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Zmn-0418 沈卫国：极限法微积分求导过程中的贝克莱悖论问题
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Zmn-0418 沈卫国：极限法微积分求导过程中的贝克莱悖论问题
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
沈卫国
此问题是微积分基础理论的重点，笔者系列文章中早就已经进行了比较充分的讨论。这里用简略的论述方式再做些强调。不失一般性且为了便于理解，下面仍以最简单的二次曲线函数为例讨论。
贝克莱悖论（佯谬）是，当△x=0时，按牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分，我们有
0/0=△y/△x=(2x+△x)·(△x/△x)=2x+△x=2x........................................(1)
可以看出，（1）式以等号相连，但左右两边的数值是不等的。左边为无意义的0/0，右边为正确的导数值2x。由于等号具有双向性，也就是完全可以以符号“←→”代替等号，因此（1）式也可以写成
0/0←→△y/△x←→(2x+△x)·(△x/△x）←→2x+△x←→2x ....................................(2)
这是显然的。符号“←→”意味着可以双向推导。由左而右地推导可以，由右而左地推导也可以。没有这种所谓的“双向性”，也就是左右互推性，就没有什么贝克莱悖论了。
在柯西等人为了解决牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分的求导产生的贝克莱悖论（也就是上面的1、2两式）而创建的第二代微积分（极限法微积分或标准分析），实际是将(1)、(2)两式改成了
△y/△x【△x→0】=(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】=2x+△x【△x→0】=2x ..............................(3)
(3)式中的【△x→0】，表示△x趋于0，以0为极限。
注：这里不使用通常的极限符号表示，不过是为打字方便和一些平台不显示插图和专门的符号。
注意，这个极限式（3），既然在任何一本教科书中都敢用等号相连，那么，同样理由，就自然应该可以用互推符号“←→” 相连以代替等号“=” 。也即是，应该有
△y/△x【△x→0】←→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】←→2x+△x【△x→0】←→2x .........(4)
式当然是左右互推的。从左到右地推导，自然得到众所周知的2x。其解释应该是：
在△x≠0的前提下，也就是这个增量比值函数的定义域不包括0点时，△y/△x进而也就是(2x+△x)·(△x/△x）可以用约分或除法消去分母上的自变量△x得到2x+△x，此时再令其中的△x→0（实际上此时△x=0也一样。因为此时实际是可达极限，等于函数值），即可以得到导数值2x。此时我们要特别地强调，(3)、(4)式中的2x+△x中的△x≠0，也就是不等于0（重要的事情，不妨多啰嗦一点）。
但是，这么多年，居然就没有人想到，（3）式既然是由等式相连的，那么必然就可以左右互推，也就是（4式）式必然成立。于是我们完全可以对(3)、(4)式由右至左地推导。鉴于这个问题的重要性和方便读者阅读，这里不妨还按从左到右的推导习惯，重写这两个式子（其实当然并不必要，只为方便而已）
2x=2x+△x【△x→0】=(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】=△y/△x【△x→0】.......................(5)
2x←→2x+△x【△x→0】←→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】 ←→△y/△x【△x→0】......(6)
这里为了强调从左至右的推导方向，我们尽可以把(6)式中的“←→”改写成“ →”，于是（6）式就被改写成了（7）式
2x→2x+△x【△x→0】→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】 →△y/△x【△x→0】........................(7)
