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Zmn-0446 沈卫国：新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾最简直接求导法相关问题
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Zmn-0446 沈卫国：新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾最简直接求导法相关问题
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾
最简直接求导法相关问题
沈卫国
摘要：对于笔者提出的新导数定义，新瞬时速度定义，以及在新定义下的直接求导法，进行了简要表述。在此基础上，对传统微积分中的自变量微分的定义问题，极限法用于求导产生的诸多问题，牛顿法求导为什么可以看似不合理但却可以求出正确的导数，相对不可达极限，绝对不可达极限等问题进行了简要的讨论。主要目的，是为前期系列论文中比较繁复的表述提供一个尽可能简单的表述，以利于读者阅读和研讨。
关键词：瞬时速度定义；导数定义；直接求导法；自变量；微分；相对不可达极限；绝对不可达极限；第一代微积分；第二代微积分；极限法；增量函数；增量比值函数
笔者已有专文谈这些问题。鉴于现在的读者不喜看长篇大论，这里提供一个简版。
1、新的瞬时速度定义：一个受到外力作用作变速运动的物体，如果在某瞬时（时刻、时点）所受之力突然被取消后其作匀速直线运动下的速度，就被定义成该受力变速运动物体在该瞬时（时刻、时点）的瞬时速度。注意此定义中的“如果”，显然不是真的去取消这个力，而仅仅是“如果取消”、“一旦取消”会如何的意思。在这个所谓的“二次定义”下，即把瞬时速度定义在了受力变速运动的任何“瞬时”（0时段，时刻，时点），同时又兼顾了速度本原定义的非0时段的本质和要求。使得定义中不会再出现根本性的矛盾了。而且，这也是唯一不会出现矛盾的瞬时速度的定义。
2、新的导数定义：曲线的切线斜率。这个定义看似与传统定义无区别。但传统定义是自变量趋于0时的不可达极限。而这个定义，斜率的比值，就是宏观量，分母绝对不再为0，也不会“趋于0”。由传统定所求出的导数，只是在数值意义上与新定义求出的导数相同，其真实意义和解释是完全不同的。
3、新求导方法：导数既然被定义成宏观意义的切线斜率，那就按这个定义直接求导。明确说，线性（直线）方程或线性增量方程的系数就是其斜率，于是求导就是求切线的斜率，求切线的斜率就是求切线的系数。因此，求导，就是直接求切线的增量方程的系数。很简单，很明确。这个过程里没有分母什么事，自然也就没有分母上的自变量什么事。贝克莱悖论一类的矛盾、争议还会有吗？这里仍旧以最简单的二次函数为例说明。二次函数的割线的增量方程为△y=k△x=(2x+△x)△x。我们直接求作为线性方程的切线增量方程的系数k，这个k也是曲线与割线两个交点的横坐标距离（作为自变量）△x的函数，而不是常数。一般可以写成k（△x）。当△x=0时，两个交点合二为一，割线变切线。此时切线的增量方程的系数k（0），就是切线斜率，就是我们要求的导数。此处，不再有任何“分母上的自变量△x”，因此根本不会再有贝克莱悖论之类的矛盾与争议。比如，在二次函数情况下，这个k（△x）就是(2x+△x)，当△x=0时，自然得到我们通常所熟悉的2x。
对于曲线和其割线的两个交点的距离（交点的增量）而言，曲线的增量，就是割线的增量。这是把曲线上交点的增量方程，化为其割线的交点方程的基础。而割线作为直线，其系数或斜率是固有的性质或特征，直线上的任何两个距离非0的点都可以求出其斜率。而斜率一旦决定了、存在了，再取这个直线上的任何两个点或一个点，都不影响这个斜率的存在。即这个斜率不会由再取的任何唯一的点来求得。它早就存在了。
