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Zmn-0494 薛问天：【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义，评林益《0489》

已有 2482 次阅读 2021-3-23 09:08 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0494 薛问天：【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义，评林益《0489》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《Zmn-0489》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义，

评林益《0489》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

一，什么是无穷。

我不主张在数学中讨论这么抽象的问题。无穷不是个数学概念，所以在数学中解决不了【什么是无穷】的问题。在数学中只能讨论无穷的数学对象的问题，只能讨论这些数学概念的定义，性质等。如无穷集合，无穷小数，无穷级数，.等，这样比较实际和有效，而且可以很严格。我不参与任何非数学的抽象【无穷】的讨论。

关于【有穷集合】同【无穷集合】，在数学上已有严格的定义。

【定义1 (有穷集)】凡是能同某个自然数n建立一一对应的集合，称为有穷集合。在这个定义里，我们是把自然数n理解为是集合的。自然数当n=0，是空集，当n＞0，n=｛0,1,2,...,n-1｝。

【定义2(无穷集)】如果一个集合，它不是有穷集合，则称其为无穷集合。

这样的定义非常严格，所有关于有穷集和无穷集的属牲都可由此属性推出。

林益先生说【无穷就是有限的延伸。】用现在严格的眼光來看，这只能是一种概括的描述，不能作为无穷集合的严格定义。

不过，:认为无穷集合是有穷集合的【延伸】，作为概括的描述，也要有正确的理解。这是两个概念之间的延伸，既然从【有穷集合】的概念【延伸】到【无穷集合】这个概念，就应该承认【无穷集合】这个概念的存在，而不应该否定【无穷集合】这个概念，否定【无穷集合】的存在，甚至说【不存在"到了无穷"的情况】。

两个概念之间的【延伸】关系，实际上就是有不同的属性(伸)，又有相同的属性(延)。有穷集合具有能同自然数代表的集合一一对应的属性，而无穷集合不具有此属性。这说明它们具有不同的属性。它们有没有相同的属性呢？当然有。它们都是集合。按照我们的定义，在无穷集合中有它的不少真子集都是有穷集，无穷集合当然是有穷集合的【延伸】。在无穷位编码数的定义中，有穷位编码数可以看作是前面加无穷位0问无穷位编码数，这样有穷位编码数就是0族无穷位编码数。这样无穷位编码数当然就是有穷位编码数的【扩展】，也就是【延伸】。同样，无穷小数也是有穷小数的【延伸】。

林益先生说【评者也曾经给我一个形象的描述，用一个成语“有始无终”概括了无穷的本质含义，我是非常赞同的。】

如果这有始无终是我说的话，这是指自然数这个无穷集合。始和终说的是集合中序的大小，始是最小，终是最大。显然自然数中0是始，而无最大自然数，所以有始无终，非常合适。但是用有始无终來形容所有无穷集合，则不一定合适。举个例子。所有非正整数P=｛...,-3,-2,-1,0｝，就是无始有终的无穷集。另外全体整数集Q=｛...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...｝，就是个无始无终的无穷集。

林先生说【既然“无终”，就表明不能完成，不能结束，是在不断变化之中的，不能有最终结果，即没有最后的结果，不仅不能构成整体，也不可能存在最后的一项。】

这就说的不对了。这里的无始或无终只是说这个集合具有的一种性质，它没有最大数，或没有最小数没有最后项。但这个集合是存存的。我们可以用语言和逻辑表述【非正整数】，【全体整数】，【所有自然数】等这些无穷集的存在。而且是确定的集合。例如全体整数，它的元素是全体整数，元素是确定的，不会变化，只有整数才是它的元素，不是整数就不是它的元素。整数是确定的数，不存在一会儿变成整数，一会儿变成非整数。所以【全体整数】就是个确定的集合。

