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Zmn-0420 薛问天：谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407，0411》

已有 1358 次阅读 2021-1-17 08:53 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0420 薛问天：谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407，0411》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对黄汝广和林益先生的《0407，0411》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

谈自然数的扩展--无穷位编码数。

评黄汝广和林益先生的《0407，0411》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

(1)，不存在无穷位的自然数。

黄汝广先生提出【存在无穷位的自然数吗？】回答是明确的。所有的自然数，无论用什么进制來表示，都只有有穷位，不存在无穷位的自然数。

黄先生把全体自然数集N，在某进制下的表示的位数集称为A。其实这个A也是自然数集。然后从小到大对A中元素一个个删除，直到A中没有比它大的元素为止。删除的元素组成集合B。显然，在有穷次的删除后，A中还有元素，不为空。但是当进行了无穷次的删除后，A的元素全部进入B中，A就变成空集了。并未出现黄先生想像的状态，在A中还保留一个元素【无限位】。

黄先生可能要问，如果A最终为空，那么原A中的最后一个元素是怎么被删除掉的？因为此时A中已没有比它大的元素了，它不滿足被删除的条件。

对这个问题的回答是，黄先生设想的这个情况，确实会在A是有限集的情况下出现。而现在A是自然数的无限集合。自然数尽管可以通过元穷次的删除操作，一个个地被删除完，但由于自然数没有最大数，所以不存在删除操作的最后一步，因而并不会出现被删除的最后一个自然数，由于A中没有比它大的数而不能被删除的情景。这个情景是不存在的。反之由于自然数有这个无穷特性: 任何自然数都有比它大的自然数，所以，所有的自然数都可被删掉。不存在不被删掉的自然数。

也就是说，黄先生的推理，由于他设想的情况不存在，所以不足以证明无穷位自然数的存在。

(2)，无穷位数是存在的，无穷小数就是无穷位数。

林益先生在评论中说【实无穷观认为无穷的过程可以完成，构成确定的完整整体，因此就存在无穷位数。因此也认为无穷小数是实数。】这说的很对，无穷位数是存在的，无穷小数就是无穷位数。

林益先生在评论的最后问道【...所有的无穷小数把小数点都去掉，不是都完全变成自然数了吗？在实无穷观的理论中，同样都是无穷位的数，难得能承认无穷位小数就不承认无穷位自然数吗？这在逻辑上能解释清楚吗？】

这个问题问得很好，尽管其中有些话说得不对，如说【无穷小数把小数点都去掉，不是都完全变成自然数了吗？】以及把这种数叫作【无穷位自然数】。我们承认【无穷位数】的存在。但它们并不是【无穷位自然数】。因为自然数有它确切的严格的定义和公理。自然数都是【有穷位数】，不存在【无穷位自然数】。

(3)，确实有对【无穷位数】的研究。

确实有对【无穷位数】的研究。我们可以把有穷位的【自然数】进行扩展，扩展为无穷位的数，扩展后的数称为【无穷位编码数】。不过不是用的【无穷小数把小数点都去掉】的办法，而是采用把自然数的高位扩展为无穷的方法形成【无穷位编码数】。这样一來，自然数就可以看作是高位有无穷个0 的【无穷位编码数】，成为扩展后的【无穷位编码数】的真子集。保留了自然数原有的一些重要属性。另外，这样的【无穷编码数】也可以看作是无穷小数的【镜像数】。因为它和无穷小数刚好是左右反转的镜像，形成镜面反射的一一对应。

无穷位编码数有很多有趣的性质。首先它的基数和实数的基数相同，是连续统，而不是可数无穷了。另外，无穷位编码数可以分为无穷多个族，每个族的基数是可数的，而族的集合是不可数的。在所定义的+1和-1 运算下，族内的数是相互可达的，但不同族间的数是不可达的。对于所定义的序，有些数之间可比较大小，而有些数之间不可比较大小。不过各位全为0的无穷位编码数是最小的数，而各位全为9 的无穷位编码数是最大的数(对十进制而言)。

对无穷位数最早的研究，称为p-adic数（p-adic numbers，也有人翻译作p-进数）1897年首先由德国数学家库尔特.亨塞尔（Kurt Hensel，1861-1941）提出。他是德国马尔堡大学（University of Marburg）教授，因提出p-adic 数而成名，对数论的进展有重要贡献。

关于【无穷位编码数】的基本内容，我国郝克刚教授有几篇介绍文章，刚好在科学网上可以看到(点击量很大)，大家可以参阅，我就不具体说了。

[1] 郝克刚: 论无穷编码的实数镜像数沟壑满布，《统一无穷理论》难以逾越

链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html

[2] 郝克刚: 无穷位编码的镜像数和p-adic整数

链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-669710.html

[3]郝克刚: p-adic整数和p-adic数

链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-679027.html

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