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Zmn-0455 薛问天：杨六省先生的错误和认知缺陷。评《Zmn-0447》

已有 2002 次阅读 2021-2-23 10:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0455 薛问天：杨六省先生的错误和认知缺陷。评《Zmn-0447》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对杨六省先生《Zmn-0447》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

杨六省先生的错误和认知缺陷。

评《Zmn-0447》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-s.jpg 关于杨六省先生的【质疑教材事件】，已经告一段落。[人民教育出版社中学数学编辑室]，已于2021年1月19日作出正式回答，说【邮件对我室编写的义务教育教科书数学七年级下册中关于根号2不是有理数的证明提出质疑。经研究，我们认为上述教科书中关于根号2不是有理数的证明没有问题，这也是通常使用的证明方法。】

不过杨六省先生不服，写出文章[2]【人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力】。另外，杨六省先生的几篇文章。[3]【对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑】和[1]【对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑】，也都与此问题有关。(详见《0447》及附件。)

另外杨六省先生在本《专栏》发表的文章，如《0364》对文兰院士的证明提出质疑，受到文兰先生《0368 》的批评。后又有些讨沦，我也发表了重要的意见《Zmn-0401 薛问天：量词和论域的重要作用。评杨六省先生的《0392》》。

《Zmn-0429 杨六省：又一新的证据再次表明毕达哥拉斯学派关于√2 不是有理数的证明是无效的》受到:《Zmn-0438 薛问天：在反证法假定下推出的矛盾说明什么？评杨六省先生的《0429》》的反驳。

另外最近的[4]《Zmn-0447 杨六省：数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。》也需要对其中的错误观点进行评论。

杨六省先生产生错误的主要原因是他在认知上有如下几个缺陷。

(1)，他沒有认识到表述命题要确切地用好「量词」和「论域」。

(2)，扬六省先生没有认清原假定(A)「存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数。」与新假定(B)「存在p,q，√2=p/q，p和q互质。」等价，(A)≡(B)。

(3)，杨六省先生没有认识到，在反证法中的假定下，不管推出任何的矛盾命题都行，哪怕这种命题，并不能直接否定反论题，或确立原论题。只要运用的是正确的推理规则，严格地推出的是相互矛盾的任何命题，就可推翻假定，而使定理得证。

下面我们就对杨六省先生这几篇文章的错误，和他的认知缺陷作些具体的分析。

[1]【杨六省: 对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑】。

此文的错误有两点，

第一，杨六省先生不了解可以严格证明，这两个表达【√2是有理数】的命题是等价的。一个是(A)【存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数”。】一个是(B)【存在p,q，√2=p/q，p和q互质。】(由(A)可以推出(B)，同时由(B)′也可推出(A)，所以说(A)和(B)是等价的。自然(乛A)和(乛B)也是等价的。

杨六省断言【√2不是有理数】是原论题，和(A)是【反论题】，这当然是正确的。但断言(B)不是【反论题】的表达，就是没有认识到(A)和(B)的等价性，所以是错误的。

杨六省的另一个错误是没有用量词和论域來正确地表达命题，从而产生一些歧意。如他说【"√2=p/q（p，q互质）”与 “√2=p/q（p和q不全是整数）”并非矛盾判断关系，】其实这两命题的正确表达，前者是【存在着p,q，使√2≠p/q，p,q互质。】后者是【不存在p,q，使√2=p/q，p,q是整数。】前者是(B)，而后是乛(A)。很明显由于(A)≡(B)，这两个命题(B)和乛(A)，是相互矛盾的命题。而扬六省说它们是【并非矛盾判断关系】是错误的。

[2]【杨六省: 人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力】。

杨六省提出了三个问题。

【①把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是合理的吗？】

前面已讲过，:杨六省断言【√2不是有理数】是原论题，和(A)【存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数”。】是【反论题】，这当然是正确的。但断言(B)【存在p,q，√2=p/q，p和q互质。】不是【反论题】的表达，就是没有认识到(A)和(B)的等价性，所以是错误的。

【②由假设√2=p/q（p和q全是整数）能够推出“p和q都是偶数”吗？】

【p,q是偶数】，准确的表述是(C)「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是偶数。」

我们知道(C)是个可证的定理，已证过多遍。此定理并不需要假设√2=p/q（p和q全是整数）。当然，在此假定下，定理也是成立的。

【③由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能推出“√2不是有理数”吗？】

这就是反证法。由反证法的假定推出的任何一组矛盾，就能:推翻了反证法的假定，使定理得证。关于这点，扬六省先生对反证法的证法，有认知上的缺陷。

杨先生说【我认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论证明中关于这种结论的推出是否有效）与假设p，q互质矛盾，是推不出“√2不是有理数”的，理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；】这个对反证法的理解是错误的。在反证法中只要在反证法的假定下，推出任何矛盾，就可以推翻假定，从而使定理得证。在这里，在【√2是有理数】假定下，推出【p和q都是偶数】和【p,q互质】这个矛盾就推翻了【√2是有理数】这个假定，得出了【√2不是有理数】这个结论。在反证法的证明中，并不要求在反证法的假定下推出的一个矛盾命题，一定要同反证法的假定相矛盾。

