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Zmn-0488 沈卫国：对极限法求导最为致命的两击
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Zmn-0488 沈卫国：对极限法求导最为致命的两击
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
对极限法求导最为致命的两击
沈卫国
摘要：简略地指出足以彻底否定极限法微积分求导的最为有力的论据。一个是在笔者给出的新的导数定义下，求导根本就不必涉及分母上有自变量趋0问题的增量比值函数，直接针对并没有分母的增量函数就可以了。这就彻底消除了任何产生矛盾的可能。其次，只有在自变量不趋于0时，才可以除以自变量使其处于分母上。当然不会再有约分消去这个分母上的自变量后，再令自变量趋于0且就当是分母上有自变量的增量比值函数的趋0极限。这个步骤是前后矛盾的。说好不趋于0才有的分母，结果消去分母后又说有分母也可以趋于0了。如此明显的矛盾，足可以彻底否定极限法求导的理论根基。
关键词：微积分；求导；增量函数；增量比值函数；极限法；趋0极限；分母；约分；除法；自变量
1、基于增量函数的求导方法
以往求导，都是基于增量比值函数的，其分母上不可避免地有个自变量，于是产生分母为不为0的问题，也就是贝克莱悖论。笔者在给出的新导数定义下，根本就可以不再用增量比值函数来求导，而只是用增量函数来求导，根本就不再涉及分母（增量函数没有分母！），只是求切线的增量方程的系数（线性方程的系数即其导数，由直线上的任何两个不同点的比值所决定，这个“两个不同的点”，保证了其分母不会再为0）同样求出了导数，这使得传统上基于增量比值函数（有分母上的自变量）求导的任何问题都不复存在。笔者曾经为了说明牛顿-莱布尼兹求导过程的实质，也就是究竟为什么牛顿等用看似错误的做法却求出了完全正确的导数的。因此，笔者自然要针对增量比值函数来讨论问题，以与他们的做法相一致（为了讨论、说明他们的方法，当然先要基于他们的方法、采用他们方法）。但如此一来，笔者在与一些人的讨论中发现，很多人都囿于二次函数的增量比值函数式中的三个自变量（其中一个在分母上）为什么不一起趋于0的问题，弄不清楚。也就是分不清约分、除法与求函数值的关系。现在好了，我根本就不用分母上有自变量的增量比值函数求导，只用增量函数（根本就无分母）求导，根本就没有分母，更谈不上分母上的自变量，这就彻底打消了那些犯糊涂的人可以赖以去犯那个糊涂的依据。彻底打消任何可能提出来的诘难。
现以二次曲线函数的增量函数为例（这个公式如何得到的从略，所有教科书中都有）：
△y=（2x+ △x）·△x ..................................................（1）
这个“增量函数”，既可以表示二次曲线上的二点间的增量，也可以表示过这个二次曲线上同样的两个点的割线在这两个交点间的增量。此时（1）式应该也可以看成是一个线性增量方程，而不再是曲线方程，于是，（1）式可以写成
△y=（2x+ △x）·△x=k（x，△x）·△x ..............（2）
其中的k（x，△x）是该割线（当然是直线）增量方程的系数，它也是x与△x的函数。我们都知道，一个直线方程的系数，就是其斜率。而按笔者提出的导数新定义，我们所欲求的导数就是不折不扣的这个割线变为切线时的斜率，也就是当△x=0时的k值，即k（x，0）=2x+ 0=2x。可以看出，无论（2）式中最右边的那个△x是不是0，我们求的是系数k（x，△x）=2x+ △x在△x=0时的k值2x，也就是斜率。而只要这个直线还存在，就有其斜率，这是直线的固有性质。与在这个直线上取几个点、什么点无关。牢记：求的就是k。无涉其它点。为了使问题更明确，更不易混淆，我们可以定义一般的割线增量方程，也就是该直线上的增量不依赖于其与二次曲线的交点的增量的一般意义的方程
△y1=（2x+ △x）·△x1=k（x，△x）·△x1 ...........（3）
（3）式中的 △y1、△x1，此时为割线上的任何两点间的增量，不依赖于其与二次曲线的两个交点的增量△x。明白说，当△x=0时，也就是两个交点重合为一点时，割线变切线，但△x1进而 △y1完全可以不为0。当然，反之亦然。二者是完全独立的。我们现在令△x1≠0，则由（3）式自然就可以有
△y1/△x1=k（x，△x）=2x+ △x ........................（4）
此比式即等于割线的斜率，也可以看成是割线斜率的定义。当割线与二次曲线的两个交点重合时，△x=0，就得到
△y1/△x1=k（x，△x）= k（x，0）= 2x+0=2x ..............（5）
就是切线的斜率，也就是我们所要求的新定义下的导数。注意，这里比式的分母△x1是不等于0的。这就是与传统导数的区别。区别不大，但意义重大。显然，这里（5）式表示的“增量比值函数”，已经不是曲线的增量比值函数，自然也就不是曲线与割线的两个交点的增量比值函数，更不是切线与曲线交点的增量比值函数。因为切线与曲线的交点只有一个，其增量△x=0，不可能再有以它为分母的比值 △y/△x（此时比值为不定式0/0）。
传统上求导数，用的是曲线上两个点的增量比值函数 △y/△x的。其经典的求导过程如下所示
△y/△x=（2x+ △x）·△x/△x=2x+ △x .....................（6）
