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Zmn-0432 沈卫国：再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题。

已有 1675 次阅读 2021-2-2 09:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0432 沈卫国：再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题。

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题

—兼论紧扣导数、瞬时速度新定义的新的直接求导方法。

沈卫国

摘要：对瞬时速度这一与导数密切相关的概念，进行了彻底的讨论。基本思想，为笔者系列论文之汇总。并有些深化、细化。涉及瞬时速度的重新理解、重新定义问题，原有定义内暗含矛盾且无法消除的问题等。即，新的瞬时速度定义是必须的、无可替代的。在此基础上，可以对与之密切相关的导数概念有一个彻底的澄清。因此，有助于对笔者提出的微积分求导问题新诠释的理解。同时，对切线、切点进行了以往未见的比较详尽、完备的定义。根据前期讨论、分析，提出了相对不可达极限与绝对不可达极限的概念。对微积分、极限法中应用十分广泛的三明治定理在微积分求导问题中的应用，进行了详尽的分析，指出其问题及在此基础上提出的与新导数定义相一致的新观点，给出了其表观成立的新诠释。

关键词：速度；瞬时速度；平均速度；微积分；导数；切线；割线；斜率；时刻；时段；时间点；时点；变速运动；加速度；外力；无限小；极限；误差；近似；相对不可达极限；绝对不可达极限；三明治定理；三角函数求导；正弦函数求导；切线定义；切点定义；非标准分析

瞬时速度以及导数的重新定义问题

与微积分导数概念密切相关的瞬时速度的理解、定义定义问题，是一个相当核心的问题。笔者在与别人讨论中发现，如果不对这个问题彻底澄清，而只是一味地在传统瞬时速度及导数的定义、概念上打转，不可能理解笔者对微积分求导问题的澄清。而如果彻底理解了笔者提出的瞬时速度的新定义，则可一通百通，不但可以很好理解笔者对牛顿、莱布尼兹求导过程及其结果的诠释，而且可以由此定义出发，直接求导，而不要再管传统求导的路数，以彻底简化求导过程、更新求导方法，以达到更易理解的目的。基本定义不同，具体做法、求法自然也不同，也应该不同。以下就此问题对笔者系列文章中涉及的相关内容做一个归纳及深化，以期更为强调。

笔者虽然在关于微积分的第一篇文章中（近十年前），就已经明确、完整地给出了导数、瞬时速度的新理解、新定义，但可能很多人没有看到或者没有重视或没有深刻理解其中真实含义，其与传统导数、瞬时速度定义的区别，因此在讨论中动辄就又回到或援引老定义所决定（也只能如此决定）的求导方法来杯葛笔者做法。这种情况频繁出现，不胜其烦。因此，笔者认为有必要重新专文单独谈谈这个问题。实际上，只要对新导数、瞬时速度定义彻底搞清（实际很容易），就可以直接针对这个定义来求导、求瞬时速度，而彻底抛弃传统那个会导致分母为0的求导、求瞬时速度的方法（也即分母上存在自变量的方法）。当然，对其居然可以在存在表观矛盾（贝克莱悖论）的情况下，得到正确结果的现实进行说明时除外。总之（重要的事不妨反复强调），今后的求导、求瞬时速度，就可在新定义下直接去求，完全不需要再去纠缠原先那些容易产生歧义、误解的求法。尽管那些求法在笔者在新定义基础上的新诠释下，也可以用。但由于太容易与传统定义下的求法混淆，因此不如在新定义下直接求好。说的再明白些，就是在求导过程中，原先那个必须出现的分母上的自变量，根本就不再出现在推导过程中——就这么简单。既然没有分母了，还有分母上出现0（得到0/0）这回事吗？

