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Zmn-0433 薛问天： 「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」后剩余下什么？评黄汝广先生的《0338》
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Zmn-0433 薛问天： 「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」后剩余下什么？评黄汝广先生的《0338》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对黄汝广先生的《0338》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」后剩余下什么？
评黄汝广先生的《0338》
薛问天
。
又重新看了黄的《0338》，我的《0337》， 以及前面的: 黄《0333》，薛《0328》，黄《0325》，薛《0321》，黄《0319》，薛《0316》，黄《0314》，薛《0311》，黄《0308》。
我发现主要问题是黄汝广先生把问题看得过分简单了。实际上并不是如黃想像的那样简单。
黄先生在《0338》中说【“我的前提很简单，那就是先对(0,1)内的所有有理数进行编号，然后再按编号顺序全部挖去，并对剩余部分进行编号（当然，为了明确起见，在每一个部分被一分为二时可以使「左边的」部分保留原编号，新增编号的是「右边的」部分）。】于是黄先以为，挖去全部可数无穷多个有理点后，剩余的就是这个编了号的可数无穷多个「部分」的序列。果真如此简单吗？很快我们就发现实际並不是如此简单。这不是事实。
剩余部分不是黄先生想像得那样，只有一个编了号的可数无穷多个「部分」的无穷序列。由于编号规则的不同，就有不同的编了号的序列。它们都是最后的剩余。由于不同的编号规则有不可数无穷多种，所以最后剩余的是不可数无穷多个(基数是连续统א)无穷序列。而每个无穷序列已不是由开区间组成，而是由空集或仅含一个无理数的独元集构成。于是在区问(0,1)中挖走全部有理数后，剩余的是不可数无穷多个无理数。
下面我们來进行一番具体的论证。
将(0,1)内的所有有理数排成一个无穷序列，然后再按此序列顺序逐一挖去。我们可证明如下定理，先从有穷情况谈起。
定理A(有穷)。在挖去n个(有穷个)有理数后，剩余的是n+1 个开区间。这些区间按某种编号规则编号，就可构成一个编了号的区间的有穷序列。
定理B(有穷)。在挖掉有理数的过程中，当被挖有理数落在某区间中时，该区间被一分为二。按编号规则的规定一个区间是保留编号，另一区间是新增编号。也就是说，编了号的区间的有穷序列的形成过程中，不仅序列长度在不断增加。其中的区间也是在不断变化着的。是不断地从区间中切掉一部分区间(成为新增编号区间)而保留编号的区间只是剩下的部分。
定理C(有穷)。按照规则编了号的区间的有穷序列。其中有些区间的是保留编号，有些的是新增编号。
定理D(有穷)。不同的编号规则，形成不同的区间的有穷序列。序列长度为n+1 时(删除n个有理数)，有2^n种不同编号规则，从而有2^n个不同的区间的有穷序列。
以上是在挖数操作有穷时成立的定理。对于无穷次操作后的情况如何呢？
定理A(无穷)。在挖去全部可数无穷个有理数后，所剩余的是按各种编号规则编了号的「部分」的可数无穷序列。这里之所以称其为「部分」，是因为已不能保证它们是开区间了。可以用实数的稠密性证明，这些「部分」只能是空集或只含有一个无理数的独元集。
定理B(无穷)。在挖去全部可数无穷个有理点后，所有编了号的区间的有穷序列，变成了编了号的「部分」的可数无穷序列。所有的区间被无穷次地一分为二，并【切掉】其中的一个区间，无穷次的【切掉】后，就不再是开区间，而成为空集或只含有一个无理数的独元集。
定理C(无穷)。按照一定的规则编了号的「部分」的无穷序列。无穷序列中所有的编号都是保留编号。
定理D(无穷)。不同的编号规则共有不可数无穷多个(基数是连续统א)，所以剩余的有不可数无穷多个(基数是连续统א)「部分」的无穷序列。由于可证对于每个无理数a，都有一特定的「编号规则a」，使在这种规则下的编号无穷序列中包含有无理数a。所以最后证明，在(0,1)中挖去可数无穷个有理数后，所剩余的是全体不可数无穷多个无理数。
