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Zmn-0439李振华:广义集合论全面总结和细节

已有 981 次阅读 2021-2-8 17:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0439李振华:广义集合论全面总结和细节

【编者按。下面是李振华的文章。是作者的《0434》文章的续篇。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

广义集合论全面总结和细节

李振华

我先前已经发了好几篇关于广义集合论的文章,文章里给出了很多前所未有的公式,但这些公式是怎么来的,我也许说得不够详细,当然,逻辑缜密的读者可以根据我的定义推导出来,但定义是怎么来,为什么是这样,大家也许依旧迷惑,所以在这里,我会把公式的起源详细地说给大家听听。

广义集合论是我所发现的一个理论,它起源于求模糊集的幂集合。在探索模糊集的幂集合的过程中,我发现必须知道两个集合相乘的含义,于是,我又转向了思考两个集合相乘的意义,并最终找到了正确答案。

关于集合的乘法,是凭空想象的吗,是主观臆想吗?当然不是,它完全是以运算为依据的。

集合乘法的起源:

分析P({a,b,c,d}),P({a,b}),P({c,d})之间的关系:

P({a,b})={0,{a},{b},{a,b}}

P({c,d})={0,{c},{d},{c,d}}

P({a,b,c,d})={0,{c},{d},{c,d},{a},{a,c},{a,d},{a,c,d},{b},{b,c},{b,d},{b,c,d},{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}}

通过分析,我们发现这样的事实,P({a,b,c,d})中的元素,是P({a,b})中的元素+P({c,d})中的元素。如果定义x属于A,y属于B,x+y属于A*B,那么将有P(A+B)=P(A)*P(B)。这样一来的话,我们可以把求幂集的运算转化成求一系列集合相乘的运算,这样的法则,和数的法则是一样的,这又启发我们,数的法则可能适合于集合。

同理,通过对多重集合的分析,我们就会得到这样的法则,集合相乘,元素相加,重数相乘。

a_x:元素a的重数为x。

广义集合论给出了两个集合相乘的法则,这是真正的乘法,虽然在此之前,已经有了笛卡尔积,但那是一个非常粗糙的定义,是一个不守法的运算,不是真正的乘法,与集合真正的乘法比起来,它只是一个残次品。而且我们认识到,集合的真正乘法,与数的乘法是完全相通的,在本质上是完全一样的,数相乘是集合相乘的特例。

有了乘法,也就有了除法,因为除法是乘法的逆运算,两个集合相除,这又是过去无法想象的操作。虽然在此之前,我们可以根据笛卡尔积定义出一个类似除法的操作,但这与真正的集合除法比起来,也是一个残次品,任意给定两个集合,往往都是不可除的。而真正的除法,

并没有这个限制,任意给定两个集合,我们都能根据定义运算下去。与乘法相比,除法是一个高端操作,相乘容易相除难,因为做乘法只需要初等数学的知识,而做除法,往往需要高等数学的知识。

根据集合乘法的定义,可以推导出这样的等式:a_{b}=a+b。这是因为{a}*{b}={a+b}={a_{b}}。这就是说,有了集合的乘法,我们可以允许重数为集合,一个元素和对应的重数,可以表示成不同的元素和不同的重数。我们需要引入最终元素和最终重数的概念,是数的重数称为最终重数,重数是数的元素称为最终元素,我们通常所说的集合的元素,元素的重数,指的都是最终的。

幂集的推广:集合A的集合B次幂。

广义集合论,突破性地给出了集合A的集合B次幂的定义,这是幂集的推广形式。在过去,我们所说的幂集,只是在正整数思维的框架下,构造所有子集构成的集合。集合A的集合B次幂是没有定义的,也是不可想象的。在模糊集合论中,如果你问一个模糊集的幂集是什么样子,回答只能是:没有定义,没有这样的事物,模糊集不能求幂集。这个问题,广义集合论给出了答案,而且模糊集的幂集超出了模糊集的范围。

幂集合可以表示成:P(A)={0,1}^A。这里0,1的意思是,集合A中元素的重数有两种选择,0或1。如果每个元素的重数是0,就是选择空集为幂集合的元素,如果每个元素的重数是1,就是选择A为幂集合的元素,如果有的是0,有的是1,就是选择某个A的真子集为幂集合的元素。

同理,{{a},{b},{c}}^A。集合A中元素的重数有3种选择:{a},{b},{c}。设x为A的元素,那么x_{a}=x+a,x_{b}=x+b,x_{c}=x+c。如果A={m,n,p},那么{{a},{b},{c}}^A={{m+a},{m+b},{m+c}}*{{n+a},{n+b},{n+c}}*{{p+a},{p+b},{p+c}}。

乘法依赖于加法,幂又依赖于乘法。数是这样,集合也是这样。

经典集合论:重数:0或1

模糊集合论:重数:01的实数

多重集合论:重数:自然数

广义集合论:重数:任何数,任何集合

加减乘除幂是广义集合论的五大基本运算,相对于过去的交并补差幂集,这五大基本运算可以说是高等运算了,

在这里我们看到,广义集合论包含了过去所有的集合理论,把它们都统一到同一个框架之中。

只有拥有重数的概念,才能发现自然数真正的集合定义,否则定义一定是错误的,因为是错误的,所以具有主观性,不同人可以有不同的定义。因此,现在我们在课本上学到的定义是错误的,除了01。我给出的关于自然数的集合定义,它不是主观的想象,而是客观的理性,你只能这样定义自然数,这是唯一的,不能是其它的方式,这是数学的必然要求。

一个集合乘以自然数n,集合中元素的重数为原来的n倍,一个集合乘以{0_n}={0,0,0,....,0}(n个0),也是同样的效果,因此n={0,0,0,....,0}(n个0)={0_n}。

乘法定义和幂定义的一致性:

例如:计算{{a},{b}}^2,可按乘法的定义计算,也可按幂的定义计算,会得到相同的结果。

 



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