以下回到正题，对瞬时速度问题进行讨论。

任何一个物体，在外力作用下作曲线运动或变速运动时，都知道是有不间断的加速度的，只要这个外力不被解除而持续的话。加速度，顾名思义，就是速度随时在变，无论这个时段是多大、多小，哪怕时段真的是“无穷小”（如果真有的话），速度也在变，而绝非像经常有人认为的那样，时段无穷小了，一个原本不断变化的速度（加速度）就在这个无穷小的时段上不变了，恒定了，到下一个无穷小时段起始时刻来一个“突变”。这从加速度的完整定义可以得到印证。我们说，加速度的定义，就是外力的作用下，物体的速度在任何时段下随时在变，甚至哪怕无穷小时段也在变的速度。这时无非就是“变化无穷小的速度”或“具有无穷小变化的速度”。当然，尽人皆知，作为矢量，速度包括方向与大小数值。所谓变化，指的是这两个方面都可以变。既然是“任何时段”，当然包括“无穷小时段”。如果在无穷小时段速度可以不变了，就不是任何时段了。

在某时段的受力变速运动、加速运动，当然有平均速度。但瞬时速度呢？所谓“瞬时”，理想情况下就是“无时段”、无“长度”、“无延时”的时刻（点时、时点、时间点）。其实由于这是一个基本概念，与几何上的“点”概念同构，所以上述所谓的定义，其实是重复定义，并不算数，只能算是一个“描述”。因此，本质上是无法在瞬时上定义速度的，因为速度的原始或本原定义是：在某非0时段下物体的运动距离与这时段之比。当然，平均速度也自然符合这个定义。但是，但是（重要的事情要强调）瞬时速度，也就是“无时段速度”、“时间点速度”、“0时段下的速度”，显然不符合速度的原始定义，也就是该定义对“非0时段”的要求。因此显然，所谓瞬时速度，如果不依赖非0时段的速度，本质上是无法直接定义的。甚至一般意义的速度概念，都无法在瞬时概念上定义。因此不用说受力物体的变速运动，就是不受力物体的匀速直线运动，在本质上、也就是在本原意义上，都没有瞬时速度概念的容身之所。因为其中的“瞬时”概念、“0时段”概念，与“速度”概念中的非0时段要求直接矛盾。此点，以往似乎未见什么人彻底澄清。

此外，实际瞬时、时点、0时段、时刻等等时域概念，其空间对应概念就是“点”、“0长度”、“0位移”等等。空间的点，本质上是没有任何长度或距离的（长度、距离为0）。因此，0时段也就是某瞬时，对应于运动距离，也只能是0距离，0长度。二者之比，此时不能不是0/0，无任何意义。这也就是不可能在瞬时、进而无距离的空间点上定义本原意义的速度概念、瞬时速度概念的根本原因。

如果我们把上述看法类比于几何概念，就是任何两个线段的长度之比——无论是直线还是曲线，完全也仅仅依赖于“长度”，也即一定要有长度，或长度不能为0。一定要我们给出根本就没有长度的某点的这“两个线段的长度之比”，在定义层面的一开始就是矛盾的。

但是，难道就不可以有应用如此广泛的瞬时速度概念了吗？难道我们真的要禁用这个词了吗？当然不是。我们的目的，是要彻底澄清这个概念在什么意义上可以或必然存在，而不是取消它。因此，瞬时速度在本质上是一个“二次定义”下的速度，而不是本原意义下的速度。这一点，在笔者有关微积分求导的第一篇文章中就已经明确指出来了。

我们定义，瞬时速度：一个受到外力作用作变速运动的物体，如果在某瞬时（时刻、时点）所受之力突然被取消后其作匀速直线运动下的速度，就被定义成该受力变速运动物体在该瞬时（时刻、时点）的瞬时速度。注意此定义中的“如果”，显然不是真的去取消这个力，而仅仅是“如果取消”、“一旦取消”会如何的意思。在这个所谓的“二次定义”下，即把瞬时速度定义在了受力变速运动的任何“瞬时”（0时段，时刻，时点），同时又兼顾了速度本原定义的非0时段的本质和要求。使得定义中不会再出现根本性的矛盾了。而且，这也是唯一不会出现矛盾的瞬时速度的定义。

当然，如果在该瞬时外力真的被取消了、此事真实地发生了，那么，该瞬时的速度，自然就是此后的匀速直线运动的速度，而不是那个变速运动的瞬时速度了。理由自然很简单：那个变速运动已经不存在了（被消除了），它自然也就没有了任何速度，包括瞬时速度，平均速度。