当△x=0时，等式右边自然可以得到正确无误的导数值2x，但等式左边却成了无意义的不定式0/0，于是有0/0=2x，此即著名的贝克莱悖论。极限法微积分求导把△x=0替换成了△x→0，以为就完事大吉了。其实大错，理由见下节。因此，（6）式反映的求导过程是错的。而牛顿-莱布尼兹实际求的是如下过程（因为反映的只是其真实的求导过程，所以式中各项不是等价式，不能再用等号相连，而用“→”符号表示实际的推导过程），尽管他们没有意识到实际推导的是这个
△y/△x=（2x+ △x）·△x/△x → 用约分或除法消去前式中的△x/△x，得到
2x+ △x，这意味着分母上的△x没有了，消失了。而分子上的△x作为因子之一也消失了。也就是（2x+ △x）·△x此时少了一个因子△x。而无论是“少了一个因子”，还是“消失了一个因子”，其都不可能是0（显然，一为0整个式子就成了0/0），而只能是1，无论分子、分母上的自变量△x都是如此。因此，少了的这个△x，此时只能是实际变成1了，只不过这个1在作为因子或在乘法中不起作用，可以不要也即是可以被“消去”而已。于是， → （2x+ △x）·1/1 → （2x+ △x）=k → 当这个k中的割线与曲线的交点的增量△x=0时，割线变切线，k=2x。
既然（6）式中的分母在此推导下实际为1了，因此，就是割线或切线的增量函数（3）式中△x1=1的情况。实际求出的，就是（3）式中的那个斜率k。因为k·1，当然就是k。
注意，可以看出，在牛顿-莱布尼兹的上述实际推导中，（6）式中的三个△x是不一样的。如果一样，反映的只能是二次曲线的增量比值方程。而如果不一样，则反映的是二次曲线的割线的、线性的（非曲线的）增量比值方程。这是必须要一再强调的。即无论割线还是切线，都是直线，其方程都是线性方程，就都会有其斜率k。而我们求的就是这个k。无涉其它。
由上面牛顿-莱布尼兹尽管没有意识到、但实际做出来的推导过程我们可以看出，此时求出的已经是割线以及最终的切线的增量比值函数，而不再是（6）式所表示的二次曲线的增量比值函数了。二者只有在涉及交点情况下，也就是 △x=△x1时才是一致的。在一般情况下，处于二次曲线上的两个点的增量，与其割线或切线上任意两个点的增量，并不是一回事。
2、极限法求导不成立的有力论据的提出
曲线的增量比值函数的趋0极限不存在。笔者在前期系列文章从各个角度论证的基础上，给出了一个有力的多的论据。就是除了自变量不能等于0是可以除以自变量使其处于分母上的前提外，还有自变量不能趋于0、以0为极限值也同样是可除以自变量使其处于分母上的前提。因为自变量趋于0，其极限值就是0，甚至其不可达极限值（在0点没有函数值的，或函数值没有定义的）也只能是0。就是在0点即使没有函数值0，也可以有不可达极限值0。在这个前提下，不可能还有被除到分母上的自变量了，也就是自变量在这种情况下不可能再出现在分母上。如此，就彻底否定了分母上有自变量的增量比值函数存在趋0不可达极限的任何可能。就算是非说有极限，也是不定式0/0，与其函数值形式完全一致（函数值与极限值一致，这其实本来也是顺理成章、很好理解、天经地义的事。极限法非说不一样，造成极大的扭曲，非错不可）。因为用约分或除法消去分母上的自变量，这一极限法求导的必要步骤，前提之一也是自变量不能趋于0或以0为其极限值。因为显然，自变量处于分母上的前提就是它不能趋于0，现在怎么还能先消去它再求其趋0极限，然后又说这个极限就是分母上有自变量的增量比值函数的趋0极限？这当然是前后矛盾的。
其逻辑脉络实际上是：不能△x→0，才可以在分母上有△x，然后约分消去这个分母上的△x，再令△x→0，就说此时就又可以有△x→0的值了。其结论与前提直接冲突，所以是个矛盾。
仍旧以上面的二次曲线情况来具体说明。
（1）式，在△x=0时，得 △y=0=△x，或写为0=0，当然不能再除以一个已经或可能等于0的△x得到△y/△x=0/0。这是尽人皆知的。无需多言。但是，鲜为人知或久被忽视的是，在△x→0时，△x的极限甚至不可达极限值仍旧是0，因此对（1）式求△x→0时的极限仍旧会得到0=0，仍旧不能除以这个现在已经作为△x的趋0极限值的0。如果除了，还是会与其函数值一样地得到无意义的不定式0/0。换言之，极限值仍旧与其函数值一样，是0/0，而不是2x。
就上面这两条，可以说彻底“将死”了极限法微积分（所谓的“第二代微积分”、标准分析）。也预示着新微积分的诞生。同时实际上就彻底诠释清楚了牛顿-莱布尼兹微积分求导具体做法的合理性、正确性。它所需要的，仅仅是一个合理的解释。而笔者所谓的“新导数”、“新微积分”，其实就是这个解释。因此，某种意义上，说新也不新，说不新也新。如此而已。
抓住以上两点，一通百通。其它一切都可迎刃而解。
以下引述一些“大人物”对极限法微积分的评论。可见，吾道不孤。
罗素说：那些教师无法自圆其说，就千方百计试图说明我们相信那些分母的诡辩（大意）。
马克思说：数学家试图让我们相信什么可以无限接近，又始终到达不了的昏话（大意）。
罗宾逊说：数学家对无穷小法非常苛刻，而对同样问题多多的极限法却宽容无比（大意）。
莫绍揆说：自变量的微分定义，肯定有问题（大意）。
哥德尔和吴文俊都说过，将来的分析，应该是非标准分析。他们没有明说，但其实对现在的所谓标准分析应该是有看法的。
注：哥德尔的说法是有据可考的。吴文俊的说法，为转述，出处尚未查到，待考。
参考文献
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[24].沈卫国.传统微积分基本定理在使用三明治定理证明时的失误及其正解和一些相关问题的讨论.国家科技图书文献中心预印本.2021年3月
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