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Zmn-0434 李振华: 从广义集合论看无穷级数广义和,0/0,无限/无限

已有 939 次阅读 2021-2-4 09:01 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0434 李振华:从广义集合论看无穷级数广义和,0/0,无限/无限

【编者按。下面是李振华先生的文章。是作者的《0334》《0329》《0312》《0301》等文章的续篇。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

从广义集合论看无穷级数广义和,0/0,无限/无限

李振华

1-1+1-1+...=1/2

1+2+3+4+.....=-1/12

1+2+4+8+....=-1

1-2+4-8+...=1/3

无穷多个正数加起来是负数,无穷多个整数加起来是分数,这些看似错误的结果,其实都是正确的。实无穷和潜在无穷有时候是不一样的、全体自然数的和是-1/12,如果是1+2+3+....+n,则为n(n+1)/2。这些看似错误的等式,往往和可数无限有关,是可数无穷部分等于整体的性质的反映。

例如:1-1+1-1+。。。。,从潜在无穷的角度看,是01,从实在无穷的角度看,则是1/2。潜在无穷在推理的过程中,个数虽然无限变大,但始终是有限的。实在无穷在推理的过程中,个数始终是实际无限大。

无穷级数广义和是传统数学的内容,广义和在量子力学,弦论中有充分的应用。

有加减乘除幂定义的集合论,允许重数(隶属度)为任意数,任意集合的集合论,这样的集合论我称为广义集合论。下面,我们将从广义集合论的角度看待无穷级数广义和,0/0,无限/无限的问题。

如果没看过我以前的文章,那要先看我以前的文章,因为这篇文章以我以前的文章为基础。

a_x:元素a的重数为x

集合加法:重数相加

集合乘法:元素相加,重数相乘

减为加的逆,除为乘的逆。

自然数的集合定义:0={},1={0},2={0,0},3={0,0,0},....,n={0_n}

基数对应公理:关于集合的等式,把集合替换成对应的基数,等式依旧成立。例如A+B=C,则|A|+|B|=|C|

集合基数和无穷级数的和:

1/{0,1}的基数为1/2。对其进行二项式展开:

1/{0,1}={0,1}^-1={0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....}。所有重数的和为1-1+1-1+.....,,根据公理,其结果就等于1/2

{0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....}究竟是不是1/{0,1}的结果呢?我们可以验算一下,如果它是,根据除法是乘法的逆运算的定义,它乘以{0,1}应该等于1={0}。{0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....}*{0,1}={0,1_-1,2,3_-1,4_1,.....,1,2_-1,3,4_-1,.......},注意到,每一个不为0的元素,它在前面的重数与它在无穷之后的重数是相反的,一正一负互相抵消,重数就是0,也就是不存在,即整个集合只剩下0这个元素,结果就是{0}=1。1/{0,1,2}={0}+{1,2}*-1+{1,2}^2+{1,2}^3*-1+...,所有重数的和为1-2+4-8+....=1/3

同理,一般有1-n+n^2-n^3+....=1/(n+1)

nm的组合数记为C(m,n)

1/{0,1}^2={0}+{1}*-2+{2}*3+{3}*-4+....,所有重数的和为1-2+3-4+....=1/4

1/{0,1}^3={0}+{1}*-C(1,3)+{2}*C(2,4)+{3}*-C(3,5)+....,所有重数的和为1-3+6-10+....=1/8

同理,一般有C(0,n-1)-C(1,n)+C(2,n+1)-C(3,n+2)+.....=1/2^n

根据互相抵消的原理,还有公式:C(n,n)*C(k,k+n-1)-C(n-1,n)*C(k+1,k+n)+,,,,+(-1)^i*C(n-i,n)*C(k+i,k+n-1+i)+......+(-1)^n*C(0,n)*C(k+n,k+2n-1)=0.

在广义集合论中除以0:

1/{-1,0_-1}=({-1}-1)^-1={1,2,3,4,.....} 用关于-1的运算就表达了全体正整数的集合。

1/{-2,0_-1}={2,4,6,8,.....}

1/{1,2,3,4,....}={-1,0_-1}   1/无限=0

{1,2,3,....}/{2,4,6,....}={-2,0_-1}/{-1,0_-1}={0,-1}   无限/无限=0/0=2

{-1,0_-1}基数为01/{-1,0_-1}的基数=1/0=无限大,所以1/{-1,0_-1}必为无限集,它就是正整数集。

集合运算肯定了运算性质:非零除以0等于无限,有限除以无限等于0,0/0,无限除以无限可以等于任何数。在广义集合论中,确实允许0除以0,无限除以无限的操作,而且特定的0,特定的无限,会得到特定的结果。

关于第二次数学危机,我赞同欧拉的观点,实无限小就是0,绝对的0,求导就是0/0,是特定的0除以特定的0得到特定的结果。悖论之所以不成立,就在于在第一步的运算中,先设增量不为0,增量除以增量等于1,然后让增量不断变小直至消失,当增量=0时,增量/增量=1依然成立,即0/0=1,所以没有增量即不等于0又等于0的矛盾,增量最终就是0。柯西等人是通过令增量无限变小而不等于0而解决悖论,而欧拉等人是通过承认增量为0而且可以做除数而解决矛盾,柯西等人是潜在无穷的观点,欧拉等人是实在无穷的观点。


 

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