Zmn-0436 薛问天：这是一条可以严格证明的定理。评李鸿仪先生的《0424》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生的《0424》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

这是一条可以严格证明的定理。

评李鸿仪先生的《0424》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

  (1)，关于无穷小数同有穷小数比较的问题。

我说「要知道如果这里不是 b，而是 b_n，是个有限小数，那么它是如何同 a_1，a_2，a_3，…这些无限小数比较相等不相等呢？」我说这话的意思，是指这种比较毫无意义。任何一个有限小数，同任何一个是无限小数比较，当然都是不相等的，除非无限小数后面是无穷多个0，一般不是如此。这样的比较毫无意义。

就以李先生所举的例子來分析。对无限小数 a_1=0.12341236749….，

如果取 b_1 =0.1，显然它不等于 a_1。取 b_2=0.12，显然也不等于 a_1。取 b_3 =0.123，显然也不等于 a_1......。对任何n，取 b_n等于a_1的前n位小数，显然它仍不等于 a_1。也就是说尽管所有的b_n都不等于a_1，可是这个b_n的极限b却等于a_1。所以说康托尔并不是根据【所有的b_n都不等于a_1，因而它们的极限b不等于a_1。】这样的推论來证明b不在(1)中的。李先生说【其实康托就是这样推导的】，这是李先生的误读。其实康托不是这样推导的。康托用bn表示b的第n位值，并不是b的前n位有限小数。即b=0.b1b2b3...bn...。其中的bn不等于a_n的第n位小数a_nn，即bn≠a_nn。这很容易证明b不等于任何a_n。因为对于无限小数有这样的性质，两个无限小数不相等，当且仅当至少有一位不相等。由于对任何n，都有bn≠a_nn，即推出b不等于任何a_n。于是得出b不在(1)中的结论。这里的b不等于任何a_n，当然也包括任何m，b也不等于任何a_m。所以李先生质疑康托尔的证明是没有道理的。他置疑的是他理解的错误证明，而不是康托尔的真正的证明。

(2)，关于「b不等于任何a_n，当然包括对任何m，b也不等于a_m。」

这本是一个明显的事实。如果证明了b不等于任何a_n，当然对任何m，不管这个m是任何数，b也不等于a_m。因为n是由「任何」这个量词形容的变量，不是一个具体的常量，当然排除掉还存在有m>n，使b=a_m的可能。

这在逻辑上是这样的。任何量词都有一个辖域，在这个辖域以外，谈论n就是沒有任何意义的事。例如一个语句是

...(∀n)P(n)...Q(n)，其中的Q(n)在量词(∀n)的辖域以外。因而在P中的n和Q中的n已没有任何关系了，已不是同一个n。讨论m>n已沒有任何意义。

 (3)，关于引入未加证明的假设的问题。

李先生认为康托尔的证明【引入了下述假设：

假设 1“实数可数的必要条件是实数的个数与对角线的位数一一对应”。】

实际上这并不一个假设，而是一条可以严格证明的定理。因为【实数集合R可数】当且仅当【实数集合】同【自然数集合N】一一对应。而【自然数集合N】同【无穷小数的位数集】是一一对应的。由于集合间的一一对应关系滿足可传递性(如果集合A同集合B一一对应，集合B同集合C一一对应，则集合A同集合C一一对应)，所以【实数集合R可数:】当且仅当【实数集合】同【无穷小数的位数集】一一对应。

李先生说【实数可数的必要条件是实数能与自然数一一对应。由于对角线的位数可以与自然数一一对应，所以如果实数的个数能够与对角线的位数一一对应，那么当然实数就可以与自然数一对应了，但这并不意味着实数的个数一定要与对角线的位数一一对应，才能保证实数能够与自然数一一对应。】的这句话有误，因为由【实数能够与自然数一一对应】就可推出【实数的个数(指实数集合)一定要与对角线的位数(即无穷小数的位数)一一对应】。所以说，这是必要充分条件，是当且仅当，并不只是必要条件或只是充分条件。

要证明【实数与位数一一对应，只是实数与自然数一一对应的充分条件，不是必要条件。】就是要证明由【实数与自然数一一对应】推导不出【实数与位数一一对应】。就是想找一个实例情况说明【实数与位数并不一一对应】但是【实数与自然数一一对应】却是成立的。这就是李先生证明【不是必要条件】的思路。李先生是这样证明的:

【对角线的位数可用自然数编号，从而可与自然数集合 N={1，2，3...}一一对应。 N'={1，2，3...p，p+1，p+2，p+3...}一一对应。显然，N'也是一个自然数集合。所以，实数不能与位数一一对应，并不意味着实数不能与自然数一一对应。也就是说，实数与位数一一对应，只是实数与自然数一一对应的充分条件，不是必要条件。康托的错误是把充分条件当作必要条件了。】