注意，这里再一次不厌其烦地强调，2x+△x是在△x≠0的前提下的。既然在△x≠0的前提下，可以认为在（3）式、（4）式中(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】→2x+△x【△x→0】成立，也就是可以通过约分或除法消去(2x+△x)·(△x/△x）中的分母上的自变量△x，那么，我们是不是也完全可以依据同样的理由，也就是反正△x≠0，于是我们在2x+△x上乘以(△x/△x），以加上一个分母上的△x？这当然是可以的，因为这个△x此时是不等于0的。既然如此，最后推出的△y/△x【△x→0】等于什么？注意，这里所求的当然不是△y/△x在△x=0点的函数值，而是其在△x=0点的不可达极限值。函数值此时为0/0，这是极限法微积分企图、也必须要回避的，因为这正是其之所以被柯西等人提出的目的。但是，此时的极限值，也就是△y/△x【△x→0】，对△y/△x直接求△x→0时的不可达极限值，也只能同样是0/0。特别要注意，2x+△x【△x→0】→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】的这一步（也就是把左边加上分母△x）的前提条件，仅仅是△x≠0，而绝对没有△x不允许趋于0，也就是没有“不允许△x→0”这样的前提条件存在。如果竟然有这个“也没有极限值”的前提条件，那么，还有我们所欲求的、作为导数值的极限△y/△x【△x→0】吗？因此，只能允许直接地由△y/△x求出其在△x→0时的不可达极限值。那显然就是也只能是0/0。直接从△y/△x求，不是0/0还能是什么？没错，它也只能是这个无意义的0/0，与其在该点的函数值（0/0）“待遇”完全一样。
总之，一个原本没有分母、其极限值（可达不可达都一样）为2x的在△x=0点被规定没有函数值的函数2x+△x，按极限法微积分求导同样的逻辑，我们可以通过添加分母△x而得到0点的极限值0/0。一如在0点没有函数值（函数值实际为无意义的0/0）的
(2x+△x)·(△x/△x），通过约分消去分母上的△x而得到2x+△x，进而声称求出了0点的不可达极限2x所适用的原则是完全一样的。明确地说，如果我们真的可以有极限法微积分求导的从没有有意义的函数值（其值为0/0）推出有有意义的极限值2x，我们就同样可以通过相同的原则从有有意义的函数值2x，推出无意义的极限值0/0，也就是没有有意义的极限值。也就是如果我们从函数值0/0居然可以推出极限值2x，我们就可以依据同样的原则从函数值2x推出极限值0/0。这只能说明，贝克莱悖论在极限法微积分求导中仍旧存在而并未被如其所愿地被消除。只不过更为隐蔽些罢了。也就是，我们实际得到的，应该在（7）式最右边作为推导结果加上“0/0”。
即有
2x→2x+△x【△x→0】→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】 →△y/△x【△x→0】→0/0...................(8)
结合（4）式，我们有
0/0←→△y/△x【△x→0】←→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】←→2x+△x【△x→0】←→2x
..........(9)
或
0/0= △y/△x【△x→0】=(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】=2x+△x【△x→0】=2x..............(10)
显然，这与经典的、牛顿、莱布尼兹意义的所谓第一代微积分中的贝克莱悖论（由1、2式所体现的）如出一辙，只不过披上了直观性更差些的极限外衣罢了。
总之，如果（1）、（2）式可以被广泛承认地从左右两个方向推导而产生实实在在的贝克莱悖论，那么在同样的原则下，也完全没有理由拒绝（9）、（10）式在极限法下来进行左右方向的推导以产生贝克莱悖论。也即是只允许下面(11)式方向的推导
△y/△x【△x→0】→(2x+△x)·(△x/△x）【△x→0】→2x+△x【△x→0】→2x.............(11)
而不允许(8)式方向的推导，根据前文讨论，是违反逻辑的。因为（3）式（当然包括式中的那些等号）是教科书中普遍写出来的，不是笔者杜撰出来的。而（3）、（4）式又等价。既然敢用等号相连各项，就应该允许正、反方向（左右方向）互推。否则不要用等号。可一旦不用等号，也就是不相等了，也就是没有了充分必要的理由，整个推导就不是一种证明或有充分根据的推理，而仅仅是一个规定、假设、定义了。如此，谁又有什么底气把这个“理论”称为是一个确定无疑、千真万确的真理？更何况这种规定、定义所产生的问题其实与其想要或声称替换掉的有矛盾的（有贝克莱悖论）牛顿、莱布尼兹所谓的“第一代微积分”如出一辙、并无二致。这等于是打自己的脸。
明确说，既然极限法微积分（所谓第二代微积分、标准分析）可以通过约分消去分母上的自变量△x来求得0点的不可达极限值，那么，牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分又凭什么不能依据同样的理由和做法，通过约分消去分母上的自变量△x来求得0点的函数值（可就是可达极限值）？事实上，在0点，不但有意义的函数值没有（为0/0）,有意义的极限值也没有（同样也为0/0）。那种认为在0点没有有意义的函数值（为0/0），却可以有有意义的极限值（非0/0的）的看法和做法，是违反逻辑准则的，因而是错的。
.......................................................................
