Zmn-0453 沈卫国： 微积分极限法求导中的逻辑问题辨析以及一个形象的比喻

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

微积分极限法求导中的

逻辑问题辨析以及一个形象的比喻

 沈卫国

摘要：对微积分极限法求导中的逻辑问题，在前期系列论文的基础上，进行了进一步的辨析。特别针对求导中的必要步骤约分或除法消去分母上的自变量这关键点，进行了简略但充分的讨论。为了便于理解，还给出了比喻。极限法求导，与其说是解决了牛顿、莱布尼兹第一代微积分求导中的贝克莱悖论问题，还不如说是掩盖了它。极限法微积分求导，是完全违反推理逻辑规则的，不能成立。笔者前期给出的导数、瞬时速度的新定义及基于这个定义的求导方法，并不依赖于极限法求导的成立与否。但如果极限法求导一旦是矛盾的，则笔者的方案就是唯一的。

关键词：极限法求导；微积分；导数；极限；不可达极限；矛盾；贝克莱悖论；第一代微积分；第二代微积分；比喻

1、在某定义域内可以看成为相同的两个函数，不但在定义域外可以函数值不同，不可达极限也应该可以不同

极限法微积分求导（第二代微积分，标准分析）——当然，也包括牛顿、莱布尼兹的第一代微积分求导——其必要步骤，都是要在约分（或除法）消去分母上的自变量之后。牛顿、莱布尼兹法（第一代微积分），由于是直接针对函数值的，因此会产生著名的贝克莱悖论。为了解决这个问题，柯西等提出极限法，认为求出的导数其实是极限值，而不是函数值。具体求法是：由于在自变量△x=0时，函数值是0/0，无意义，因此认为函数的定义域不包括

△x=0点。因此，由于自变量不再可以等于0，除法或约分消去分母就可以进行，换言之，在排除了定义域外的△x=0点后，原先分母上有自变量△x的函数与已经消去分母的函数没有区别了，就可以视为是同一个函数。比如，以最简单的二次函数为例，在△x≠0时，（2x+△x）△x/△x与（2x+△x）可以认为是同一个函数。也就是，在定义域内，这两个函数的函数值一致，可达极限值当然也一致。但在定义域外的△x=0点，或如果把定义域扩展到

△x=0点，这两个函数值在该点是不一样的：（2x+△x）的函数值是2x，而（2x+△x）△x/△x的函数值是0/0，也就是没有有意义的函数值。同样，由于函数值与其可达极限值是一致的，因此，在△x=0点二者的可达极限分别是2x与0/0，总之是不一样的。那么，既然在定义域内（△x≠0时）数值相同的两个函数，在定义域外（△x=0点）或扩展后的定义域

（△x=0点）可以有不同的函数值，那么，究竟凭什么非说它们在定义域外（△x=0点）或扩展后的定义域（△x=0点）就非得有相同的不可达极限值？而且这个不可达极限值还非得是有意义的2x，而不会是无意义的0/0？毕竟，（2x+△x）△x/△x在△x=0点的函数值不是0/0吗？尽管它是无意义的不定式也罢。换言之，即使△x≠0，凭什么分母上原本有自变量的函数比如（2x+△x）△x/△x，就非得约分把分母消去，得到（2x+△x）后再去求△x=0点的极限值？难道（2x+△x）△x/△x在△x=0点可以有无意义的函数值0/0，就非得有有意义的不可达极限值2x吗？它的极限值就不会是同样无意义的0/0，与其在该点的函数值一致？