如此，物体不受力时的匀速直线运动中的瞬时速度，就是上述定义的一个特例：因为此时物体总是以匀速直线运动的，于是显然，任何一个瞬时，瞬时速度的数值全一样。在匀速直线运动下，速度、瞬时速度、平均速度的数值全一样。

必须注意，以往瞬时速度的定义中，是没有“如果物体所受外力突然消失”这一要求或约束条件的。以往的瞬时速度定义（或虽然没有专门的明确定义，但在实际使用中不能不实际认可的）并不假设如果受力消失与否的问题，它完全是直接建立在变速运动、外力始终存在的条件之上的。如此，按无穷小法，时段再小，哪怕无穷小，速度也在变，因为“变化”本身同样可以是无穷小，因此没有一个固定的值。从逻辑上，绝对不是时段无穷小了，速度就不能再变了，就非得固定了。没有这回事。既然宏观时段对应于宏观变速，当时段趋于无穷小时，性质“变速”本身也趋于无穷小，这个性质是任何时段（当然包括无穷小时段）共有的性质。因此按极限法，该极限显然是“不可达极限”，即所涉瞬时是不可达的。这显然不符合实际：任何瞬时，都是现实中可以到达和越过的，否则还能有时间的流逝吗？时间不是就凝固了吗？果真如此，孔子也就不必发那个著名的感慨“逝者如斯”了，甚至我们现在都还能看到孔子。