二，林先生把我们讨论的A数A集的问题，联系到有关自然数，有穷小数和无穷小数的问题，确实有类似的问题。

1，林先生对自然数的陈述基本正确。【没有最大的自然数，只有更大的自然数，没有确定的无穷自然数，】这都正确。

2，他对有穷小数的陈述也是正确的，但他没有认识到这只是有穷小教的属性。他说【小数的位数必然在不断延伸，没有最大的位，只有更大的位，也就没有确定的最后一位，也就没有确定的无穷位，】他说的这些指的都是有穷小数，即位数集合的个数(基数)是n的有穷集合。他所说的【也就没有确定的无穷位】，指的是在有穷位小数的集合中通过位数加1的方法是出现不了【无穷位】的。这些指的都是【有穷小数】。所有的有穷小数的集合也是一个无穷集合。

但是要注意，有穷小教同我们讲的无穷小数不是一回事。我们讨论的是无穷小数，每个无穷小数的位数集合是无穷集。这同有穷小数的位数集合是有穷集是完全不同的一个概念。无穷小数表示0.1234...，的三个点表示的是无穷个位，不是有穷位的增变。有穷位没有最大的有穷位，并不能否定无穷位的存在。在林益先生的脑海中没有【无穷小数】的概念。他说【没有无穷位小数】，这是他认识上的主要错误。自然数没有最大自然数，所以没有位数最多的有穷小数。但是全体自然数的无穷集合是存在的。所以小数的位数相当于全体自然数集合的【无穷位小数】的存在也是没有任何问题的。

林益先生说【我们通常所说的“无穷小数”、“无穷级数”，⋯的真实含义都是趋向无穷的。】这说的不对。不是【趋向】无穷，而是确切的无穷。【无穷小数】有无穷个位，【无穷级数】是无穷个项相加，【...】所表示的就是省略掉无穷个位。因而林益先生的结论【“无穷小数”的值也在不断变化之中，不是一个确定的定值，不具备数是定值的属性，因此“无穷小数”不是数。】是错误的。无穷小数的值是【确定的定值】，它的值等于相应无穷级数的和。无穷小数表示的就是确定的实数。认为它【本来就不是数】的观点是错误的。

三，这一段的表述说明，林益先生的论述在逻辑上概念上极不清晰，相当混乱，错误百出。

林说【没有确定的无穷】，你说的【无穷】指的是数学上的什么无穷对象。是集合论中的【无穷集合】，还是数学分析中的【无穷极限】，还是实数表示中的【无穷小数】，还是......。我们知道，当然有确定的无穷集合，确定的无穷小数。数学分析中的【无穷极限】也是确定的，只不过它不是确定的数而已。

林说【任何确定的数都是有限的】，也设说这里的数指的是什么数。要知道序数中的趋穷序数，基数中的超穷基数都不是有限数。而且都有比它们更大的超穷数。如ωくω+1，Aleph0<Aleph1．因而这就说明林先生的结论【任何两个数，只要能够比较大小，其中必然有一个数是有限的。】是完全错误的。

林说【∞的运算法则规定为：∞+1=∞，∞-1=∞，2∞=∞，2^∞=∞，⋯是完全符合逻辑规则的。】说的也不对，在数学分析中，∞不是数，没有公认的包含∞的数系，在其中规定了这样的∞运算法则。在所有的数系中都没有这样的【运算法则】。

四，这一段表明林是典型的潜无穷观的持有者。他坚持反对自然数集合，及归纳集合的存在。反对无穷小数的存在。认为无穷小数【包含了所有小数，也表明小数的构造已经完成，那就必然是确定的，不能再延伸，小数必然有最后一位，小数的个数必然有最后一个，】这种认识当然是错误的。无穷小数，已经包含了所有的位，位数不再延伸，并不是就意味着【小数必然有最后一位，小数的个数必然有最后一个，】这是无穷集合同有穷集合不同的特性。任何有穷的有序集合，必有最后一个，但无穷的有序集合，则它的存在，不一定【必然就有最后一个。】

另外，实无穷观的出现，承认归纳集合的存在，承认无穷集合的确定性，永认逻辑思维中「所有」这个量词的巨大功能，这一切都代表了人类文明的进步，代表了人类思维的聪明才智。把实无穷观说成是【在逻辑上是讲不通的，是矛盾的。】甚至说成是【神经不正常的人的言论，】这些都是极端错误的话语。差得太远了，思想太落后了。实无穷观早己为广大专业人员所接受，要尽快地提高自已对实无穷观的正确认识，这是当务之极。坚持潜无穷观，可以说对现代数学是格格不入的，寸步难行。