下面來分析和评论黄先生的质疑。
黄先生说【请薛先生注意，我的前提里根本就没有所谓的“编号规定α”！】
为什么要引入「编号规则a」，是为了证明对于每个无理数a，都有一特定的「编号规则a」，使在这种规则下的编号无穷序列中包含有无理数a。这样最后就证明了，在(0,1)中挖去可数无穷个有理数后，所剩余的是全体不可数无穷多个无理数。′
黄先生说【而且薛先生说：“由于稠密性的缘故，比α大的和小的有理数连同无理数都被从此保留编号的区间中切掉，”这更是直接违反了我的前提，因为我的前提是只挖有理数，不挖无理数，而薛先生是要连无理数也要挖去或者切掉！我的最简单的要求，你都无法满足，还说是应我的要求，这不是太可笑了吗？！】
黄先生想得太简单了，我在上述定理B(有穷)已讲清楚。在挖掉有理数的过程中，当被挖有理数落在某区间中时，该区间被一分为二。按编号规则一个区间是保留编号，另一区间是新增编号。也就是说，编了号的区间的有穷序列的形成过程中，不仅序列长度在不断增加。其中的区间也是在不断变化着的。是不断地从区间中切掉一部分区间(成为新增编号区间)而保留编号的区间只是剩下的那部分。注意这里是被【切掉】一部分区间，而不仅仅只是被【挖走】有理点。
黄先生写道:【薛先生说：“把Am一分为二。左边是(am,yn)，右边是(yn,bm)。这里就有两种编号的规定选择。第一种选择是规定令左边区间保留原编号Am，右边区间为新增编号An+1。第二种选择是规定令右边区间保留原编号Am，左边区间为新增编号An+1。由于对每个n都有2种选择。而可能的编号规定集合的势是不可数无穷(证明略，见《0322》和《0335》中的-3.2，3.3)。
由于不同的编号规定形成不同的剩余无穷序列。这就证明了下述定理。
【定理3】「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是由所有可能的编号规定所形成的不可数无穷多个无穷序列。”
薛先生这里明显是在偷换概念了：因为我是在讨论剩余部分的编号的个数，而薛先生实际上是在讨论剩余部分的编号的排列数！跑题太远了！】
不是我【在偷换概念了】，【跑题太远了】，而是黄先生想得太简单了，剩余部分不是黄先生想像得那样，只有一个编了号的可数无穷多个部分的无穷序列。由于编号规则的不同，就有不同的编了号的无穷序列。它们都是最后的剩余。由于不同的编号规则有不可数无穷多种，所以最后剩余的是不可数无穷多个(基数是连续统א)无穷序列。
黄先生说【薛先生的上述讨论最多只是表明，要完成我要求的操作，理论上可以有无穷多不同的选择方法，而对于我所讨论的问题，只要其中一种方法就可以了。这里要明白是，每一种方法都对于最终的剩余部分全部进行了编号，因而每一种方法的最终的剩余部分的个数是可数的，所不同的只是对于同一个部分，不同的方法给出编的号可能不同而已。】
黄先生想得不对，剩余的是所有不同方法形成的所有无穷序列，而不是【只要其中一种方法就可以了。】原因很简单，
如果不同方法形成的无穷序列，结果是相同的，那么【只要其中一种方法就可以了。】可是不同方法形成的无穷序列，结果并不相同。例如「编号规则a」，在这种规则下的编号无穷序列中包含有无理数a。「编号规则β」，在这种规则下的编号无穷序列中包含有无理数β。采用黄先生的编号规则，在他这种规则下的编号无穷序列中，全是空集。所以说就必须把所有的可能都考虑进去。所以说，剩余的是所有不同方法形成的所有无穷序列，而不是【只要其中一种方法就可以了。】
这里也涉及【有穷】和【无穷】对象性质的区别。的确，对于区间的有穷序列來说，无论怎样编号，序列中的所有区间的总和，即它们的并集都是一样的，相等的。所以只选一个有穷序列就可以了。但是对于无穷次的操作后，不同方式形成的各种不同编号的无穷序列，各自序列中的全体「部分」的总和(并集)，不一定都是相等的，有的就不相等。所以必须考虑所有可能的无穷序列。因而在思想上一定要注意这种【有穷】和【无穷】性质的区别。不要误以为在有穷情况下显然成立的规律，在无穷情况下就都一定成立。
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