新方法求导的步骤就是，给定一个曲线方程，从里面提出一个自变量因子△x（这一步由于曲线是二次以上的，因此总可以做到，这是此步的保障。几何上，就是曲线总会有其割线，交点的增量为曲线与割线共有。否则还能叫“交点”吗？），写成k△x的形式，除这个因子△x外的另一个部分k就是另一个因子，这个因子k就是或看成该直线的增量方程的系数，而直线方程的系数，就是其斜率。就是所欲求的新定义下的导数。
人们老是说“曲化直”，似乎曲线在极小段或极限时就化成了直线似的。如此说来，为什么不能说“直化曲”？既然在终极意义上曲线与直线是一回事了，为什么同样理由，在终极意义上一个直线不能化为曲线？如果理由仅仅是两点间直线距离最短，那不是还是不承认曲线与直线可以合二为一吗？这里的“最短”，难道不是相对曲线而言？不是与曲线的对比？这是逻辑循环。因此，传统的曲化直，不行。唯有在笔者提出的这个新导数定义意义下，才是真正意义的、不会产生矛盾的曲化直。这里的曲化直，不是指把曲线变成了直线，而是在曲线上的一个点，引出一条切线，而切线当然是直的。这个意义的“曲化直”，才是真正的曲化直。是指从单纯的在曲线上讨论问题，“化为”或改到在切线这个直线上去讨论问题。这个“化为”，可以理解成“移到”、“转移到”，而不是把曲线看成为直线之类的。总之，曲线就是曲线，再小，哪怕无穷小，也是曲线，也是无穷小的曲线。不可能是直线。
特别注意，我们求的是△y=k△x中的k，与这里的（k外面的）△x毫无关系。这里的△x等于0或等于任何非0的△x1，都与k值无关。比如，在△x=0时，上式有0=k（0）·0，但k（0）一般并不为0，我们求的就是这个k（0）。又如，在任何非0的△x1时，有同样非0的△y1=k（△x）△x1，这里的△x1、△y1，单纯就是割线或切线上的任意两个点的非0间距（增量），可以完全与其与曲线的交点无关！这是一定要申明的。至于系数k（△x）中的那个△x，才是两个交点的横坐标差，才会依赖于交点。当其等于0时，有k（0），两个交点合二为一，割线变切线，k（0）即切线增量方程的系数也就是切线的斜率。按新定义，它就是我们所欲求的导数。作为直线的增量方程，△y1=k（△x）△x1当然是一次的（一次方程与线性方程、直线方程是同义词），因此此式中的△x与△x1不可能是同一个变量，它们的数值可以相同，也可以不同。但△x1的定义域是全部直线段，可以从负无穷（-∞）到正无穷（+∞）中的任何有限值，它完全可以脱离曲线单独存在，它只属于割线、切线上的任何点。当然它可以等于其与曲线的两个交点差，但在两个交点合二为一即△x=0时，△x1是否等于0，与k值无关。因为任何曲线，都没有单独的、仅仅属于曲线的斜率k，只有曲线的割线、切线这些“直线”，也就是一次方程，才有、也必须有斜率。就是其系数k。
那么，这个割线或切线的斜率是怎么来的？按定义，当然是直线上任何距离不为0的两个点的纵横坐标差的比值，也就是增量比值。注意，增量△x≠0。因为作为一个比值的斜率，横坐标差（增量）在分母上。因此作为可以等于0的割、切线与曲线的交点差的△x（两个交点的增量），自然不能参与斜率的定义。它只是决定这条直线的斜率的数值，也就是角度、方向。明白说，这个△x不能作为斜率比值的分母。不能用其定义斜率。仅可以用其计算斜率的数值。于是，在△y1=k（△x）△x1式中，如果△x1≠0时，我们可以用其定义斜率k（0）=△y1/△x1。否则也不行。但△x是绝对不行。因为在切线时，它是必须等于0的，而作为切线上的任意两点间距（增量）的△x1可以等于0，也可以不等于0。我们就用不等于0的它来定义该切线的斜率好了。实际上，这也就是所谓的新导数定义。