2、一个形象的比喻或通俗的例子

   这里有一个形象的比喻：有两辆车，在陆地上行驶状态是一样的，都好好地行驶着。但在河上，一辆驶上了桥，一辆掉到了河里。在陆地上，两辆车都是安全的，状态一致，可以认为“函数值”一样。但在河上，在桥上的那辆，仍旧安全（可类比于有意义的函数值，比如2x）,而另一辆掉到河里的，毁掉了，当然再没有安全可言（可类比于没有有意义的函数值，比如函数值为0/0）。对在河上的可达目标（可达极限）而言，与函数值一样，一个为有意义的2x,一个为无意义的0/0。但对河上的不可达目标（不可达极限），难道就因为那辆掉到河里的车，仅仅由于在陆地上其状态与后来驶上桥的那辆的状态一样，都是安全的，就认为在河上，它的不可达目标（不可达极限）就必须与后来驶上桥的那辆也一样，也是安全的？凭什么其不可达目标（指永远到达不了但可以无限接近的目标，即不可达极限）就不能与其函数值或可达目标（可达极限值）一样，也是以掉到河里为目标（极限）？这没有任何道理。

     显然，以所有的车在陆地上都是安全的，都一样，就认为可以以此为理由，通过规定大家来到河边后，就都会以同样安全的“上桥”为不可达目标（不可达极限，可对应于二次函数的极限值2x），进而就都安全了，是没有任何道理的。逻辑上不通。特别是事先还确实有车掉到河里了（可以对应于函数值为0/0）。既然现实中有的车上桥了，安全了，而有的车没上桥，掉河里了，为什么所有的车就会都以安全的上桥（对应于函数值为有意义的2x）为不可达目标（不可达极限），而不会是在同样的理由下，以掉河里（对应于函数值为无意义的0/0）为不可达目标（不可达极限）？而不以掉河里为目标（极限），它却可以实际地掉河里？相反，已经掉河里了，它却可以不以掉河里为目标（极限）？有这种逻辑吗？微积分极限法的逻辑，就正是如此。

退一步说（实际根本就还不成立，这里是“假设如此”的意思），就算在现实中车掉到河里了，淹死了人（对应于函数值为0/0），但却可以有安全上桥的不可达目标（不可达极限，可对应于不可达极限值为2x）,就可以以这个不可达目标（不可达极限）为新的现实（函数值），于是在这个规定下，其后推理就无矛盾了。极限法微积分求导就是如此干的，也是很多其辩护者所一再坚持的。当然，在作了如此硬性规定后（注意这个“后”字），系统就不再有矛盾了。但是，我们必须强调这个“但是”，这种硬性的规定，与原先的现实本身是不是矛盾的？似乎无人深究了。人在现实中都已经掉到河里淹死了，车也毁了，却“硬性规定”由于该车在安全的桥上有不可达目标（不可达极限。其实还并没有），或以安全上桥为其不可达目标（不可达极限），于是车就是安全的，没有毁，人也没死？或虽然死了，但在这个硬性规定下，人又活了或等于活着？或假设其还活着会怎样怎样？而在极限法微积分求导中我们所求的导数、瞬时速度，原来就是类似这样的东西？在做了如此假设或硬性规定后，当然就是讨论假设人还活着或死而复生之类的事了，在这个被“硬性规定后”了的逻辑上，是没有逻辑问题了。但是，这个所谓的“硬性规定”本身，不是与原先实际发生的（对应于我们实际所欲求的那个函数的值）掉到河里而且死人的事实存在确实的矛盾吗？都说搞数学依赖于定义，也就是规定。但很多人也许忘了或无视，这些定义或规定，必须自身不会产生矛盾。或后面的定义、规定，不能与前期的定义、规定（往往以隐性的事实来体现）相矛盾。