不过另一方面，在这里推出的【p和q都是偶数】，它的完整的表述是【对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是偶数。】它能推出【对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q非互质。】这就是乛(B)，它同(B)【存在p,q，√2=p/q，p和q互质。】是相互矛盾的。由于(B)≡(A)，所以它同(A)【存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数”。】也是矛盾的。

杨先生说【不能认为，应用反证法，无论推出了什么样的矛盾，都表示原论题得证，而不考虑反论题的设定是否正确，每一步的推理是否合理，这种含混的观点在教学中是有害的，因为它误人子弟！】

这是一句逻辑混乱的话，因为【反论题的设定是否正确，每一步的推理是否合理，】这同【无论推出了什么样的矛盾，都表示原论题得证，】没有直接关系。

扬先生，我问你在【反论题的设定正确，每一步的推理都正确】的条件下，你同意还是不同意【无论推出了什么样的矛盾，都表示原论题得证】？

[3]【杨六省: 对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑】

杨先生说【（1）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是违反反证法基本要求的。】

杨先生说【（2）即使反论题的设定是正确的，但如果推理过程有错，那么，就无法保证推出的矛盾能够否定反论题，也就无法确立原论题为真。】

杨先生认为【由√2=p/q（p和q全是整数）既推不出√2=p/q（p，q互质），也推不出p和q都是偶数，理由如下：】

扬先生的理由是【“√2=p/q（p和q全是整数）”之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？因此，依据上述理由，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出√2=p/q（p，q互质）的。】

杨先生的这句话完全是一派混乱的逻辑。他说【现今的人们都知道，对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，】杨先生竟然不知道这就是我们要证的论题。我的定理要证明的论题就是√2不是有理数，就是要证明【对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，】如果【现今的人们都知道】，为什么还要來证明。

从这句话可以看出杨先生根本就不懂反证法。因为反证法的假定就是证明要最后推翻的假的假定。按照杨先生的逻辑，反证法的假定是【不存在的】，怎么能推出矛盾？要知道反证法就是假定它存在，才推出矛盾，由此矛盾才最后证明它不存在，使定理得证。

另外杨先生还认为【由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出p和q都是偶数的。】

扬先生论述的错误主要是没有用量词和论域束准确表达命题。如果严格地表达，则没有任何问题。我们约定论域是正整数。

【√2是有理数】，【√2=p/q（p和q全是整数）】，准确的表述是(A)「存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数。」

【√2是有理数的等价定义】，【√2=p/q（p，q互质）】，准确的表述是(B)「存在p,q，√2=p/q，p和q互质。

所证明的【p,q是偶数】，准确的表述是(C)「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是偶数。」

我们知道(C)是个可证的定理。由(C)可推出命题「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是不互素的:。」但我们知道这个命题就是乛(B)。由于(B)是【存在p,q，√2=p/q，p和q互质。】所以乛(B)就是「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是不互素的:。」即由(C)推出了乛(B)。这里用到一个逻辑公式

乛(彐x)[P(x)∧Q(x)] ≡ (∀x)[乛P(x)V乛Q(x)] ≡ (∀x)[P(x)→乛Q(x)。

也就是说，在反证法的假定(A)下推出了(B)，而又由定理(C)推出了乛(B)。(B)同乛(B)是推出的矛盾。所以用反证法就推翻了(A)，使定理得证。因而附1引述的证明是有效的。

当然杨先生引述的附2，他自己的证明也是有效的。因为他证明了在假定(A)「存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数。」下，「任何p,q，如果√2=p/q.，则p,q不是整数」。这就是乛(A)。也就是说是在反证法的假定(A)下，推出了(A)同乛(A)的矛盾。使定理得证。

楊先生说【因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；】

这是不对的。【p和q都是偶数】指的是定理(C)，由它可以推出乛(B)「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是不互质的:。」而

“√2=p/q（p和q全是整数）”，是命题(A)，它同(B)等价，(A)≡(B)，(B)是「存在p,q，√2=p/q，p和q互质。」可见这里推出了(B)同乛(β)的矛盾，以及(A)和乛(A)的矛盾。