这里给出的所谓“新导数定义下的新求导法”，与传统求导法究竟有什么不同？传统求导法，无论牛顿等还是柯西等，由于其导数定义和对瞬时速度的理解，虽然认为导数在数值上与其切线的斜率相等，但这个斜率必须直接定义在曲线上，它实际不是单纯的、宏观意义的、通常的切线斜率这么简单（否则也不必非要像他们那样求了）。他是直接在曲线的增量比值函数来求曲线本身的性质的。这相当于在物理上，所求的那个瞬时速度，是变速运动所固有的，也即是在外力始终存在（不取消）和物体始终在变速的情况下，可以在现实中得到这个瞬时速度。这就造成了一个后果：导数（斜率）的精确值，要求只涉曲线上的一个点。但斜率本身按定义，又不能不涉及曲线上的两个点。正是这个矛盾，造成了著名的贝克莱悖论。曲线上两个点间的无穷小距离，都解决不了这个问题，因为如果要得到精确值，这个无穷小必须等于0。但其一旦等于0，定义在曲线上的那个增量比值的分母，自然为0，得到0/0，不行。而分母一旦不为0，则与其同是一个自变量的那个无穷小就不等于0，在数学的严格性要求下，就不应该舍弃。也矛盾。至于极限法求导，也只是表面上把这个矛盾推到虚无缥缈的那个不可达极限上，不仅造成理解上的困难，其实矛盾仍旧没有解决（见下面第5节）。在笔者提出的导数及瞬时速度的定义下，等于彻底把切线斜率从曲线上“解放”了出来，我们所欲求的，就是那个曲线的切线的宏观意义的、通常意义的斜率。这不就好办了吗？这不简直就是一道初中数学习题了？一般地，习题中经常有：给定一条曲线和一条直线（既然给定了，斜率就固定了，方程的系数就是给定的了，所以一般可以用大写的K表示）的两个交点（割线情况）或一个交点（切线情况）。这不过就是一道代数或解析几何题吧？现在我们不过是让这个直线的斜率不固定，它是一个随交点不同而变化的变量（通常用小写的k表示）。在两个交点重合时，曲线的割线变成了曲线的切线，此时的这个直线方程的系数或斜率，就是切线的斜率。注意，这里就是实实在在的“切线本身的斜率”，除了这个切线通过交点与曲线发生关系外，这个斜率与曲线无关，它唯一地决定于、定义于切线这条直线上的任意两个距离非0的点（可以根本与切点无关）的纵横坐标差（增量）之比。为好理解，如果对应于物理上的瞬时速度，就是笔者给出的定义：瞬时速度，必须是（当然是假想的）作用于物体的外力突然在某瞬时消失后物体所作的匀速直线运动的速度。当然必须说明，并不是外力真实消除，才会有这个瞬时速度。而是“如果”在某瞬时外力消除了，此时及以后的物体所作的匀速直线运动速度，把它就定义成始终存在外力的、也就是始终在变速的或始终在做曲线运动的变速（有加速度的）运动在某瞬时的瞬时速度。这是速度的一个二次定义。甚至对不受外力的匀速直线运动的瞬时速度都应该这样定义，只不过此时瞬时速度与速度或平均速度的数值都一样罢了。
在笔者对导数和瞬时速度的新定义下，自然再也用不着在曲线的增量比值函数下去求导了，只在割线的增量函数下去求导就可以了，不用曲线的、甚至割线的增量比值去求，只是求割线变切线时作为直线的系数就可以了。因为这个系数就是这条直线（此时刚好是切线）的斜率。这个是常识吧？就算有人还非说它就是个比值，那也是分母为1的比值，也即是分子与分母1之比。
总之，传统求导法之所以产生问题，是由于把导数单纯地定义在了必须绝对依赖曲线上两个点间的纵横坐标差之比在二点合一时的情况。完全依赖于曲线上的点，最终就会有0/0等问题。而现在笔者提出，把这两个点移到割线和最终的切线上，彻底地脱离曲线，曲线上的两个交点合二为一时，切线上的“另外”两个点不合一，就此可以大大方方地求出新定义下的导数，也就是一般意义的、宏观的（也就是分母不为0或无穷小或极限之类的）切线斜率或切线的系数。区别仅仅就是这些。
求导问题，变的极其简单，也更好理解，高等数学可以彻底地初等化。而这正是笔者和许多人的目的，也是广大初学者所企盼的，甚至在更深入的理论开发上，笔者相信，任何新观点的提出和对老观点的修正，总会派上用场的。总会使一些卡脖子的路段变得顺畅的。笔者深信不疑。因此，这绝不仅仅是一个有利教学小小改动，尽管仅此也是有很大意义的。
4、自变量的微分dx=△x的问题