笔者之所以要举这个通俗的例子或形象的比喻来类比极限法微积分求导的问题，实出不得已。实践表明，真不要认为光用行话，很多人就可以懂。

3、在最简函数△x/△x与1下的进一步说明

     总之，两个原本不同的函数，也就是定义域中的某点或某段函数值不同的函数，如果当定义域缩小后是相等的，则，第一，在这个缩小了的定义域之外，它们是不同的，也就是函数值不同。这个是大家都承认的。第二，在这个缩小了的定义域之外的极限（对这个缩小了的定义域而言，是不可达极限），其实也不可能相同。理由见上面的讨论。如果非要说相同，那么，也有一个谁去与谁相同的问题。厚此薄彼的理由是给不出的。比如，有函数△x/△x与函数1，在△x≠0时，二者相同，函数值都是1（可达极限值也是1。但以往被忽视了的是，相同的函数值也可以就是△x/△x。或5/5、7/7之类的具体数值。它们当然都等于1，这没有问题。但话说回来，1不是也等于它们吗？既然它们与1相同，为什么函数值不能是它们而非得写1？）。但在△x=0点，二者函数值当然不同。一个为无意义的0/0，一个仍旧为1。如果“缩小定义域”，使其不再包括△x=0点，也就是定义域为△x≠0时，这两个函数因为定义域与原先的函数不同了，于是此时可以认为是一个新的函数。对这两个新的函数而言，在其新定义域内，函数值是相等的，因此可以认为是同一个函数，函数值都是1。但在新函数的定义域外，也就是在△x=0点，对原先老的函数而言，二者的函数值一个为0/0，一个为1（或任何5/5之类的数），当然不同。而它们的不可达极限值，合理的解释，应该与其原先的函数值和可达极限值一致，一个为0/0，一个为1（或任何5/5之类的数）。如果非要说不一致，两个新函数的在新定义域外的△x=0点的不可达极限值一样，都是1（其实0/0在同样理由下，岂能被排除？）那是不是必须给出一个解释或证明，来证明在△x≠0（定义域不包括△x=0点）的前提下，这个△x/△x的不可达极限值必须是通过先约分消去其分母上的那个△x后，得到的函数1，再由这个1的趋0极限为1而得到所谓其不可达极限值1。而一定就不是在同样的前提△x≠0下，同样满足这个条件的不对△x/△x进行约分消分母操作，而得到的趋0不可达极限0/0？甚至，既然有前提条件△x≠0了，原本的那个函数1，我们不是也可以乘上一个△x/△x，就变成△x/△x（反正分母△x此时也不会等于0），如此，一个原本在△x=0点其函数值与可达极限值都是1，在缩小了定义域后，其不可达极限值在△x=0点也还是1的函数1，岂不是通过由于缩小了定义域（不包括△x=0点），而由乘法乘以一个△x/△x，得到新的函数△x/△x，再由它求其趋0极限值为0/0，与其原先的函数在该点的函数值一致，就说函数1在△x=0点的不可达极限值不再是1了，而是0/0了？当然没有这个道理，也没有人会承认。但在相同的理由下，相反的结论（指两个函数的不可达极限值在△x=0点都是1），我们凭什么还坚持？

4、等式下的推导方向问题辨析

笔者在与一些人的讨论中，有人说，先用约分消去分母上的自变量的步骤的推导方向，是唯一的，也就是不能反方向推导。因为唯此才可以求出那个有意义的不可达极限值，比如前两例中的2x及1，而不是无意义的0/0。理由仅仅是我们所欲求的是有意义的，而不是无意义的。对此论的反驳，我们有，第一，搞数学难道可以仅仅以“所欲求出”来代替实际求出？第二，如果极限法微积分求导先约分消分母的推理方向是唯一的，那么，牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分中同样的先约分消分母的推理方向，不是也是唯一的了吗？既然第二代微积分可以就此“规定”消除贝克莱悖论，那么，牛顿、莱布尼兹的第一代微积分，不是同样可以就此“规定”早就消除了贝克莱悖论了吗？如果真是如此，还要柯西等的第二代微积分也就是极限法求导的微积分何用？人家明确指出来了，由于等价式（用等号连接的各项）可以互推，如果两个方向推导得到的结果不同，则仅能从一个方向推导得到的结论不能成立。结果反驳的理解居然是由于此方向的推导可以得到有意义的结果，所以成立。这不是逻辑上的因果倒置吗？

