成一个自然数的过程称为【一次子演算】。那么一次演算就由无穷多个子演算构成。结果是基本相同的。 每次子演算需要进行有穷次后继运算。总共的所谓【一次演算】当然需要进行无穷多次后继运算。

一阳生先生问，观点【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可得到全部的自然数】是否正确？

我认为说准确点，应是生成过程即演算使用后继运算得到自然数，而不是后继运算得到自然数。应这么说，这样的生成全体自然数的【一次演算】由无穷多个生成一个自然数的子演算构成。生成一个自然数需使用有穷次后继运算，那么生成全体自然数的【一次演算】，就需要使用无穷多次后继运算。

2、我曾经提醒一阳生先生。要非常清楚，生成每个自然数都是由0经有穷次后继演算而得到的。由于生成的自然数有无穷多个，所以在生成过程中使用了无穷次后继演算。要注意这里并没有由0经无穷次后继演算生成什么数。一阳生说他【一点都搞不清楚！】不过我认为一定要搞清这点。

我们所说的【后继演算】就是常说的【后继运算】，是一个意思，没有区别。是施加于自然数上又得出一个自然数(称为后继自然数)的一种运算，也说是演算。

另外也请一阳生注意，对于无穷集要有正确认识，没有第无穷次这个概念。也就是说，整个无穷过程的完成，没有完成的最后一次。生戚全体自然数需要使用无穷次后继运算，但没有第无穷次后继运算这个概念。一阳生所说的【【无穷次后继演算】指的就是【第】无穷次的演算】，【第无穷次后继运算得到无穷序数ω。】这都是对无穷集合的错误认识。特别注意所有自然数这个无穷集合。集合是无穷集，全体自然数有无穷多个。但每个自然数n，它都是第n个数，都是第有穷个数，而在自然数中没有第无穷个数。也就是说所有自然数的每个数都是有穷序数，都有一个有穷数作为它的序数，但所有的有穷序数有无穷多个，它们构成的集合是无穷集。对这个事实必须有正确的认识。

一阳生先生认为全部自然数只有有穷个，这显然不对，说什么【全部有穷个自然数】如何如何，这当然都是错误的论断，因为全部自然数有无穷多个。不能说 【全部有穷个自然数】如何如何。只能这样说，把有穷个自然数构成的集合称为自然数的有穷集合，则【自然数的有穷集合】有无穷多个，它们全部组成的集合是无穷集。它们的并集是全体自然数构成的无穷集。

3、我上次说由自然数的定义(①②③)推出【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】。明显看出这个【有穷】就是逻辑推理的【有穷次】。

一阳生问【薛老师的论证中有【第一步】、【第2步】、【第3步】、【余此类推】，和【n+1步推出n是自然数】。总而言之这些都是【有穷步】，这些有穷步只能推出区间[0,n]中的自然数，没有推出全部无穷个自然数。请问薛老师怎么办？】

这属于一阳生对逻辑推理的不了解。如果在逻辑推理中用有穷步推理推出的命题，这命题说的是【任一】自然数满足某性质，就等价于推出【所有】自然数都满足此性质。这是逻辑的功能，不需要想其它办法。请注意定义③中说的是任何自然数都可由①②得到。我们的推理是对【任何】自然数的命题进行的推理。

另外，一阳生先生认为有穷是极其少，他说【回顾数学和逻辑学中的[关于定理和推论的]证明步骤数，超过1百次的我相信不多，超过1万次的，据我所知没有，这样会累死数学家的。】

不能这么说，我们是从理论上讨论问题的，不能拿你看到的个别现实来论证。 【有穷次】并不是【极其少】，也不是【有上限】的，而是可以【任意大】。一万次也是有穷次，累死人也只是有穷次，有穷不是无穷，但可以有任意大的有穷。

二、区问[0,1)中的点同小球运动时经过该区间的点是一样的。

1，对区间[0,1)中的任何点ε，都有[0,1)=[0,ε]U(ε,1)。其中每个[0,ε]都是整个区间[0,1)的真子集，即有(ε,1)中的那些点不在其中。但是所有的[1,ε]的並集，却等于[0,1)。包含了区间中所有的点。