我们知道，瞬时速度概念，是直接与微积分中的导数概念相对应的。因此这个问题非同小可，绝对不是可有可无的。以往的导数定义，就相当于以往的瞬时速度定义，前面已经论及，无论极限法还是无穷小法，都会产生问题，也就是矛盾。这实际就是著名的贝克莱悖论产生的终极原因及的本质。它对应的几何意义，就是一个曲线线段，无论多小，都只能是曲线（不是直线！），哪怕是无穷小（对应于无穷小曲线）。在无穷小曲线线段下，也不可能像一些人想当然认为的那样，“曲线与直线合二为一了”、“两者重合了”、“两线方向一致了”等等。无穷小，可不是直线的专权。因为任何一段直线弯曲了，就是曲线；而任何一段曲线拉直了，就是直线。这个性质，在无穷小时（如果真有的话）也必然保持着。绝对不会是只有无穷小的直线段才有无穷小的长度。对于极限法微积分（所谓第二代微积分，标准分析）求导所涉及的不可达极限值（微积分求导，最终取的是不可达极限值，而不是所谓未曾完成、永不可完成的不可达极限过程），首先它是定义在某点的，本原性的比值（作为增量比值函数，分母上有自变量）不可能存在，因为分母此时为0（具体说就是0/0）。而作为不可达极限，该点不是原曲线的增量比值函数的函数点（即在该点并没有函数值或函数值为0/0）。如果该函数上点点都如此（指每一点的函数值都是0/0），这就是一个原曲线增量比值的不可达函数（指函数上任何点都没有函数值，或函数值为0/0）的点点都不可达的极限函数。因为按极限法微积分求导，函数值为0/0的点，却可以有非0/0的有意义的不可达极限值，比如二次函数下的极限值2x（即导数值）。换言之，该曲线的增量比值的不可达函数，原来在其上的任何点都没有函数值或说函数值为0/0，因此该比值函数原来根本就不可能存在！毕竟谁见过或会承认有每一点的函数值都是0/0或说没有有意义的函数值的函数？可谁又能说用极限法微积分求导求出或定义出的不可达极限函数，不就是这样的一个函数？而该函数的每一点（注意，这里本身就是矛盾的：这个函数的每一点都没有函数值或函数值为0/0，但却还有或不得不有“每一点”，这是一个每一点都没有函数值，但却又有每一点的函数。与其说它是个正经的函数，不如说是个矛盾）只有不可达极限值。可能出现这种情况吗？当然不可能。这里面又是一个典型的逻辑循环，只不过以往居然没有被人发现而已：我们本欲求瞬时速度函数，但发现在某点、进而所有点都并没有这个瞬时速度，也就是会得到0/0，即这个瞬时速度函数本身根本就不存在。因为它在任何一点都无定义，都是0/0。也就是在任何点都没有其函数值。但正是这个在任何点都没有函数值的奇怪函数，或根本就不存在的函数，或根本就不该存在的函数，却可以在任何点都有其不可达极限值。有一个不存在的函数，竟然可以求出其每一个本不存在的点的极限值。我说这种函数“奇怪”都是客气的。与其说是“奇怪”，还不如说是“荒唐”。接着“说故事”（极限法微积分求导的故事）。于是我们令该点的不可达极限即为该点的瞬时速度。此做法适用于这个本在任何点都没有函数值的这个函数上的实际不存在的任何点（每个点实际都是0/0），于是我们又有了重新定义的、基于不可达极限的、每点都有定义也就是都有函数值的瞬时速度函数。这个意义上，此时的瞬时速度又是每点都有可达极限也就是函数值的了。这完全是荒腔走板的。更何况退一步讲，如果前后这两个函数就是同一个，后一个就是我们原先所欲求的那个，则用后者代替前者，就应该在一开始就不会出现什么不可达极限的事。因为后者原来就是重新定义的可达极限。为什么还要用那个虚无缥缈的不可达极限，去代替我们原先欲求的前者？更何况既然我们可以用后者代替前者，那如果我们有其它办法直接求得这个已经被重新定义成有了函数值的所谓“新函数”，那为什么不用？为什么非得通过点点函数值为0/0的无厘头所谓函数，去求其不可达极限，然后又去“任命”这个不可达极限值就是其函数值？搞这种“曲线定义”还有必要吗？比如，还以二次函数为例，极限法微积分求导思路是：其增量比值函数（分母上有自变量且会等于0的）△y/△x=(2x+△x)△x/△x在△x=0点的函数值是0/0。不行。再求其△x→0的不可达极限，为2x，然后令这个不可达极限值就是新函数的函数值。如果可以如此，我们为何不能从其没有分母的（自然不会再有什么分母为0的事，即根本不会有0/0）增量函数△y=(2x+△x)△x=k（△x）△x，直接求这个曲线的切线的系数（也就是斜率）k（0），不是直接就求得了这个确定的函数值（注意，不是什么不可达极限了。就算是极限，也是可达极限）2x了吗？何必非去求那个什么不可达极限（函数值为0/0的），然后还得“任命”这个不可达极限值为新的函数值？更何况无论牛顿、莱布尼兹还是柯西的极限法微积分求导，实际都是先通过约分消去增量比值函数中的△x/△x把分母上的自变量△x去除后才自认为求出的增量比值函数△y/△x=(2x+△x)△x/△x在△x=0点的不可达极限2x的。但实际上，他们求的都就是已经没有了分母的2x+△x在△x=0点的函数值。即他们实际求出的，就是笔者前面建议的增量函数△y=(2x+△x)△x的系数k（△x）在△x=0点的系数值。消去了分母，还有分母什么事？这就是切线斜率无疑。也就是，他们实际都求出来了，但却都理解错了。此外，二次曲线的增量函数△y=(2x+△x)△x当自变量△x=0时，增量函数值也是0，或极限为0（无论视为可达还是不可达极限）。对增量的比值函数而言，这个0在分子上。无论分母再去等于什么（且不说为0），也不可能会有个极限2x出来。增量函数值及其极限值都是0了，增量比值函数的不可达极限会是2x吗？不可疑吗？这里面反映的问题，一目了然。后面再细谈。