补遗：本节有关内容在与学友讨论后，发现笔者认为已经不能再清楚的表述，仍有学友质疑，没有搞清这里面的逻辑脉络。因此，有必要针对一些人的困惑，再做些补充（不失一般性，仍以最简单的二次函数为例）。
（1）、有人指笔者上面的公式（8）推出0/0，是没有搞清极限法求导的定义，认为由这个定义，就可以唯一地求出二次函数的极限（即导数）2x。必须指出，所谓的必然可以推出有意义的导数值2x的，实际是公式（11）。但任何教科书中极限法微积分求导的过程都是公式（3）（实际也就是与其等价的公式（4））。既然公式（3）中各项由等号相连，当然就是其中各项是等价的，也就是可以如公式（4）的左右互推。因此就必然包括公式（8）的推导方向。必须严正指出，虽然无论牛顿、莱布尼兹还是柯西等的极限法微积分求导，在其过程中一个必须的、无法省略的步骤是用约分消去分母上的那个自变量。因此，“消分母”实际可看成是一个隐性定义。是任何求导过程的必要条件。因此，说笔者“没有理解或者违反极限法微积分求导定义而推出矛盾的说法不成立”的说法本身不成立。事实上，笔者是严格依据极限法微积分求导定义、具体做法，包括那个通过约分“消分母”的隐性定义，也就是公式（3），推出了矛盾，以达到否定极限法微积分求导定义的无矛盾性的。这里面的逻辑关系、先后次序要弄清，否则就是逻辑上的循环论证、因果颠倒了。总之，既然极限法微积分求导式各项以等号相连，是个等价式，那就必须也必然要允许左右互推，而不能只允许一个方向的推导，排除另一个方向的推导。除非极限法微积分求导定义规定了只能单向推导，进而实际取消公式中的所有等号。但如此一来，它所求出或定义出的有意义的导数值，就不过是一个硬性的规定，没有任何道理。如果真的如此，要极限法微积分（所谓第二代微积分，标准分析）还有用吗？还需要吗？直接用牛顿、莱布尼兹法求导中的硬性规定不就完了？
、前文以述，无论牛顿、莱布尼兹的第一代微积分还是柯西等的极限法的第二代微积分，求导过程中都必须令自变量△x≠0，这样约分或除法以消去分母上的自变量的步骤才可以进行下去（况且在0点的增量比值函数值还是无意义的0/0）。但既然是有前提△x≠0，那消去与不消去分母△x是一样的，地位完全平等。甚至上文也指出了，在这个前提下，原先没有分母△x的函数，都可以乘上一个△x/△x以使分母上多出一个△x。但事实是，如欲求得那个二次函数下的有意义的（非0/0型的）导数值2x，却只有用约分或除法消去分母上的自变量△x一条路（一个推导方向）。不消这个分母上的自变量，或原本没有分母的加上一个分母自变量的，都不行。在极限法微积分求导过程中，自变量△x≠0，实际是求出有意义的导数值（非0/0型的）的“必要条件”。但在△x≠0的条件下，分母上的自变量△x可消也可不消。理由很简单，反正它也不是0，分母上有它无它都无所谓。可是，只有消去分母上的自变量△x才是求出导数值2x的充分必要条件。但△x≠0并非消去分母的充分条件（只是必要条件），也就是绝非只要一有△x≠0，就必须消去分母上的△x，数学中绝对没有这个要求、规定。因此显然，△x≠0也并非“通过消去分母上的自变量△x来求出有意义的（非0/0型的）的二次函数的导数值2x”的充分条件（同样只是必要条件）。因为同样满足△x≠0条件的保留分母△x或加上分母△x，都直接求不出那个2x（只有消去分母才可）。只必要而不充分，说明极限法微积分求导公式（3）求出的最右边的那个2x，并非该式左边的作为导数定义 △y/△x【△x→0】的等价命题，因此不能也不应该用等号相连。如果有人想证明这个2x就是导数定义式 △y/△x【△x→0】的等价命题，也就是求出的就是其导数值，那么，是不是要给出一个额外的证明？而这个证明，又只能通过约分消去分母上的自变量△x才能实现，因此，无疑这是一个循环论证、因果倒置，不能成立。
在△x≠0条件下，通过约分或除法消去分母上的自变量△x，只意味着这个已无分母的函数的函数值无错。但并未说明或证明能够就由此被人为消去了分母的函数求得的趋0极限值，就是原先本欲求的未消分母或保留分母的函数的趋0极限值。这是两回事。明确地地说，△x≠0，消分母可以（尽管不是必须、必要的），可并不就意味着由这个消去分母后的新函数求得的趋0极限（还是不可达极限）就是原先未消分母的函数的趋0极限。如果谁说可以这么求，是不是预先要给个证明？数学不是讲严格的吗？而这个证明又只能依赖消去分母。逻辑循环，不可能成立。