我们來分析上述证明的错误，设实数个数比位数多了 p 个，故实数可以与集合N'一一对应。N'也是一个自然数集合，能与自然数一一对应。于是李先生以为他找到一个例子，实数不能与位数一一对应，但是能与自然数一一对应。这实际上是李先生认识上的一错误。他认为实数比位数多了p个，能与N'一一对应，就【不能与位数一一对应】了，这个断言是完全错误的。就如同N'可以同N一一对应一样，这里的比位数多p个元素的实数，它是一个无穷集，同位数集完全可以建立严格的一一对应。请李先生牢牢记着，无穷集可以同它的真子集一一对应！所以说，这不是康托尔的错，而是李先生证明的错。

 (4)，自洽性的问题。

李先生认为康托尔的理论系统中有下述两个相互矛盾的命题，从而理论体系是不自洽的，是有矛盾的。实际上，它所说的命题2是对的。但命题1并不是康托尔理论中的命题。是李先生对康托尔定理证明的误解。所以李先生对康托尔理论自洽性的质疑不成立。下面我们來具体分析。李先生所描述的两个命题如下。

【命题 1 如果能在根据可数假定得出的（1）中找出了不在（1）内的 b，即可数无限集中增加了 1 个元素，原可数假定就可以被推翻。】

 【命题 2 无限集中增加 1 个元素不能改变其基数，例如，原来是可数的集合中增加一个元素后仍然是可数集合。】

命题2是对的。关键是命题1。这是李先生对康托尔定理证明的误读。康托尔的证明，并没有根据【可数无限集中增加了 1 个元素，】就推论出【原可数假定就可以被推翻。】而根据【可数无限集中增加了 1 个元素，】就推翻了【原可数假定】，这是李先生的错误的证明，如果说不自洽，那只能说李先生的错误证明同集合论不相容，而不能说集合论本身不自洽。

康托尔证明的根据是，实数b不在(1)中，说明「并不是全体实数都在(1)中」，这同推出的「全体实数都在(1)中」的命题相矛盾，从而才根据反证法推翻了【原可数假定】。

(5)，关于直觉的问题。

李先生文后有一大段议论，因为大多没有涉及具体的数学问题，所以就不一一评论了。但有一个关于直觉的问题，评论如下。

李先生说【所谓不可数，本身就是反直觉的。既然集合的元素都是互不相同的，这些互不相同的元素，当然可以一个一个列出来，然后用自然数编号，从而与自然数一一对应，怎么可能会存在不可数的集合呢？】【直觉告诉我们，只要实数是存在的，又互不相同，我们就可以把它列出来。所以任何一个具有直觉思维能力的人都不会相这也是很多人对对角线进行质疑的原因。】

关于无穷集，我建议不要靠直觉。因为人的直觉，多是來自有穷集的规律。无穷集的属性，要靠理性思维，要靠严格的推理。既然严格地证明了可数集合的幂集不可数，实数不可数，尽管没有相应的直觉，也要承认。要知道人的认知中，眼耳鼻舌身这五个感官产生的直接感觉，是相当有限的。人们的大量的认知要从感性上升到理性，才能完成。一个有名的例子就是暗物质。对暗物质，是直接直觉不到的，靠的是对感性认知的推理。

李先生说【是对角线证明扰乱了人们的思维：看似完美无缺的逻辑思维与直觉相反，人们不知道应该相信什么了。】

完美无缺的逻辑思维与直觉，这两者【应该相信什么】？当然相信「完美无缺的逻辑思维。」要知道人们的逻辑思维能力也是经过千百万次的实践证实的，是千锤百练才形成的。

当然我同意李先生说的这句话【如果直觉错了，就要找出造成错觉的原因，如果逻辑推理错了，也要找出其具体错在哪里。】问题是直觉的东西，是非严格的概念，很难严格地判断正确和错误。而逻辑推理则不同，有推理错误，肯定可以找出。如果找不出错來，是完美无缺的，就要承认。所以数学研究中，关键要靠数学证明，而不能靠直觉印象。

说到底，这些空洞的议论毫无意义，不要轻言谁是迷信。你要质疑某某理论，只谈你的直觉如何如何凭空议论，是没有用的。最后就还是要拿出充分的证据來。你认为康托尔证明上有错，就要指出某步证明错在哪里，指不出错來，就要承认证明是正确的这个事实。仅仅说它是【反直觉的】，不符合【直觉告诉我们】的什么什么，没有絲毫说服力。亳无意义。

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