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Zmn-0439李振华：广义集合论全面总结和细节

已有 2060 次阅读 2021-2-8 17:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0439李振华：广义集合论全面总结和细节

【编者按。下面是李振华的文章。是作者的《0434》文章的续篇。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

广义集合论全面总结和细节

李振华

我先前已经发了好几篇关于广义集合论的文章，文章里给出了很多前所未有的公式，但这些公式是怎么来的，我也许说得不够详细，当然，逻辑缜密的读者可以根据我的定义推导出来，但定义是怎么来，为什么是这样，大家也许依旧迷惑，所以在这里，我会把公式的起源详细地说给大家听听。

广义集合论是我所发现的一个理论，它起源于求模糊集的幂集合。在探索模糊集的幂集合的过程中，我发现必须知道两个集合相乘的含义，于是，我又转向了思考两个集合相乘的意义，并最终找到了正确答案。

关于集合的乘法，是凭空想象的吗，是主观臆想吗？当然不是，它完全是以运算为依据的。

集合乘法的起源：

分析P({a,b,c,d})，P({a,b}),P({c,d})之间的关系：

P({a,b})={0,{a},{b},{a,b}}

P({c,d})={0,{c},{d},{c,d}}

P({a,b,c,d})={0,{c},{d},{c,d},{a},{a,c},{a,d},{a,c,d},{b},{b,c},{b,d},{b,c,d},{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}}

通过分析，我们发现这样的事实，P({a,b,c,d})中的元素，是P({a,b})中的元素+P({c,d})中的元素。如果定义x属于A,y属于B，x+y属于A*B，那么将有P(A+B)=P(A)*P(B)。这样一来的话，我们可以把求幂集的运算转化成求一系列集合相乘的运算，这样的法则，和数的法则是一样的，这又启发我们，数的法则可能适合于集合。

同理，通过对多重集合的分析，我们就会得到这样的法则，集合相乘，元素相加，重数相乘。

a_x:元素a的重数为x。

广义集合论给出了两个集合相乘的法则，这是真正的乘法，虽然在此之前，已经有了笛卡尔积，但那是一个非常粗糙的定义，是一个不守法的运算，不是真正的乘法，与集合真正的乘法比起来，它只是一个残次品。而且我们认识到，集合的真正乘法，与数的乘法是完全相通的，在本质上是完全一样的，数相乘是集合相乘的特例。

有了乘法，也就有了除法，因为除法是乘法的逆运算，两个集合相除，这又是过去无法想象的操作。虽然在此之前，我们可以根据笛卡尔积定义出一个类似除法的操作，但这与真正的集合除法比起来，也是一个残次品，任意给定两个集合，往往都是不可除的。而真正的除法，

并没有这个限制，任意给定两个集合，我们都能根据定义运算下去。与乘法相比，除法是一个高端操作，相乘容易相除难，因为做乘法只需要初等数学的知识，而做除法，往往需要高等数学的知识。

根据集合乘法的定义，可以推导出这样的等式：a_{b}=a+b。这是因为{a}*{b}={a+b}={a_{b}}。这就是说，有了集合的乘法，我们可以允许重数为集合，一个元素和对应的重数，可以表示成不同的元素和不同的重数。我们需要引入最终元素和最终重数的概念，是数的重数称为最终重数，重数是数的元素称为最终元素，我们通常所说的集合的元素，元素的重数，指的都是最终的。

幂集的推广：集合A的集合B次幂。

广义集合论，突破性地给出了集合A的集合B次幂的定义，这是幂集的推广形式。在过去，我们所说的幂集，只是在正整数思维的框架下，构造所有子集构成的集合。集合A的集合B次幂是没有定义的，也是不可想象的。在模糊集合论中，如果你问一个模糊集的幂集是什么样子，回答只能是：没有定义，没有这样的事物，模糊集不能求幂集。这个问题，广义集合论给出了答案，而且模糊集的幂集超出了模糊集的范围。

幂集合可以表示成：P(A)={0,1}^A。这里0,1的意思是，集合A中元素的重数有两种选择，0或1。如果每个元素的重数是0，就是选择空集为幂集合的元素，如果每个元素的重数是1，就是选择A为幂集合的元素，如果有的是0，有的是1，就是选择某个A的真子集为幂集合的元素。

同理，{{a},{b},{c}}^A。集合A中元素的重数有3种选择：{a},{b},{c}。设x为A的元素，那么x_{a}=x+a,x_{b}=x+b,x_{c}=x+c。如果A={m,n,p}，那么{{a},{b},{c}}^A={{m+a},{m+b},{m+c}}*{{n+a},{n+b},{n+c}}*{{p+a},{p+b},{p+c}}。

乘法依赖于加法，幂又依赖于乘法。数是这样，集合也是这样。

经典集合论：重数：0或1

模糊集合论：重数：0到1的实数

多重集合论：重数：自然数

广义集合论：重数：任何数，任何集合

加减乘除幂是广义集合论的五大基本运算，相对于过去的交并补差幂集，这五大基本运算可以说是高等运算了，

在这里我们看到，广义集合论包含了过去所有的集合理论，把它们都统一到同一个框架之中。

只有拥有重数的概念，才能发现自然数真正的集合定义，否则定义一定是错误的，因为是错误的，所以具有主观性，不同人可以有不同的定义。因此，现在我们在课本上学到的定义是错误的，除了0和1。我给出的关于自然数的集合定义，它不是主观的想象，而是客观的理性，你只能这样定义自然数，这是唯一的，不能是其它的方式，这是数学的必然要求。

一个集合乘以自然数n，集合中元素的重数为原来的n倍，一个集合乘以{0_n}={0,0,0,....,0}(n个0)，也是同样的效果，因此n={0,0,0,....,0}(n个0)={0_n}。

乘法定义和幂定义的一致性：

例如：计算{{a},{b}}^2，可按乘法的定义计算，也可按幂的定义计算，会得到相同的结果。

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