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Zmn-0422 沈卫国：在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿）
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Zmn-0422 沈卫国：在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿）
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
在新的导数定义下的无分母的、
不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿）
—高等数学初等化的必由之路及有效途径
沈卫国
摘要：在笔者提出的新导数定义下，完全可以不按传统的求导方法，也就是必须以有自变量在分母上的曲线割线的增量比值函数去求，而是直接由无分母的曲线割线的增量函数去求。如此，求导过程变的极其简单，同时完全排除了分母为0或趋于0或消去分母所带来的理解上的困难。多年来很难说清的贝克莱悖轮也更是根本不可能再出现。求导问题，彻底脱离无穷小和极限概念，使其就成为了一道求曲线和一条直线只有一个交点时该直线也就是切线的传统意义的斜率，即自变量的增量绝对不是0时的该直线的纵横坐标差之比。这不过是一道初中水平的解析几何或代数习题而已，因此使得理论大为简化，且再无矛盾。高等数学初等化、简单化，是林群、张景中院士等学者一贯追求的目标，在笔者提出新导数定义的前提下，这个目标当可真正意义上被实现。自然，同时现有理论中的任何争议问题、矛盾也不在存在。牛顿、莱布尼兹第一代微积分究竟为何从一贯明显看似不合理的步骤推出了正确的、精确的导数的疑问，也可以获得完全合理的解释。
关键词：微积分；导数；导数新定义；求导；速度；瞬时速度；切线斜率；分母；贝克莱悖论；极限；无穷小；高等数学；初等化
新导数定义。
几何意义上的：曲线的切线斜率。看似与传统定义别无二致，但这里的斜率是宏观意义的，就是切线上任意间距不为0的两点的纵横坐标差的比值。真正的、宏观意义的增量比值函数。于是可以完全排除无穷小、特别是极限概念及其带来的任何麻烦（比如贝克莱悖论）。
物理意义上的：瞬时速度的定义，做曲线运动物体，当某瞬时其所受外力突然解除时，该物体其后做匀速直线运动的速度。显然，速度，按定义，就是某不为0的时段物体的运动距离与该不为0时段的比值，因此不可能有直接定义在某瞬时（时段为0）的速度或瞬时速度。但将瞬时速度定义在某瞬时起始的匀速直线运动的速度（时段当然不为0），是可以的。这是一个定义问题。此物理定义当然与相应的几何定义一致。
对于导数，按照上面的新的导数定义，完全可以不按牛顿、莱布尼兹的方法求出。他们是因为没有认识到他们求法的意义，所以一开始就用增量比值函数来求，造成不必要的误会，连他们自己也解释不了。现在，在有了新定义后，我们完全可以这样求导（可参考第一节最后的讨论）：
设有二次曲线的增量方程Δy=(2x+Δx)Δx，和一个直线方程Δy=kΔx。注意，这里不是比值函数了。没有分母的。求二者的交点，联立两个方程，消去Δy，得到
kΔx=(2x+Δx)Δx，既然是等号，当然可以把等式右边也看成是直线方程，于是该直线的斜率（系数）k=2x+Δx，此时当Δx≠0时，是割线；当Δx=0时，是切线。不就完了？还有0/0什么事吗？再清楚一些，我们可以令Δy1=kΔx1，k还是2x+Δx，直线还是那个直线，不过取的直线上的两个点脱离了曲线，不是交点了，也就是此时Δx1并不是两个交点的横坐标差了，是直线上任意两个点的坐标差，通常这个坐标差可以理解成为1。而此时K中的那个Δx，仍旧是两个交点的横坐标差，当然与曲线有关。当Δx=0时，显然二点合为一点，割线变切线。见我文章中的图示。于是Δy1/Δx1=k=2x，就是导数。Δy1/Δx1=k就是导数的新定义。