要知道区问[0,1)中的点同小球运动时经过该区间的点是一样的。小球在开区间经过的点就是所有[0, ε]的并集中的点。一阳生要认清，这就是开区间的特性。静态的分析和动态的考虑小球运动经过的点是一样的没有区别。小球运动时间区间经历了开区问的所有点，小球经厉的位置也经历了此开区间中所有的点。【所有】是逻辑用语，无论用在哪里都都可适用。

2、一阳生说【小球为了经过半开区间[0,1)中的全部点，须要额外的多经过一个点【1点】。小球的运动轨迹是[0,1]，当然要把1点包含进去。】

要知道数学的严密性，既然数学上可以精确到可以考虑开区间[1,0)，其中不包括端点。自然在研究小球运动时，也可以精确到， 小球经过半开区间[0,1)中的全部点，而不必须要额外的多经过点1这个点。

三、关于潜无穷过程的定义。

1、一阳生说【我是用A∧B定义 【x趋向于x0是潜无穷过程】，不是分别定义了【潜无穷过程】和 【x趋向于x0】。】

定义不能这样说，你必须先定义【x趋向于x0】，然后再用它来定义 【潜无穷过程】。可是对 【x趋向于x0】你並没有定义。

2、一阳生对【x趋向于x0】没有作定义，而说谓词【趋向于】是【原始概念，不能被其他概念所定义，】这种说法显然是错误的。没有这个原始概念。数学中的不加定义的原始概念都要有公理来界定它的性质。显然【趋向于】不是原始概念，也没有【 具有行为永不停歇的特性。】

极限的ε-δ定义给了当 【x趋向于x0】时【f(x)的极限是A】的完整定义。不能把 【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】作为两个单独的命题分开来定义。你无法分别具体给出定义。一阳生先生你试试给出定义我们看看，你给不出来。

一阴生认为 【x趋向于x0】和【f(x)的极限是A】是两个可以独立判断真假的命题显然是错误的。

对于函数f(x)=x^2来说 【x趋近于0时，f(x)的极限是0。】是真， 【x趋近0时，f(x)的极限是4。】是假，【x趋近于2时，f(x)的极限是4。】是真 【x趋近于2时，f(x)的极限是0。】是假。但是命题【x趋向于0】 ，【x趋向于2】，【f(x)的极限是0】和【f(x)的极限是4】它们分别是独立判断不了真假的命题。

3、对极限的ε-δ定义，当然可以做静态的解释。对任何ε都存在δ，使f(x)满足某些性质。函数f(x)有这种ε-δ的逻辑关系。但同时也可以把ε和δ看作是随时间的变化，对越来越小的ε，都存在越来越小的δ，作一种动态的解释。无论静态或动态的解释含义都是一样的，没有差异。都是在说对于所有满足0<|x-x0|<δ的x，都要使 |f(x)-A|<ε。当然要求的就是所有除x0以外在区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值。必须是实无穷观所断定的所有无穷个值。这里没有潜无穷观的余地。不允许潜无穷观所说的还有除x0以外未达到的值。0<|x-x0|<δ表示x可以取邻域内除x0以外的所有值。

我发现一阳生的错误认识主要表现在对极限的动态分析缺乏正确认识。从极限的ε-δ定义上看，x趋近于x0时f(x)的极限等于A，这个【动态】指的是【δ越来越小，x0的这个邻域越来越小时，对这个邻域中所有的x，函数f(x)应当满足的性质，】这个【动态】並不是指【x向x0的运动】，在这个运动中 函数f(x)应当满足的性质。所以一阳生所说的【x(可把x看成小球)在区间中的运动】，这样来解释极限的【动态】含义，则是完全错误的。

在这个ε和δ不断变小的动态过程中，对每个ε和δ，都要判断是否对除x0以外在区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值，都满足 |f(x)-A|<ε。必须是所有的值不能有缺失。

这才是对极限的正确认识，不是一阳生所说【 薛老师对于极限定义的错误认知】。

一阳生说了【潜无穷过程表达永不停歇的行为动作】，同时也说过潜无穷过程是永不完成的过程。极限是个很具体的概念，你怎么用潜无穷过程动态地来表达极限。你具体说说，怎么通过x的运动来解释极限。我们听听看它同ε-δ定义的极限是否相同。

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