传统微积分的这种定义，说明在传统微积分理论中微分定义对因变量与自变量未能统一。有人说这就是个定义，不统一就不统一。但任何一个让人尊敬的严肃的概念，应该允许没有一个统一的表述吗？
实际上，这个问题的产生还是由导数的定义问题引起的，导数问题不解决，此问题根本无法单独解决。现在的解决办法很简单：传统微分是曲线与其割线的两个交点a、b，由其中的一个点a为切点引切线，切线上与另一个割线交点b横坐标差相同的点c的纵坐标。其与b的纵坐标当然不相等，有误差。就是与其“共享”同一个自变量增量的曲线的因变量的增量有误差。现在改这个定义为两个交点的中值点（注意，不是正中意义的，而是中值定理意义的）的切线，增量的起、终点分别在中值点的两边。由传统的中值定理我们就可以知道，这样定义的曲线函数的自变量的增量，必有与之对应的曲线函数因变量的增量。于是，因变量的微分与自变量的微分就完全统一了，而且都是曲线的精确值而不再是近似值。
如果有一个中值定理相关的图，很容易明白。这里省略。读者可去查相关的图。
5、极限法微积分赖以成立的不可达极限产生的问题
其一，就算有这么个不可达极限，也不应该用其代替原先本没有（因为等于0/0)的函数值。不可达极限值与函数值是两回事；
其二，曲线的增量比值趋0极限函数，是点点都为0/0的，这不是孤立的一个特殊点的问题。一个函数值点点都是0/0的所谓函数，等于一个没有函数值，也就是没有有意义的函数值的函数。请问，这还是个函数吗？实际上等于没有这个函数或这个函数根本就不存在。如此，怎么它会点点都具有其不可达极限值的（二次函数时就是著名的那个2x）？更何况还用这个不可达极限值（2x）,去代替原先的不存在的函数值或那个不合理的函数值0/0？新的不可达极限函数存在，用其代替不存在的老函数，而新的不可达极限函数又是由老函数求出来的。如此混乱的逻辑关系，居然大行其道经年；
其三，传统上无论牛顿、莱布尼兹的第一代微积分还是柯西等的极限法求导的第二代微积分，都是要由曲线的增量比值函数先约分消去分母上的自变量△x再求其趋于0的不可达极限的。其前提条件当然是在0点函数无定义。即△x≠0。但虽△x≠0，可不是必须就要消去分母上的△x。没有这样的数学规定、规则、要求。而如果一旦不去消分母，自然求不出那个二次函数下的2x，只能求出与其函数值一样的0/0。所以，传统上求的那个有意义的曲线增量比值函数的趋0不可达极限2x，理由、依据都是不充分的。不是一个充要条件。与其说求出了不可达极限2x，还不如说是求出了不合理的不可达极限值0/0。这个结果倒是与其函数值一致，且更合理。因为它本来求的就是分母有自变量△x（未被消去的）的函数的极限。
其四、如果仅仅因为函数在△x=0点无定义，也就是有△x≠0的要求，我们就可以通过约分消去有分母的增量比值函数分母上的自变量△x而得到有意义的不可达极限值2x，那么同理，我们当然也可以因为有了△x≠0的前提，是不是也可以在原本根本就没有分母的增量函数（函数值和极限值都是2x的）乘上一个△x/△x，等于加一个分母△x，再求其极限得到0/0。如此，原本无论函数值还是极限值都是2x的一个无分母函数，居然求出了极限0/0，这当然是错的。但其原则与传统求导中的求趋0极限是一样的。只不过是推导方向不同而已。这只能说明，传统求导法的约分消分母再求极限的方法因为原则相同，自然也是错的。不可能在相同的原则下，一个对，一个错。正推对，反推错。任何一本微积分教科书中，求导极限公式，各项都是由等号相连的。既然是等号，就是等价。等价，就是可以正反互推。如果只正不能反，就请不要用等号相连。