总之，一个点点都只有不可达极限的函数，也就是其上每一个点只是不可达极限点的函数，其每一个点都当然没有函数值，也就是点点都必然“不可达”，否则就不是不可达极限了。但如果一个函数居然每一个点都没有函数值，这还是个函数吗？这个函数还存在吗？还有吗？而如果根本就没有这个函数，这个函数根本就不曾存在，又是怎么能够知道其上的每一个点甚至任何一个点都是“不可达”的？也就是其上任何一点都没有函数值，而只有不可达极限值的？这还不是个“逻辑循环”吗？更何况就算我们可以求得这样的点点都没有函数值、但却具有点点不可达极限值的函数，那我们令这些原本并无函数值的不可达极限值为新的函数值，构成新的点点都可达、都有确定函数值的函数，那么问题来了，既然居然可以有这样的可达的函数，也就是反正我们也可以定义这样的函数，那么，何不一开始就如此定义，为什么非要先定义点点没有函数值却有不可达极限值的那个函数，再来定义这个函数是点点有定义的，也就是点点可达的、有函数值的？这里面的矛盾和因果紊乱，一经披露，焉能瞒过识者？更何况我们还有前述更好的、可直接求出与这个不可达极限值在数值上完全一样的函数值的方法。那里根本就不存在什么0/0问题，为什么不用？凭什么不用？

过去人们只涉及和谈论一个点，“尝浅辄止”，不去深究了。但如果一旦扩充这个单点的结论到所有点，其荒唐尽显。是一种典型的逻辑上的“偷换概念”错误。

以上披露的问题，还是在确实存在这一的不可达极限的情况下的。其实，本文后面以及笔者前期论文揭示，这样的极限，根本还就不存在。因此极限法微积分求导，只能说是错上加错。从哪个角度分析，它都是错的，也就是会产生矛盾的。其问题，比之牛顿时代的微积分（也就是贝克莱大主教所攻击的）更甚。这是因为它试图以更不靠谱的概念及做法，去掩盖原有较为明显、简单的问题，因此产生的问题只能更多、更乱。只不过“多”的、“乱”的一般人看不出来了而已。

同时，在几何上，斜率作为一个比值，只能定义在直线的非0线段上，不能直接定义在曲线上，更不能直接定义在孤零零的一个抽象点（线段为0）上，因为此时比值只能是0/0。因此，无穷小法和极限法都不行。于是，只有一个办法，就是与物理上的瞬时速度一致，导数就是曲线在某点的切线的斜率。注意，这里的“切线的斜率”不仅仅是如传统导数定义所认定或声称的只是数值上与切线斜率相等、但其自身必须依赖于曲线上的无穷小段，或不可达极限（更何况也仅仅是“声称”，其实还根本做不到）。也就是说，传统导数定义，必须依赖于曲线上的两个点，这两个点的距离必须是无穷小。因为显然，斜率就是定义在直线上的两个间距非0的点上的。它为直线所专有，因此本质上不能被定义在任何曲线的两个点上，也不能被定义在无论曲线还是直线的任何一个点上。因此，传统微积分的导数定义的所谓“仅仅数值上与切线斜率相等”的表述，是不成立的。根本就没有数值上与经典的切线斜率数值相等，但又不是经典意义的切线斜率这样的现实图形表示。因此，导数的几何定义，与物理上的瞬时速度一致，就是经典意义的曲线的切线斜率。它就是曲线某点的切线上两个距离是非0的宏观量的、而且起码有一个点是彻底脱离曲线的正常意义的斜率，即切线上的任何两点间的纵横坐标宏观增量的比值函数。特别强调，这个比值，分母绝对不会等于0。它只涉及切线上的两个点，与切线和曲线的交点无关。总之，割线与曲线的两个交点，合而为一时变为切线。而此切线上的另外两个点，决定了此切线作为直线的斜率。而不是还剩下的那唯一的一个交点本身，决定了该切线的斜率。此点务必彻底澄清。

综上，在物理上，物体受力与不受力，其运动轨迹不可能一样，在所谓无穷小段（无论时间还是空间），也不会一样，只能是差别可以无限减小。但差别绝对不会是0。如果有人非认为在无穷小段可以二线重合“曲化直”，那同样理由，凭什么我们就不可以说二线重合“直变曲”？否定后者的任何理由，同样可以否定前者。可见，这一观点的牵强与矛盾。因此，承认曲线与直线的本质区别，即使在无穷小段仍旧会（或“要”）保持的区别，是必须的。

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