  由此也可以看出，为了维护一个既定理论（也许还有隐性的“面子”问题），一些人是不讲理、不讲逻辑的（水准低者除外）。任何一本教科书中，无论牛顿、莱布尼兹法求导还是极限法求导，其公式中的各项都是用等号相连的。既是等号，就是各项等价，互为充分必要条件。也就是可以左右互推。说只能从左往右推或只能从右往左推，都是不对的。但只要是一旦互推了，矛盾立现。此点，笔者其它文章中已经详细讨论了，此处不重复。

5、破除任何迷信的必要性

      综上，极限法微积分求导，里面涉及的必要步骤，即通过约分消去分母上的自变量，过去从未见人讨论与重视，似乎这是顺理成章、无任何逻辑问题的一步。其中的必要条件，充分条件，充要条件等等名堂（另文已经详述，此处不赘述），居然长期被忽视。这个事实，实在是令人难以置信。笔者不能不震惊于此。令笔者更加震惊的是，就是在笔者的系列文章中彻底地分析了这个问题之后，仍旧继续被数学界、逻辑学界所漠视。这不能不暴露出所谓数学是逻辑最为严密的学科，数学家是逻辑最为严密的一群人的说法，是言过其实了。看来，破除迷信（无论对谁、对什么），此其时也。当然，就是笔者本人，也不是从一开始就彻底明确这个问题的。最早，笔者只不过是认为微积分求导中的趋0不可达极限还是有的，可用这个不可达极限去代替原有的那个已经是0/0的无意义的函数值不合适。只是后来，笔者经过深入思考，才认定这个所谓的趋0不可达极限，其实根本还就不存在。念此，笔者稍感释然。

6、笔者提出的基于新导数（瞬时速度）定义求导方案与极限法微积分求导的关系澄清

笔者前期给出的导数、瞬时速度的新定义及基于这个定义的求导方法，并不依赖于极限法求导的成立与否。退一步说，即使极限法微积分求导是对的、正确的，也不就证明笔者方法是错的。没有这个逻辑关系。但如果极限法求导一旦是矛盾的、错的，则笔者的方案就是唯一正确的了。具体讨论此处从略，可参见笔者前期系列文章。

以下引述一些“大人物”对极限法微积分的评论。可见，吾道不孤。

   罗素说：那些教师无法自圆其说，就千方百计试图说明我们相信那些分母的诡辩（大意）。

   马克思说：数学家试图让我们相信什么可以无限接近，又始终到达不了的昏话（大意）。

   罗宾逊说：数学家对无穷小法非常苛刻，而对同样问题多多的极限法却宽容无比（大意）。

   哥德尔和吴文俊都说过，将来的分析，应该是非标准分析。他们没有明说，但其实对现在的所谓标准分析应该是有看法的。

注：哥德尔的说法是有据可考的。吴文俊的说法，为转述，出处尚未查到，待考。

                     参考文献

[1] 莫绍揆.试论微分的本质.南京大学学报(自然科学),1994年第03期

[2] 沈卫国.论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性.前沿科学，2017年03期.

[3] 方源,王元.微积分（上）.高等教育出版社，2014年7月第一版.

[4] 沈卫国.论微积分求导公式的一种全新推导模式(解方程法)及贝克莱悖论的彻底消除.天津职业院校联合学报，2013年2期.

[5] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年05期.

[6] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述（续）——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年11期.

[7] 沈卫国.微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析.天津职业院校联合学报，2017年06期.

[8].沈卫国.辩证逻辑与智能.智能系统学报.2011年04期.

[9].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（上）.天津职业院校联合学报.2018年04期.

[10].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（下）.天津职业院校联合学报.2018年07期.

[11].沈卫国.数学基础若干问题的创新性思考.理论数学.2018年08期.

[12].[美]R.柯朗 H.罗宾.什么是数学——对思想和方法的基本研究（増订版）.复旦大学出版社.2005年5月第二版.

[13].徐利治.论无限——无限的数学与哲学.大连理工大学出版社.2008年12月第1版.

