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Zmn-0434 李振华：从广义集合论看无穷级数广义和，0/0,无限/无限

已有 1977 次阅读 2021-2-4 09:01 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0434 李振华：从广义集合论看无穷级数广义和，0/0,无限/无限

【编者按。下面是李振华先生的文章。是作者的《0334》《0329》《0312》《0301》等文章的续篇。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

从广义集合论看无穷级数广义和，0/0,无限/无限

李振华

1-1+1-1+...=1/2

1+2+3+4+.....=-1/12

1+2+4+8+....=-1

1-2+4-8+...=1/3

无穷多个正数加起来是负数，无穷多个整数加起来是分数，这些看似错误的结果，其实都是正确的。实无穷和潜在无穷有时候是不一样的、全体自然数的和是-1/12，如果是1+2+3+....+n，则为n(n+1)/2。这些看似错误的等式，往往和可数无限有关，是可数无穷部分等于整体的性质的反映。

例如：1-1+1-1+。。。。，从潜在无穷的角度看，是0或1，从实在无穷的角度看，则是1/2。潜在无穷在推理的过程中，个数虽然无限变大，但始终是有限的。实在无穷在推理的过程中，个数始终是实际无限大。

无穷级数广义和是传统数学的内容，广义和在量子力学，弦论中有充分的应用。

有加减乘除幂定义的集合论，允许重数（隶属度）为任意数，任意集合的集合论，这样的集合论我称为广义集合论。下面，我们将从广义集合论的角度看待无穷级数广义和，0/0，无限/无限的问题。

如果没看过我以前的文章，那要先看我以前的文章，因为这篇文章以我以前的文章为基础。

a_x:元素a的重数为x。

集合加法：重数相加

集合乘法：元素相加，重数相乘

减为加的逆，除为乘的逆。

自然数的集合定义：0={},1={0},2={0,0},3={0,0,0},....,n={0_n}。

基数对应公理：关于集合的等式，把集合替换成对应的基数，等式依旧成立。例如A+B=C，则|A|+|B|=|C|。

集合基数和无穷级数的和：

1/{0,1}的基数为1/2。对其进行二项式展开：

1/{0,1}={0,1}^-1={0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....}。所有重数的和为1-1+1-1+.....,，根据公理，其结果就等于1/2。

{0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....}究竟是不是1/{0,1}的结果呢？我们可以验算一下，如果它是，根据除法是乘法的逆运算的定义，它乘以{0,1}应该等于1={0}。{0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....}*{0,1}={0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....,1,2_-1,3,4_-1,.......}，注意到，每一个不为0的元素，它在前面的重数与它在无穷之后的重数是相反的，一正一负互相抵消，重数就是0，也就是不存在，即整个集合只剩下0这个元素，结果就是{0}=1。1/{0,1,2}={0}+{1,2}*-1+{1,2}^2+{1,2}^3*-1+...，所有重数的和为1-2+4-8+....=1/3。

同理，一般有1-n+n^2-n^3+....=1/(n+1)。

n取m的组合数记为C(m,n)

1/{0,1}^2={0}+{1}*-2+{2}*3+{3}*-4+....，所有重数的和为1-2+3-4+....=1/4。

1/{0,1}^3={0}+{1}*-C(1,3)+{2}*C(2,4)+{3}*-C(3,5)+....，所有重数的和为1-3+6-10+....=1/8。

同理，一般有C(0,n-1)-C(1,n)+C(2,n+1)-C(3,n+2)+.....=1/2^n。

根据互相抵消的原理，还有公式：C(n,n)*C(k,k+n-1)-C(n-1,n)*C(k+1,k+n)+,,,,+(-1)^i*C(n-i,n)*C(k+i,k+n-1+i)+......+(-1)^n*C(0,n)*C(k+n,k+2n-1)=0.

在广义集合论中除以0：

1/{-1,0_-1}=({-1}-1)^-1={1,2,3,4,.....} 用关于-1的运算就表达了全体正整数的集合。

1/{-2,0_-1}={2,4,6,8,.....}

1/{1,2,3,4,....}={-1,0_-1} 1/无限=0

{1,2,3,....}/{2,4,6,....}={-2,0_-1}/{-1,0_-1}={0,-1} 无限/无限=0/0=2

{-1,0_-1}基数为0，1/{-1,0_-1}的基数=1/0=无限大，所以1/{-1,0_-1}必为无限集，它就是正整数集。

集合运算肯定了运算性质：非零除以0等于无限，有限除以无限等于0,0/0，无限除以无限可以等于任何数。在广义集合论中，确实允许0除以0，无限除以无限的操作，而且特定的0，特定的无限，会得到特定的结果。

关于第二次数学危机，我赞同欧拉的观点，实无限小就是0，绝对的0，求导就是0/0，是特定的0除以特定的0得到特定的结果。悖论之所以不成立，就在于在第一步的运算中，先设增量不为0，增量除以增量等于1，然后让增量不断变小直至消失，当增量=0时，增量/增量=1依然成立，即0/0=1，所以没有增量即不等于0又等于0的矛盾，增量最终就是0。柯西等人是通过令增量无限变小而不等于0而解决悖论，而欧拉等人是通过承认增量为0而且可以做除数而解决矛盾，柯西等人是潜在无穷的观点，欧拉等人是实在无穷的观点。

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