以上做法，已经非常显然了。但此问题关系重大，不妨再给出一个证明：增量方程Δy=(2x+Δx)Δx，实际既可以表示二次曲线的增量方程，也当然可以表示过此二次曲线的割线的增量方程。因为显然，Δx是二次曲线与割线的二交点的横坐标差。当表示二次曲线时，因为时非线性方程，式子中的“两个”Δx当然必须一致。但表示作为直线的割线方程时，我们有Δy=kΔx=(2x+Δx)Δx，为一次方程（直线方程），因此其中两个Δx不必一致。当然可以写成Δy1=kΔx1=(2x+Δx)Δx1，其中Δx1为作为直线的曲线的割、切线上的另外两个有别于交点的点的横坐标差。而该直线的斜率（系数）为k=2x+Δx，其中的这个Δx仍旧为两个曲、直线交点的横坐标差。显然，当Δx=0时，是切线。Δx=0时，是切线，此时k=2x，即切线的系数，也就是切线斜率。即新定义下的曲线导数。
这里，我们之所以引进割、切线上的有别于交点的另外两个点的横坐标差Δx1，仅仅是为了易于理解罢了。实际上，当我们得到直线方程Δy=kΔx=(2x+Δx)Δx时，就立刻明白其中k=2x+Δx就是直线的斜率了，完全可以不必再多此一举地引入这个Δx1。
综上所述，我们可以明显看出，无论述牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分还是柯西等的第二代微积分，只要一用除法或约分消去增量比值函数分母上的自变量Δx，就等于宣称（当然，过去没有被人们认识到）在增量比值函数中的那三个Δx，不是同一个变量。有两个为仅仅与直线（割线或切线）有关的Δx1，构成Δx1/Δx1，另一个在分子上（K中的）的，仍旧为Δx。它当然与交点有关，也就是与曲线有关。而如果按前面讨论的增量函数（非比值函数，没有分母）下，则两个Δx不一样：一个是Δx1，另一个仍旧是与曲线有关的Δx。以往之所以会有贝克莱悖论之惑（声称解决了贝克莱悖论的所谓第二代微积分，实际不过是把问题用更复杂的形式掩盖了，问题依然存在。这在后面还要详谈），就是没有注意到这个求导前或过程中的约分或除法消分母，究竟意味着什么，它的实质是什么。一旦我们理解了这点，立刻就会明白，牛顿、莱布尼兹（包括极限法）究竟求的是什么和如何真正求出的。因此，第一代微积分足够（只要重新给一个解释），第二代完全没有必要。不仅不必要，它的解释还是错的。
按这种方法，由于整个求导过程根本就没有分母什么事，因此简单、彻底地消除了贝克莱悖论，并赋予导数以新的含义，且彻底恢复了费马、牛顿、莱布尼兹求导的可信性、正确性及其本质含义。
这里仅仅是以二次曲线为例直观地说明问题的实质。对应任何非线性方程、曲线，这个求导思路完全有效。也就是把该曲线方程，写成与其相交的割线方程的形式，然后再确定该直线方程的系数即斜率就可以了。具体做法，仿上面二次曲线情况，把式子中一个因子Δx不是改为Δx1，就是不去理它，而把其它因子（无论其中还有多少Δx）直接看成直线方程的系数即斜率即可。当直线方程中的系数K中的Δx=0时，自然就是该曲线的切线斜率。此处不再赘述。
问题的本质，就是把二次曲线上的两点，改成割线、切线上的两点，如此而已。曲线上的两点合而为一时，有0/0的问题。而切线上的两点没有，其分母不为0。一般为1就好。
此外，特别重要的一点是，经常有人说，约分的前提，是Δx≠0。于是，约分后就不能再令Δx=0，而只能是Δx→0。但实际上，（2x+Δx）Δx/Δx约分的前提，难道不是也包括Δx不能趋于0？因为这是式子如果Δx→0，同样会得到极限0/0。如此说来，极限法最后令Δx→0的求切线斜率的一步，不也同样不被允许？因此约分后（分母实际等于1或趋于1）再令Δx→0只有一种可能，就是实际把（2x+Δx）Δx/Δx式中的这三个Δx，看成了不是相同的，也就是Δx/Δx实际是Δx1/Δx1。这实际上就是作为直线（这里具体就是二次曲线的割线、切线）的增量比值函数（2x+Δx）Δx1/Δx1，而不是作为二次曲线的增量比值函数（2x+Δx）Δx/Δx。很多人惑于这种细微的差别而不能自拔。