五，这段评论，林首先反对我对A数的定义。他说【数的位数是和自然数构成一一对应的。存在无穷自然数吗？如果存在无穷自然数，定义就是正确的。如果不存在无穷自然数，定义是绝对错误的。】谁告沂你有这个规定【数的位数是和自然数构成一一对应的。】A数是我定义的数，我当然可以规定A数中包括无穷位A数:111...。这个无穷位A数的位数不是自然数。那些位数是自然数的是有穷位A数，並未包括全部A数。

这是什么逻辑，自然数没有无穷位，难道就不能定义别的无穷位数？上次讨论的【无穷位编码数】【p-adic数。】就是自然数的推广，它们的位数不是有穷位，而是有无穷个位。(Zmn-0420 薛问天：谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407，0411》)。这些实例充分说明林益先生观点的错误。

我们定义的A数和A集，指的是数的类型和集合的类型。你可以把它理解为「A类数」和「A类集合」。林益先生这样的理解【内容的含义。是对集合分类，】是对的。就如同我们定义【实数】，是一类数，【部分实数的集合】是一类集合，是一个道理，【A数】是一类数，【A集】是一类集合。定义的不是一个具体的数和一个具体的集合，是一类。显然林益先生给出的评价【显然这个定义不是定义，可能评者就不懂得什么叫定义，随便瞎写就称定义。】是错误的。评价不能这样【随便瞎写】。我看这样的评价者才是【就不懂得什么叫定义】？

六，我在A数和A集的定义中说得如此严格和详细，可林益先生居然还在问【这个A数和A集中“A”是何义？】，原来林益的习惯是，他理解数学概念不是根据概念的定义，而是根据概念名称的字面涵意。这个概念的名称就是个"A"，因而林益先生搞不清【这个A数和A集中“A”是何义？】

怎么办？尽快放棄这个坏习惯，“A”只是这个数学概念的名称，不要在【名称】上做文章了，不要查字典去探讨"A"的意思了。快去看定义，就能找到此概念的确切涵义。

从A数A集的定义即可看出A数并不是自然数。有穷位A数是自然数，但无穷位A数不是自然数。只有部分自然数(各位数码都是1)是A数，大部分自然数(各位数码不全为1)不是A数。

存在有无穷个自然数构成的集合，其中没有无穷位自然数，同样存在有无穷A集，其中没有无穷位A数。

但是A数中有无穷位A数，自然数中没有无穷位自然数。因而存在有A集，其中有无穷位A数，可是任何自然数的集合中，都没有无穷位自然数。这是两者的最根本的区别。

七，林益先生不承认有「所有有穷位编码数」

林益先生说【有「所有有穷位编码数」吗？所有有穷位的最大位是多少位？评者能给一个明确的回答吗？不存在“所有”，只存在延伸，有穷位也是有限位，位数可以延伸，趋向无穷，不存在无穷位编码。】林益先生的观点就是不承认有无穷集，不承认有「所有自然数集」，就是坚持錯误的潜无穷观。由于自然数没有【最大自然数】，就不承认"所有"自然数构成的集合。不承认这是一个确定的集合。林益先生至今为止，都没有认识到潜无穷观的严重危害性。在所有他的质疑中，潜无穷观是最重要的根源。

八，林益先生对名称过于关注，看得太重，其实不必，名称是用于指称的，只要不发生冲突，能够加以区别即可。不存在林益先生所担心的【研究数学的人所具有的素质修养】的问题。

不过我在(六)中己谈到A数和自然数不同，不可随意互换。

九，林益先生根本不承认【无穷集合】的存在。所以无法对此问题给出回答。

他根本不承认无穷集合的存在，当然就不承认有【到了无穷仍然应该成立】的属性。他只承认′【在趋向无穷时仍然应该成立】的属性。可是【趋向无穷】还是有穷集合的情况，属有穷集合的范畴。仍然是【在有穷条件下成立的东西。】同我们讨论的问题无关。

