Zmn-0438 薛问天：在反证法假定下推出的矛盾说明什么？评杨六省先生的《0429》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对杨六省先生的《0429》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

在反证法假定下推出的矛盾说明什么？

评杨六省先生的《0429》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

杨六省先生对√2是无理数传统证法的质疑，其错误的根本原因是对反证法假定下所推出的矛盾如何认识上出了问题。在反证法假定下推出的矛盾，只能说明这个假定是错的，从而推翻这个假定，使定理得证。而不能由此矛盾得出结论，说定理的证明和推理，本身是错误的。从而【拒斥】这种推理，进而认为证明是无效的。下面我们來具体分析。

 (1)，不能把反证法假定下推出的矛盾，作为【柜斥】蕴涵式的根据。

杨六省先生说【我们总可以把√2= p/q 写成 p²=2q²（q 是整数）的形式。下面的蕴涵关系很容易得到证明。对于形如 p²=2q²（q 是整数）的表达式，如果 p 是偶数，则假设条件蕴涵 q 也是偶数。对此蕴涵关系，有且只有如下两种观点：认可与拒斥。】【对于形如 p²=2q²（q 是整数）的表达式，关于上述蕴涵关系，若持拒斥的观点，则“q 是整数”这一点不会改变；】

也就是说杨先生认为，持拒斥观点的人之所以拒斥这个蕴涵式【如果 p 是偶数，则 q 也是偶数。】，是因为【“q 是整数”这一点不会改变】。也就是说可以证明(如原文附2中作者本人所证)，【对于√2= p/q 而言，其中的 p 和 q 不可能全是整数。】如果p是偶数，则【q不是整数】。q连整数都不是怎么可能是偶数呢。从而拒斥这个蕴涵式【如果 p 是偶数，则 q 也是偶数。】

但是扬先生忘了，【q不是整数】这个结论是在假定【p是偶数】这个假定下推出的。它形成的矛盾，只能用來作为推翻【p是偶数】这个前提的根据，而不能作为【拒斥】这个蕴涵式【如果 p 是偶数，则 q 也是偶数。】的理由。要知道正如作者所言，这个蕴涵式是【很容易得到证明】的，是经过严格证明的，不容【拒斥】的正确蕴涵式。而这个前提【p是偶数】，则是由反证法的假定【√2是有理数】所直接推出的。也就是说由【√2是有理数】推出【p是偶数】，再根据上述蕴涵式【如果 p 是偶数，则 q 也是偶数。】推出【 q 也是偶数。】最后由于其同假定p,q互素发生矛盾，而使定理得证。。

也就是说在反证法假定下推出的矛盾，只能作为推翻原假定的根据，而不能作为【拒斥】正常蕴涵推理的理由。

也就是说，蕴涵式【如果 p 是偶数，则 q 也是偶数。】和蕴涵式【如果p是偶数，则q不是整数】，都是经过严格证明的正确蕴涵式。这两者并无矛盾。只有在【如果 p 是偶数】的假定下，才会有【q是偶数】和【不是整数】的矛盾。而这个前提【p是偶数】，则是由反证法的假定【√2是有理数】所直接推出的。于是这个矛盾形成了定理的另一个有效的证明。

至于说持拒斥观点者认为【表达式 q²=2s²（s 是整数)的后面不再有形如 p²=2q²（q 是整数）的表达式紧随其后，】更是没有道理。只要是承认的等式，都可以在推理中根据需要任意多次使用，哪有什么有无【跟随其后】的问题。也就是说，【拒斥】的观点根本站不住脚。所以在传统的证明中，不存在两种观点的矛盾，说明不了传统证明的无效性。

 (2)，这里涉及到一个逻辑问题。

如果已知A→乛B，而在证明中又证明了A→B，能否根据己知A→乛B，就说这个证明了的A→B是无效的吗？就要拒斥这个蕴涵式吗？显然不能。A→B同A→乛B，并不是相互矛盾的命题。A→B完全可能是有效证明的命题。然后由A→B同A→乛B共同推出A→(B∧乛B)，其中的(B∧乛B)才是矛盾的命题，从而推出乛A。而这正是反证法的逻辑原理。

(3)，在反证法假定下，可以推出各种各样的矛盾。

在√2是无理数的证明中，在反证法的假定【√2是有理数】的假定下，可以推出各种各样的不同的矛盾。每一对所推出的矛盾，都可以作为定理的有效证明。在传统的证明中所推出的存在的p,q全是偶数，同p,q互素的矛盾。有效地证明了定理。同样，扬先生推出的p,q不全是整数，同假定的p,q是整数发生矛盾，其证明也是有效的证明。另外如黄汝广先生在《0414》中推出的矛盾，也是定理的有效证明。

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