其五、传统的所谓极限表述ε-δ法，等于是说距离某给定点的距离，小了还可以更小。但这就也等于说这个距离可以“永远小下去”，也就是永远不可能到达该给定点。也就是不可达极限。但显然有一个问题，那个事先给定的作为不可达极限点的点，是怎么得来的？怎么求出来的？当然不可能根据这个在定义中要先有这个给定点的ε-δ法来求得。也就是说，极限过程或描述所依赖的事先给定的极限点，不可能从这个过程或描述所依赖的极限点来中得到。否则又是一个逻辑循环。以上还仅仅指的是正常的不可达极限，也就是第7节中将要提到的“相对不可达极限”情况。总之，不可达极限实际求不出来的。那就先求其可达极限值，其实就是函数值，再令定义域不包括该函数点或可达极限点，于是这个极限点就成了不可达极限点。先有可达极限，再定义其为不可达极限，就是“相对不可达极限”。于是，真正可以求出的，是函数值或可达极限值，而不可达极限值，是求不出来的，只能事先给定，或先求出函数值（可达极限值），再规定此点不包括在函数的定义域中，使得该点人为“变成”不可达极限。注意，这个做法还不包括传统微积分极限法求导的求极限的情况。因为在极限法微积分求导中，只能是先通过消去分母上的自变量，把一个原本是绝对不可达的极限，先变成相对不可达极限（参见第7节）。这已经是另一个函数了。然后求出这个函数的函数值（以可达极限的形式作为掩护），再认为这个函数值或可达极限值就是原先的那个函数的不可达极限值。这里逻辑上是偷换概念。比如，还是以二次函数为例：原本欲求△y/△x=(2x+△x)△x/△x在△x=0点的不可达极限的，但先通过约分消去分母上的△x，变成本质上已经是完全的另一个新函数的(2x+△x)，现在号称不求函数值了，令此式中的△x→0，得到2x，就认为是原先的△y/△x=(2x+△x)△x/△x在△x=0点的不可达极限了。实际上，上面求出的极限，其实是可达极限，它就是2x+△x在△x=0点的函数值，不过这里人为又从定义域中去掉该点，强行使其变为不可达极限，于是就认为既然它是不可达极限了，那就是原先分母上有自变量的函数(2x+△x)△x/△x的不可达极限。但实际上，原先的分母上有自变量的函数的不可达极限，是绝对不可达极限而不是前面求出的相对不可达极限（具体还可参见第7节），因此这种求法是错的。
6、牛顿、莱布尼兹是如何以看似不合理的做法得到正确结论的
其实无论牛顿、莱布尼兹还是柯西等的极限法微积分求导，一个必不可少的步骤，都是要通过约分消去分母上的自变量△x才行。但这一步为以往所忽视的是：它等于令曲线的增量比值函数中的△x/△x=1/1=1。这是由约分的定义“分子分母同除以一个因子”所决定的：分母上有因子△x，再除以这个因子△x，当然等于1。因此，谁说分母不等于1？谁把分母搞没有了？至于一般情况下可以去掉这个分母上的1，是在数值上有没有1都无所谓。但逻辑关系必须清楚：是实实在在地先有这个分母上的1，然后再说消不消、可不可消的问题。但在求导问题上，本质上就不能消。因为原先的公式是增量比值函数，就是一个比式，就是有分母的。为了前后逻辑上的一致性，不应该消。就这么简单。也就是这个最终的“1”，必须保留。不能先消去这个分母上的“1”，再求极限。这是实际上求的另一个无分母的函数的极限值。在物理上，速度的量纲（为一个分式、比式）与距离的量纲（不是分式、比式）就反映了这个问题。作为速度，即使消去了分母，其量纲也还是分式、比式。因此分式、比式是速度概念的本质。消去分母，也只能意味着分母为“1”罢了。你可以不去写这个“1”，但其量纲可不能省去分母上的“时段”吧？这个时段，数值是1。于是，比如在二次函数情况下，增量比值函数为△y/△x=(2x+△x)△x/△x。式中有三个△x。通过约分或做除法消去分母上的△x，实际等于求出， (2x+△x)1/1，式中还剩一个△x，另两个呢？怎么没了？说是“消去了”。三个△x，不是应该一样吗？为什么不三个一块消去？可见这三个△x，只要一约分或做除法消去两个，就等于承认（是否认识到是另一回事）这三个△x是不一样的。△x/△x中的△x等于1了，或起码等于非0的任何值（其实只要是“消去”，最后都还是要等于1，只有1才可以在任何式子中被“消去”，有它没它都不影响式子的数值），只是绝对不能等于0，因为分母上有它。但分子上还剩下的那个2x+△x中的△x却是可以等于0的。