总之，一自变量为△x且为分母的函数在0点的函数值为0/0，无意义，于是不去把0点纳入定义域，△x≠0。得到一个新函数当然可以。但这并不意味着再由这个在0点无定义的新函数求出的0点的极限（可作为可达极限）就是原先那个在0点函数值为0/0的增量比值函数（分母上有自变量△x）的极限值。
打个比方吧：某人在a时刻犯罪了，但其后到现在没有再犯罪。能说按其后这一段时间该人的表现，推断其在a时刻以“未犯罪”为极限吗？不是应该以其保留至今的犯罪档案来推断，其在a时刻以“犯罪了”为其极限吗？
还可以给出一个实例：
对于x/x【x→0】的极限的求法，一般是在x≠0的前提条件下，可以通过约分消去分母上的x，即有x/x=1，于是有x/x【x→0】=1【x→0】=1。但前文已述，x≠0只是x/x可以消去分母上的x的必要条件，而不是充分条件。也就是不是只要有了x≠0，就一定要、必须要消去分母上的x。就是说，当然也可以不消。而不消去分母上的x，直接由x/x【x→0】，能不能求出极限1来？当然不行。直接求出的不能不是无意义的0/0，事实上与其在0点的函数值一样。如果有人还非说求出的不是0/0，是1，那请你给出一个证明。这个证明不用消去分母上的x的方法，可以给出吗？当然不行。如可以，则立刻就是逻辑循环论证，因果倒置。
此外，我们可以看到x/x【x→1】=x/x【x→2】=x/x【x→3】=x/x【x→5】=x/x【x→n】=................=1。这里的n≠0，为非0的任何数。这个等式尽管显然，但如何严格地给出一个证明？对于先约分消去分母的情况，好办。就是x/x=1，此时无论x再趋于什么，趋于1、2、3、5.......，甚至为0，即【x→0】，极限值都是1。这是显然的。但对另一种情况，也就是不消去分母的情况，则可以有x/x【x→1】=1/1=1，x/x【x→2】=2/2=1，..........
x/x【x→n】=n/n=1。显然，在n≠0时，极限都是1。但是，x/x【x→0】呢？如果不消去分母上的x，直接求x/x的趋0极限，则不可能再有0/0=1，因此在分母有自变量x的情况下，自变量趋于0与趋于任何非0的值都不可能一样，这个例子中就是不可能有极限1，而只能得到无意义的0/0。这就说明或证明了，对于比值函数x/x而言，其在0点的极限值与其函数值一样，都是无意义的0/0，而不可能是通常认为的1。
极限法微积分求导之所以不成立的本质，是没有严格区分两种不同的函数的无定义点。当函数在其定义域范围时，自然有每点的函数值，也有与函数值对应的可达极限值。但此时如果在定义域中去除某点，也就是定义域不再包括该点，则该点仍旧可以是该函数的极限。由于此时函数值已经不包括该点了，因此此时该点的极限是不可达极限。比如有函数值为5，可达极限值也自然是5。现在把5从与定义域相应的值域中排除，则5不再是函数值，可仍旧是其不可达极限值。但另一种函数无定义点，就是在该点函数值为无意义的0/0的情况。它区别于第一种的在某点原本可以有函数值（包括在定义域中），但不去定义，“拿掉”该点的情况。这里是在该点不可能再有有意义的函数值，因为它已经为0/0了。在这种情况下，极限值也是0/0，换个说法，就是没有有意义的（非0/0型的）极限值。极限法误以为是在函数值为0/0的点上，有意义的函数值虽然没有，但却可以有有意义的非0/0型的不可达极限值，就如第一种情况一样。由本节讨论可知，这实际上是错的。
（4）、有人说公式（8）求不出0/0，因为0/0非法，或不存在，或无意义等等。这里指出一点就够了：无论其等于什么还是不能等于什么，反正它不能求出2x。这就已经构成矛盾了，而不是0/0才与2x构成矛盾。与2x构成矛盾的，是“不是2x”，而不是其它任何东西。而要求出2x，只能通过消去分母才行。这前面已经讨论多次了：那叫循环论证、因果倒置。更何况没有这个0/0，求不出这个0/0，你怎么能知道它非法、不存在、无意义的？这就跟那个“0”的概念类似：偏说0就是一无所有，因此不存在这个“0”。而不存在，怎么知道它表示一无所有的？要注意，是先有了0/0，后才有它合不合理、有无意义的问题。说它“不存在”，也是其作为有意义的概念的“不存在”。作为无意义的概念，它当然已经存在了。这个问题，很多人也搞不清楚。不得不在这里顺便提一下。
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录： 2020-12-29 10:54
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