 [14].沈卫国.由1=0.99999..........与否引伸出的有理数、无理数的本质性定义问题以及无穷相关问题的讨论.国家科技图书文献中心预印本.2020年11月18日

[15].沈卫国.有关微积分的进一步讨论.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月3日

[16].沈卫国. 芝诺悖论、可达与不可达极限、无穷（无穷大、无穷小、实无穷、潜无穷、

1与0.9999........相等与否等相关问题与微积分.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月

  [18].沈卫国. 在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿） —————————高等数学初等化的必由之路及有效途径.国家科技图书文献中心预    印本.2021年1月

[19].沈卫国. 极限法微积分求导过程中的贝克莱悖论问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月

[20]. 沈卫国. 再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题

                      ————兼论紧扣导数、瞬时速度新定义的新的直接求导方法.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月

 [21].沈卫国.新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾最简直接求导法相关问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月

笔者近些年所写文章的检索方式

1、进入“国家科技图书文献中心”官网→点击“特色服务”→点击“预印本”→在“文章检索”“条件一”下输入“沈卫国”→点选“全部学科”→点击“检索”。

即可看到笔者今年所有文章。这些文章有些后来发表了，有些没有没有正式发表。都可以免费下载的。

或

2、进入“汉斯出版社中文学术期刊官网”→在搜索栏中输入“沈卫国”。笔者发表于其“理论数学”网刊和“预印本”的文章（不多，不全）亦可以看到和免费下载

或

3、进入“知乎官网”→搜“何许”（笔者知乎、微信名），亦可见到笔者一些文章、博文。但注意，这里的文章中的一些图、表、公式没有显示。但可能有些与“知友”的讨论

或

4、进入“科学网博客”→搜“文清慧”博客。其中有些笔者文章及讨论

或

5、进入“科学网”→搜“沈卫国”亦可。

返转到

   zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

• Zmn-0453 沈卫国： 微积分极限法求导中的逻辑问题辨析以及一个形象的比喻   2021-2-22 09:12

• Zmn-0452 数   森： 简评林益「如何证明纯十进制小数不可列？」《Zmn-0448》   2021-2-21 08:54

• Zmn-0451 林   益:   关于《范秀山博士文章的错误在哪里？》的评论   2021-2-19 15:56

• Zmn-0450 薛问天:   评范秀山博士的一篇错误文章:《事实证明 0.999… 不能等于 1 》   2021-2-18 21:34

• Zmn-0449 薛问天:   范秀山博士文章的错误在哪里？   2021-2-15 14:06

• Zmn-0448 林   益： 如何证明纯十进制小数不可列？   2021-2-13 09:01

• Zmn-0447 杨六省： 数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。   2021-2-12 11:31

• Zmn-0446 沈卫国： 新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾最简直接求导法相关问题   2021-2-12 08:3

• Zmn-0445 欧阳耿： 康托实数不可数证明中的四种错误   2021-2-11 15:23

• Zmn-0444 新   华： 回复薛问天老师的回答   2021-2-11 09:57

• Zmn-0443 林   益： 回复《谈自然数的扩展--无穷位编码数》   2021-2-10 15:58

• Zmn-0442 数   森： 评李鸿仪《对角线证明可以休矣！Zmn-0403》   2021-2-10 08:33

• Zmn-0441 李振华： 区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法   2021-2-9 17:20

• Zmn-0440 师教民： 评薛问天先生的文章0428   2021-2-9 08:55

• Zmn-0439 李振华： 广义集合论全面总结和细节   2021-2-8 17:00

• Zmn-0438 薛问天： 在反证法假定下推出的矛盾说明什么？评杨六省先生的《0429》   2021-2-8 09:11

• Zmn-0437 薛问天： 试答新华先生的问题。答《0427》   2021-2-7 09:30

• Zmn-0436 薛问天： 这是一条可以严格证明的定理。评李鸿仪先生的《0424》   2021-2-6 08:26

• Zmn-0435 黄汝广： 答薛问天Zmn0431。   2021-2-5 08:58

• Zmn-0434 李振华： 从广义集合论看无穷级数广义和，0/0,无限/无限   2021-2-4 09:01

• Zmn-0433 薛问天： 「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」后剩余下什么？评黄汝广先生的《0338》   2021-2-3 09:16