杨先生在后面论述中的错误主要有两点，一是是没有认识(A)和(B)的等价。因而没有认识到(B)同乛(B)的矛盾，就是(A)和乛(A)的矛盾。

第二点错误是没有理解在反证法的证明中，只要在反证法的假定(A)下推出任何矛盾，就可使乛(A)的论题得证。並不要求推出的矛盾(B)和乛(B)一定要同假定(A)有直接关系。

杨先生承认【√2=p/q（p，q互质）】和【√2=p/q（p，q非互质）】，是在假定(A)下推出的相互否定的矛盾。但说【并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。】错误地认为不能由反证法使论题得证。

[4]《Zmn-0447杨六省: 数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解》。

杨先生说【由原假定“√2=p/q（p和q全是整数）”推出的新的假定“√2=p/q（p，q互质）”，已不再是原论题的反论题了，因为表达式“√2=p/q（p，q互质）”与原论题“√2不是有理数”并不是矛盾判断关系。】

我前面已说过，杨先生的这句话是错误的。因为原假定(A)「存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数。」与【新假定】(B)(B)「存在p,q，√2=p/q，p和q互质。」等价，(A)≡(B)。所以如果原假定(A)是原论题的反论题，则新假定(B)仍旧是原论题的反论题。

杨先生说【关于“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论（注：姑且不论其推理是否有效），其虽与新假定“√2=p/q（p，q互质）”中的“p，q互质”矛盾，但根据这个矛盾，并非像薛问天教授所说的，就能够推翻“√2是有理数”这个原假定，从而使“√2不是有理数”得证。】

杨先生这句话的错误是由于对反证法的错误理解。

由定理(C)「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q是偶数。」可以推出乛(B)「对任何p,q，如果√2=p/q，则p,q非互质。」这就是说，在假定(A)下，推出了(B)同乛(B)的矛盾。根据反证法，这就推翻了假定(A)，使定理乛(A)【√2非有理数】得证。但杨先生错误地认为不能【得证】。

杨先生说【值得指出的是，“√2=p/q（p，q互质）”与“√2=p/q（p和q全是整数）”事实上存在着一种微妙的逻辑层次方面的差异——关于这一点，虽不能说，只可意会不可言传，但它确实需要人们“悟”，因为它属于思辨思维。】

其实这是杨先生没有表述清楚。表述清楚后这就是(A)和(B)，它们的关系是等价的，(A)≡(B)。

杨先生说【如果我们的教师，尤其是我们的教科书，都像薛问天教授一样，教给学生一个关于反证法的糊涂观念——认为不管“推出”任何的矛盾都行，哪怕这种矛盾并不能否定反论题，并不能确立原论题；也不管这些“推出”是否都合理——这样的教学，岂不误人子弟？】

杨先生的这段话说明他对反证法的理解是错误的。反证法只要求在反证法的假定A下，推出任何矛盾B与乛B，就可以推翻假定A，而使论题乛A得证。并没有要求这个矛盾的命题一定要【能否定反论题】或【能确立原论题】。当然由A推出B与乛B必须是严格地使用推理规则进行的正确推理。

反证法的逻辑原理是这样的，如果由A推出了任何B与乛B这个矛盾，则断定A一定是假的。因为如果A为真，则B与乛B就必须同时为真。但这是不可能的，矛盾的命题不能同时为真。这就证明了A一定为假，于是论题乛A就被证明为真。这里只要求B和乛B是在假定A下推出的任何矛盾命题即可，并不需要去证明这个命题本身的含义，一定要【能否定反论题】或【能确立原论题】。

所以说【对于反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解，而应该科学严谨，有错必纠，切勿以讹传讹，误人子弟！】这句话应该让杨六省先生本人好好听听，因为杨六省先生对于反证法的理解是错误的。而大多数的【数学行家（包括数学教育家）】的观点并沒有错。

结论。

综上所述，杨六省先生产生错误的主要原因是他在认知上有如下几个缺陷。

(1)，他沒有认识到表述命题要确切地用好「量词」和「论域」。关于这点，请详见《Zmn-0401 薛问天：量词和论域的重要作用。评杨六省先生的「0392」》。

(2)，扬六省先生没有认清原假定(A)「存在p,q，√2=p/q，p和q全是整数。」与新假定(B)「存在p,q，√2=p/q，p和q互质。」等价，(A)≡(B)。

(3)，杨六省先生没有认识到，在反证法中的假定下，不管推出任何的矛盾命题都行，哪怕这种命题，并不能直接否定反论题，或确立原论题。只要运用的是正确的推理规则，严格地推出的是相互矛盾的任何命题，就可推翻假定，而使定理得证。

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