不过有趣的是林先生最后说了这么一段话【在“外力”作用下，迫使它改变给定的规律，发生质变，改变原来属性，在新的条件下重新开始，按照新的规律运行。】是不是对无穷集合又有了些什么新的认识。有些实无穷观的萌芽感觉。不得而知，希林先生继续思考。

十，同(九)一样，林益先生不承认无穷集合，当然不承认论述中【到了无穷】的情况。因而例子也不会承认。

不过我请林先生注意，我们讲的每句话都是有确切含义的。「自然数集合」是由某些自然数构成的集合，即元素是自然数的集合。「无穷自然数集合」是「个数无穷」的「自然数集合」。至于什么是其元素「个数无穷」的「无穷集」，什么是其元素「个数有穷」的「有穷集」，我在本文的(一)中作了具体的介绍(定义1和定义2)。因而「有穷的自然数集合」同「无穷的自然数集合」，都是存在的确定的集合。「肯定有最大数」这是任何「有穷的自然数集合」的属性，而「没有最大数」这是任何「无穷的自然数集合」所具有的属性。

林益先生关于「一一对应」的一些议论，充分暴露了他的两个问题。一个问题是他的潜无穷观，根本不承认无穷集合的存在，所以认为【一一对应只能在有限的条件下进行】。另一个问题就是他了解数学概念的涵义，不是去查看概念的定义，而是去啄磨概念的名称的字面涵意。而且以此來作为论证的依据，显然这样的作法是完全错误的。关于「一一对应」，他说【一一对应的两个“一”必须具备的条件是什么？对应关系必须具备什么条件？】想从【一一】和【对应】这个名称的字面上去了解概念，绝对是一种错误的习惯作法，林益先生应尽早改正这种思考数学问题的坏习惯。两个集合一一对应按定义是这两个集合间存在双射。这样的双射当然在无穷集合间，是可能成立的。林所想像的【具备的条件】完全是他的主观臆想。我早己说过，集合论是建立在实无穷观的基础之上的。如果林益先生坚持潜无穷观，就不要参与任何集合论的学木讨论，因为不承认无穷集合的存在，对集合论那只能是格格不入。

十一，从林益先生这段文字可以看出，他要否定现代数学的内容太多了。

除了否定无穷集的存在，从而否定集合论以外，他还否定解析几何，测度理论，和实变函数中的区间理论等。错误很多，说來话长，不好在此全面评论。

如【线段不是由点构成的，】【如果一个集合是点构成的集合，必然是离散集，】【(0,1)区间无论是去掉有限个点，还是无穷多个点，它们都是离散点，只能构成离散的闭集，】【没有任何理由认为(0,1)中无理数集测度大于0，】【勒贝格测度论中是把区间(0,1)看成只有有理数和无理数构成的，显然违反实数稠密性原则。】【线是由点构成违反客观事实。】【认为(0,1)中无理数集测度为1是绝对错误的，】【康托尔证明线、面、体的点数相等，丧失了线、面、体的度量差异，完全违反客观存在的事实。】

我建议林益先生把你的这些观点详细地写成文章，明确阐述你的具体观点和根据。我们再來逐一评论。

十二，林益先生对数学概念的名称看得太重了。

说什么【A集和A数，不能因为名称中含有“A”，就能放在一起讨论，】我已经劝过林益先生多次，了解数学概念要根据他的定义，不要去探讨他的名称。在我的定义中，定义2(A集)。把｛1｝,｛1,11｝,｛1,11,111｝，......，即由1位A数开始，位数从小到大的A数构成的各种集合，都称为A集。

也就是说A集全是由一定的A数构成的集合。怎么能说仅仅是【名称中含有“A”】，【它们属性完全不同】，【把不同属性的事物放在一起讨论，只能证明概念模糊不清。】

这样的评论根本不符合事实。我用A数和A集证明了「存在着一个个数无穷的A集，它的元素中没有无穷位A数」。从而否定了黄汝广先生的论断【个数无穷的A集中，必定有无穷位A数。】。怎么能说是【概念模糊不清】呢？

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