• Zmn-0432 沈卫国： 再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题。   2021-2-2 09:19

• Zmn-0431 薛问天： 这个性质不能保证对无穷次操作也成立。评黄汝广先生的《0423》   2021-2-1 11:23

• Zmn-0430 薛问天： 所谓【新导数定义】并未摆脱贝克萊悖论．评沈卫国先生《0422》   2021-1-31 14:01

• Zmn-0429 杨六省： 又一新的证据再次表明毕达哥拉斯学派关于√2 不是有理数的证明是无效的   2021-1-30 18:58

• Zmn-0428 薛问天： 从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。评师教民先生《0419》   2021-1-29 20:12

• Zmn-0427 新   华： 请教薛问天老师一个小小的问题   2021-1-27 08:29

• Zmn-0426 林   益： 与范秀山老师磋商   2021-1-26 09:09

• Zmn-0425 薛问天： 关于理解微分概念的问题14项，答新华先生的《0417》   2021-1-25 09:07

• Zmn-0424 李鸿仪： 数学思维要绝对严格，决不允许引入公理外任何未加证明的命题 。评薛问天的《zmn416》   2021-1-24 21:25

• Zmn-0423 黄汝广： 答薛问天先生Zmn-0420编码数。   2021-1-24 08:37

• Zmn-0422 沈卫国： 在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿）   2021-1-23 16:49

• Zmn-0421 薛问天： 再评范秀山博士的《“极限理论”十大罪状》。 2021-1-18 22:12

• Zmn-0420 薛问天： 谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407，0411》   2021-1-17 08:53

• Zmn-0419 师教民： 评薛问天先生的文章0408   2021-1-16 16:28

• Zmn-0418 沈卫国： 极限法微积分求导过程中的贝克莱悖论问题   2021-1-16 10:01

• Zmn-0417 新   华： 回复《根据什么来理解微分概念？》   2021-1-15 08:16

• Zmn-0416 薛问天： 要正确理解康托尔定理证明中的逻辑推理。评李鸿仪先生的《0410》   2021-1-14 08:55

• Zmn-0415 沈卫国： 康托对角线法及实数不可数问题拾遗   2021-1-13 18:33

• Zmn-0414 黄汝广：√2是无理数的反证法有效么？   2021-1-12 21:29

• Zmn-0413 薛问天： 根据什么來理解微分概念？评新华先生对微分的理解   2021-1-11 21:08

• [转载]Zmn-0412 沈卫国：「推荐」朱起定：对微积分中几个问题的认识   2021-1-11 08:56

• Zmn-0411 林   益： 答黄汝广老师的无穷位问题   2021-1-10 09:07

• Zmn-0410 李鸿仪： 评薛问天先生的《zmn_0406》   2021-1-9 07:38

• Zmn-0409 新    华:   我对微分的理解   2021-1-8 08:33

• Zmn-0408 薛问天： 解析式型的函数定义不能以函数作为定义域。   2021-1-7 08:35

• Zmn-0407 黄汝广： 存在无穷位的自然数吗？   2021-1-4 16:23

• Zmn-0406 薛问天： 评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。   2021-1-3 10:21

• Zmn-0405 林   益： 康托尔对角线证法的对角线清清楚楚   2021-1-2 09:47

• Zmn-0404 师教民： 评薛问天先生的文章0395   2021-1-1 09:00

• Zmn-0403 李鸿仪： 对角线证明可以休矣！   2020-12-31 08:52

• Zmn-0402 薛问天： 查清楚，想清楚，就不糊涂了。评林益先生《0400》   2020-12-30 15:08

• Zmn-0401 薛问天：量词和论域的重要作用。评杨六省先生的《0392》 2020-12-29 10:32

• 科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录：   2020-12-29 10:54