总之，无论牛顿、莱布尼兹法，还是极限法求导，其前提都是要先约分（或做除法）。而约分的前提，不但是分母上的Δx不能等于0，而且也不能趋于0（以0为极限）。因为显然，一经约分，分母上的Δx就为1了，无论是等于1还是趋于1（以1为极限）都是1。不是吗？但牛顿他们就是先进行了约分（分母上的Δx等于或趋于1，都一样的），然后令剩下的那个Δx等于0（极限法是趋于0），我们需要搞清的不是这么做对还是不对，允许还是不允许，而是它究竟意味着什么？因为显然，如此做是真实地、准确地求出了导数的。也就是曲线的切线斜率。缘由上面都讲了，这里不再重复。
最后，我再强调一点，一旦意识到求导不过是求曲线切线的真正意义的斜率，我们完全可以不用容易造成概念混淆的增量比值函数，而就用增量函数。因为我们都知道，直线方程，或直线增量方程的系数，就是其斜率。如此，整个方程根本就没有什么分母，自然也就没有了“分母上的自变量Δx”。这我在上文中已经表述的很清楚了：此时的（2x+Δx）Δx，既可以表示二次曲线增量方程，也可以表示这个曲线的割线（直线）的增量方程。后者如果不拘泥于曲线上的两个交点，一般地可以写成（2x+Δx）Δx1，如果Δx1=1，有（2x+Δx)•1，此即自变量增量恒为1的直线方程。其中（2x+Δx）=k，就是该直线也就是割线的系数，也就是其斜率。里面的Δx仍是该割线与曲线的两个交点横坐标之差。随Δx的变动，割线改变方向。其中（2x+Δx）=k，就是该直线也就是割线的系数，也就是其斜率。当其中Δx为0时，自然就是切线斜率，具体到这里也就是2x。
如果我们脱离这个具体的实例二次曲线，而定义任何曲线增量方程Δy=f（Δx）。当然，这个方程完全可以写成Δy=f（Δx）=g（Δx）Δx形式。曲线的增量，就是曲线上二点间的坐标差（间距）。而任何空间上（当然包括曲线上的）的二点间的坐标差，都可以表示成一个直线上二点间的坐标差。于是，上式中的Δx、Δy自然又可以表示成一个曲线上与其割线的两个交点的坐标差（增量）。而上式当然也就可以表示这个割线增量方程。即，上式又可以表示一个曲线的增量方程，也可以表示这个曲线的割线的增量方程（这当然是直线或线性方程）。既然如此，当然我们可以有Δy=f（Δx）=g（Δx）Δx=k（Δx）Δx，这里的k为该割线的斜率的惯常表示符号，它本身也是Δx的函数，因此写成k（Δx）。特别地，当Δx=0时，这个k就是该曲线的切线的斜率。上式尽管在Δx=0时斜率k一般不为0（当然可以为0，但这个情况是特殊的水平线），但此时Δy也等于0。曲线与割线的两个交点此时合二为一重合，割线成为切线。如果我们要有区别地表示割线或切线方程，与这个曲线区别开来，则可以有Δy1=g（Δx）Δx1=k（Δx）Δx1，这里的Δy1、Δx1是这个割线或切线上的任何两点的坐标差（增量），而不必仅仅是与曲线的交点的坐标差。即，当Δx=0时，Δx1不必为0。于是，Δy1/Δx1=k（Δx）Δx1/Δx1，为割线的一般意义下的增量比值函数。这个所谓的“一般意义下的”，指的是该方程中的因变量Δy1和自变量Δx1是“自由的”，也就是并不依赖于其与曲线的交点。说白了就是一般地Δy1≠Δy，Δx1≠Δx。上面说了，“当Δx=0时，Δx1不必为0”，那么Δy1/Δx1也就没有了分母为0的困惑，通常所谓贝克莱悖论也就不存在了，自然地被化解掉了。牛顿、莱布尼兹的第一代微积分以至于标准分析的第二代微积分，是针对公式Δy/Δx=k（Δx）Δx/Δx的，这里的Δy、Δx是曲线与割线交点的坐标差，因此当然一个公式，既表示曲线的增量比值方程 ，又表示割线的增量比值方程，特别地，在Δx=0时，分母为0，产生困惑（贝克莱悖论）。牛顿等的做法，是先把Δy/Δx=k（Δx）Δx/Δx式中的Δx/Δx“消去”，其实笔者早就指出，这个所谓的“消去”就是令Δx/Δx=1/1，再令=k（Δx）中的Δx=0，求得切线斜率k。实际上，如此一来，就隐含着令k（Δx）Δx/Δx中的三个Δx不一样了：两个Δx/Δx为1，一个k（Δx）中的为0。因此等于默认这个Δx/Δx实际就是Δx1/Δx1，以区别于Δx。Δx1可以等于任何数值或变量，反正Δx1/Δx1最终都会相除为1，只要Δx1≠0就行。
