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Zmn-0420 薛问天:谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407,0411》

已有 190 次阅读 2021-1-17 08:53 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0420 薛问天:谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407,0411》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对黄汝广和林益先生的《0407,0411》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

谈自然数的扩展--无穷位编码数。

评黄汝广和林益先生的《0407,0411》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg(1),不存在无穷位的自然数。

黄汝广先生提出【存在无穷位的自然数吗?】回答是明确的。所有的自然数,无论用什么进制來表示,都只有有穷位,不存在无穷位的自然数。

黄先生把全体自然数集N,在某进制下的表示的位数集称为A。其实这个A也是自然数集。然后从小到大对A中元素一个个删除,直到A中没有比它大的元素为止。删除的元素组成集合B。显然,在有穷次的删除后,A中还有元素,不为空。但是当进行了无穷次的删除后,A的元素全部进入B中,A就变成空集了。并未出现黄先生想像的状态,在A中还保留一个元素【无限位】。

黄先生可能要问,如果A最终为空,那么原A中的最后一个元素是怎么被删除掉的?因为此时A中已没有比它大的元素了,它不滿足被删除的条件。

对这个问题的回答是,黄先生设想的这个情况,确实会在A是有限集的情况下出现。而现在A是自然数的无限集合。自然数尽管可以通过元穷次的删除操作,一个个地被删除完,但由于自然数没有最大数,所以不存在删除操作的最后一步,因而并不会出现被删除的最后一个自然数,由于A中没有比它大的数而不能被删除的情景。这个情景是不存在的。反之由于自然数有这个无穷特性: 任何自然数都有比它大的自然数,所以,所有的自然数都可被删掉。不存在不被删掉的自然数。

也就是说,黄先生的推理,由于他设想的情况不存在,所以不足以证明无穷位自然数的存在。

 

(2),无穷位数是存在的,无穷小数就是无穷位数。

林益先生在评论中说【实无穷观认为无穷的过程可以完成,构成确定的完整整体,因此就存在无穷位数。因此也认为无穷小数是实数。 】这说的很对,无穷位数是存在的,无穷小数就是无穷位数。

林益先生在评论的最后问道【...所有的无穷小数把小数点都去掉,不是都完全变成自然数了吗?在实无穷观的理论中,同样都是无穷位的数,难得能承认无穷位小数就不承认无穷位自然数吗?这在逻辑上能解释清楚吗? 】

这个问题问得很好,尽管其中有些话说得不对,如说【无穷小数把小数点都去掉,不是都完全变成自然数了吗?】以及把这种数叫作【无穷位自然数】。我们承认【无穷位数】的存在。但它们并不是【无穷位自然数】。因为自然数有它确切的严格的定义和公理。自然数都是【有穷位数】,不存在【无穷位自然数】。

 

 (3),确实有对【无穷位数】的研究。

确实有对【无穷位数】的研究。我们可以把有穷位的【自然数】进行扩展,扩展为无穷位的数,扩展后的数称为【无穷位编码数】。不过不是用的【无穷小数把小数点都去掉】的办法,而是采用把自然数的高位扩展为无穷的方法形成【无穷位编码数】。这样一來,自然数就可以看作是高位有无穷个0 的【无穷位编码数】,成为扩展后的【无穷位编码数】的真子集。保留了自然数原有的一些重要属性。另外,这样的【无穷编码数】也可以看作是无穷小数的【镜像数】。因为它和无穷小数刚好是左右反转的镜像,形成镜面反射的一一对应。

无穷位编码数有很多有趣的性质。首先它的基数和实数的基数相同,是连续统,而不是可数无穷了。另外,无穷位编码数可以分为无穷多个族,每个族的基数是可数的,而族的集合是不可数的。在所定义的+1和-1 运算下,族内的数是相互可达的,但不同族间的数是不可达的。对于所定义的序,有些数之间可比较大小,而有些数之间不可比较大小。不过各位全为0的无穷位编码数是最小的数,而各位全为9 的无穷位编码数是最大的数(对十进制而言)。

对无穷位数最早的研究,称为p-adic数(p-adic numbers,也有人翻译作p-进数)1897年首先由德国数学家库尔特.亨塞尔(Kurt Hensel,1861-1941)提出。他是德马尔堡大学(University of Marburg)教授,因提出p-adic 数而成名,对数论的进展有重要贡献。

关于【无穷位编码数】的基本内容,我国郝克刚教授有几篇介绍文章,刚好在科学网上可以看到(点击量很大),大家可以参阅,我就不具体说了。

 

[1] 郝克刚: 论无穷编码的实数镜像数 沟壑满布,《统一无穷理论》难以逾越

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html

[2] 郝克刚: 无穷位编码的镜像数和p-adic整数

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-669710.html

[3]郝克刚: p-adic整数和p-adic数

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-679027.html



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