既然这三个△x在约分消去分母这一步后，等于被承认不一样了，那我们就可以或应该把此时的式子写成(2x+△x)△x1/△x1，以示区别。△x1/△x1在约分后实际是1/1=1，但显然，△x1可以等于非0的任何值，只要不是0就行。于是，这个变量的极限，是趋于1而不是趋于0！而k中的那个△x，当然是可以趋于或甚至等于0的。因为前面说了，它与△x1不是一个变量。而约分这一操作后等于在客观上承认了这一点，尽管主观上没有认识到这点也罢。如此，这个函数完全满足线性方程的要求，也就是其中自变量的一次性要求。其中的(2x+△x)就是这个线性方程的增量比值函数的系数k（△x），也就是斜率。它是曲线与割线的两个交点的横坐标的距离（增量）△x的函数，在△x=0时的k，就是切线的斜率，也就是新导数定义下的导数。因此，牛顿他们当年所求出的，实质上就是这个东西，只是不但他们，就是这么多年，也居然也没有人能认识到这点。这不能不是一个难以置信的事实！
对应柯西等的极限法微积分求导，实际也是一样的。因为他们也需要约分消分母这一步。因此，他们事实上客观求出的，就不是所谓的不可达极限，而就是可达极限，但可达极限就是函数值。因此他们实际做到的（不是他们声称做的的），实际与牛顿、莱布尼兹实际做到的完全一样。其逻辑脉络是：先求没有分母的函数1在0点的函数值，它与可达极限值一样。此时人为从定义域中拿掉0点，说这个极限值是在0点无定义的函数2的不可达极限。而原先有分母的函数3在0点就是只能有不可达极限，既然都是不可达极限，于是两个一样，于是就认为由求出的无分母的函数1在0点的函数值就等于求出了分母有自变量的原先的函数3的不可达极限。这里面的逻辑问题，此处就不必费心再讨论了吧。
以上诠释，当然需要导数的新定义，这个所谓的“新定义”，实际就是传统微积分所实际求出但没有认识到的。传统微积分必须要用曲线的增量比值函数来求导数，是因为其导数定义所要求的，不得不如此，如此还不行。实际在新导数（瞬时速度）的定义下，我们直接由定义用增量函数来求导，更简单明确，且无歧义性。因为公式中没有分母了，根本就不用再“消去”什么分母，也没有了有分母及消去分母所造成的任何问题，比如贝克莱悖论。这在前面已经讨论了，笔者前期更详尽的论文中也讨论了。
7、相对不可达极限与绝对不可达极限
一个函数，明明可以在某点有函数值，但却人为规定定义域不包括这一点，也就是在此点没有函数值。此时该点的极限，为相对不可达极限。比如 2x+△x，在 △x=0点是可以有函数值2x的，但却人为地规定定义域不包括△x=0点，此时的极限值2x就是相对不可达极限。而一个函数，如果在某点根本就不可能有函数值，此时的不可达极限就是绝对不可达极限。比如函数 △y/△x=(2x+△x)△x/△x，在△x=0点的函数值为0/0，无意义。其极限就是绝对不可达极限。如果两个函数完全一样，就应该在任何情况下或任何方面都一样。包括它们各自在某点的极限，哪怕是不可达极限。如果不可达极限不同，这两个函数就不同，也不能说它们在该点的极限值可以一样。因为相对不可达极限与绝对不可达极限本身就是本质不同的。不能说如果二者无区别，就有相对不可达极限值（如二次函数下的2x）就是绝对不可达极限值。因为如果二者真无区别，同样理由，不是也可以认为绝对不可达极限值（二次函数下为0/0）就是相对不可达极限吗？后者不对，前者能对吗？
传统微积分求导中的求不可达极限，没有区分或意识到这两种不可达极限的区别，因此出现问题是必然的。
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————兼论紧扣导数、瞬时速度新定义的新的直接求导方法.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录： 2020-12-29 10:54
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