当年费马、牛顿、莱布尼兹之所以没有直接了当地采取这种方法，而是采用了曲线的增量比值函数，是没有意识到导数涉及的两个点可以脱离曲线。他们以为，既然是曲线的导数，求导所需要的两个点自然必须要、而且始终要在曲线上，直到这曲线上的两个最终点合为唯一也罢。于是自然会有0/0问题，也就是贝克莱悖论。即使后来的极限法求导也一样。只不过更其隐蔽些罢了。这个问题的本质，是曲线的始终“弯曲”（即使在“无穷小”时。如果有无穷小的话），与斜率所要求的直线（不弯曲）的矛盾。因此，无论是无穷小也好，“化曲为直”也好，取不可达极限也好，都不能解决这个问题。而只有把斜率定义所要求的两个不能重合的点，彻底地从曲线上“请下来”，移到作为直线的割线、切线上去，这个问题才可能得到彻底的解决。
总之，空间的两个点才能决定一条直线，而任何直线取决于其斜率，也就是其方程的系数。因此，斜率必然由两个点才能决定。而一条直线上有任意也就是无穷个点，因此决定斜率的那两个点，当然可以是这无穷个点中任意的两个点，而绝对不是只取决于这条直线与某曲线的两个交点。而其作为切线时的与曲线的唯一的交点，更不能直接求出这个切线的斜率。过空间的一点，或平面上的一点，可以有无穷多的直线，如果可以由着一个点就求出直线的斜率，那么，求的是那一条直线的斜率。如此，问题就很明确了。笔者对求导问题的诠释及导数的新定义，才是唯一正确的。
以往，之所以引进极限法求导（第二代微积分，标准分析），唯一的理由就是牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分会产生贝克莱悖论。否则根本就无必要舍近求远，用公认难以理解的极限法求导来取代第一代微积分。现在，我们已经对第一代微积分也就是牛顿、莱布尼兹的求导方法给出了完全合理的解释，如此，我们还需要难以理解的极限法吗？很多人相因成习，完全无视极限法求导引进的初衷，本末倒置，在不用极限法就可以无矛盾地求导的前提下，仍以极限法为正朔，是不应该的。
如此，求导，在新定义下就是一个初中水平的解析几何或代数求曲线和一条直线只有一个交点时（切线时）的该直线的常规斜率的简单习题。也就是非0的纵坐标差与非0的横坐标差之比。这个斜率就是宏观的传统直线斜率。注意，是非0！这里没有什么分母上的自变量，也没有什么无穷小和极限的任何瓜葛了。什么贝克莱悖论也不再存在。求导问题，获得了极大的简化，而且无矛盾。还好理解。理论简单实用。直线方程的系数，就是其斜率。就是导数。直接求。代数方法求。自变量的微分问题也自然没有了。
总之，在微积分求导过程中，彻底放弃极限法求不可达极限那一套，而是仅仅用求解一道前述初中水平的习题的思路来理解导数问题，应该会豁然开朗，一通百通。
既然求导数，按新定义，不过就是一道初中的解析几何或代数习题罢了，那么，林群、张景中院士等所致力于的微积分初等化，才有可能真正意义地实现。从此，所谓高等数学与初等数学的界限实际是消失了，起码也是模糊了。学生好学，教师好教，何乐而不为？
更何况自变量的微分等于增量的问题，也一并解决掉了。积分中的内在矛盾，也没有了。微分与差分谁更基本的问题也没有了。而且，笔者相信，基本理论概念的任何改动，都不会简简单单的就完了。一定会在更深层次排上用场，解决一些棘手的高等问题。我们拭目以待。
笔者近些年所写文章的检索方式
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3、进入“知乎官网”→搜“何许”（笔者知乎、微信名），亦可见到笔者一些文章、博文。但注意，这里的文章中的一些图、表、公式没有显示。但可能有些与“知友”的讨论
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5、进入“科学网”→搜“沈卫国”亦可。
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录： 2020-12-29 10:54
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