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Zmn-0494 薛问天:【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义,评林益《0489》

已有 1204 次阅读 2021-3-23 09:08 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0494 薛问天:【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义,评林益《0489》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《Zmn-0489》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义,

评林益《0489》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg一,什么是无穷。

我不主张在数学中讨论这么抽象的问题。无穷不是个数学概念,所以在数学中解决不了【什么是无穷】的问题。在数学中只能讨论无穷的数学对象的问题,只能讨论这些数学概念的定义,性质等。如无穷集合,无穷小数,无穷级数,.等,这样比较实际和有效,而且可以很严格。我不参与任何非数学的抽象【无穷】的讨论。

关于【有穷集合】同【无穷集合】,在数学上已有严格的定义。

【定义1 (有穷集)】凡是能同某个自然数n建立一一对应的集合,称为有穷集合。在这个定义里,我们是把自然数n理解为是集合的。自然数当n=0,是空集,当n>0,n={0,1,2,...,n-1}。

【定义2(无穷集)】如果一个集合,它不是有穷集合,则称其为无穷集合。

这样的定义非常严格,所有关于有穷集和无穷集的属牲都可由此属性推出。

林益先生说【无穷就是有限的延伸。】用现在严格的眼光來看,这只能是一种概括的描述,不能作为无穷集合的严格定义。

不过,:认为无穷集合是有穷集合的【延伸】,作为概括的描述,也要有正确的理解。这是两个概念之间的延伸,既然从【有穷集合】的概念【延伸】到【无穷集合】这个概念,就应该承认【无穷集合】这个概念的存在,而不应该否定【无穷集合】这个概念,否定【无穷集合】的存在,甚至说【不存在"到了无穷"的情况】。

两个概念之间的【延伸】关系,实际上就是有不同的属性(伸),又有相同的属性(延)。有穷集合具有能同自然数代表的集合一一对应的属性,而无穷集合不具有此属性。这说明它们具有不同的属性。它们有没有相同的属性呢?当然有。它们都是集合。按照我们的定义,在无穷集合中有它的不少真子集都是有穷集,无穷集合当然是有穷集合的【延伸】。在无穷位编码数的定义中,有穷位编码数可以看作是前面加无穷位0问无穷位编码数,这样有穷位编码数就是0族无穷位编码数。这样无穷位编码数当然就是有穷位编码数的【扩展】,也就是【延伸】。同样,无穷小数也是有穷小数的【延伸】。

林益先生说【评者也曾经给我一个形象的描述,用一个成语“有始无终”概括了无穷的本质含义,我是非常赞同的。

如果这有始无终是我说的话,这是指自然数这个无穷集合。始和终说的是集合中序的大小,始是最小,终是最大。显然自然数中0是始,而无最大自然数,所以有始无终,非常合适。但是用有始无终來形容所有无穷集合,则不一定合适。举个例子。所有非正整数P={...,-3,-2,-1,0},就是无始有终的无穷集。另外全体整数集Q={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},就是个无始无终的无穷集。

林先生说【既然“无终”,就表明不能完成,不能结束,是在不断变化之中的,不能有最终结果,即没有最后的结果,不仅不能构成整体,也不可能存在最后的一项。

这就说的不对了。这里的无始或无终只是说这个集合具有的一种性质,它没有最大数,或没有最小数没有最后项。但这个集合是存存的。我们可以用语言和逻辑表述【非正整数】,【全体整数】,【所有自然数】等这些无穷集的存在。而且是确定的集合。例如全体整数,它的元素是全体整数,元素是确定的,不会变化,只有整数才是它的元素,不是整数就不是它的元素。整数是确定的数,不存在一会儿变成整数,一会儿变成非整数。所以【全体整数】就是个确定的集合。

 

二,林先生把我们讨论的A数A集的问题,联系到有关自然数,有穷小数和无穷小数的问题,确实有类似的问题。

1,林先生对自然数的陈述基本正确。没有最大的自然数,只有更大的自然数,没有确定的无穷自然数,这都正确。

2,他对有穷小数的陈述也是正确的,但他没有认识到这只是有穷小教的属性。他说【小数的位数必然在不断延伸,没有最大的位,只有更大的位,也就没有确定的最后一位,也就没有确定的无穷位,】他说的这些指的都是有穷小数,即位数集合的个数(基数)是n的有穷集合。他所说的【也就没有确定的无穷位】,指的是在有穷位小数的集合中通过位数加1的方法是出现不了【无穷位】的。这些指的都是【有穷小数】。所有的有穷小数的集合也是一个无穷集合。

但是要注意,有穷小教同我们讲的无穷小数不是一回事。我们讨论的是无穷小数,每个无穷小数的位数集合是无穷集。这同有穷小数的位数集合是有穷集是完全不同的一个概念。无穷小数表示0.1234...,的三个点表示的是无穷个位,不是有穷位的增变。有穷位没有最大的有穷位,并不能否定无穷位的存在。在林益先生的脑海中没有【无穷小数】的概念。他说【没有无穷位小数】,这是他认识上的主要错误。自然数没有最大自然数,所以没有位数最多的有穷小数。但是全体自然数的无穷集合是存在的。所以小数的位数相当于全体自然数集合的【无穷位小数】的存在也是没有任何问题的。

林益先生说【我们通常所说的“无穷小数”、“无穷级数”,⋯的真实含义都是趋向无穷的。】这说的不对。不是【趋向】无穷,而是确切的无穷。【无穷小数】有无穷个位,【无穷级数】是无穷个项相加,【...】所表示的就是省略掉无穷个位。因而林益先生的结论【无穷小数”的值也在不断变化之中,不是一个确定的定值,不具备数是定值的属性,因此“无穷小数”不是数。】是错误的。无穷小数的值是【确定的定值】,它的值等于相应无穷级数的和。无穷小数表示的就是确定的实数。认为它【本来就不是数的观点是错误的。

 

三,这一段的表述说明,林益先生的论述在逻辑上概念上极不清晰,相当混乱,错误百出。

林说【没有确定的无穷】,你说的【无穷】指的是数学上的什么无穷对象。是集合论中的【无穷集合】,还是数学分析中的【无穷极限】,还是实数表示中的【无穷小数】,还是......。我们知道,当然有确定的无穷集合,确定的无穷小数。数学分析中的【无穷极限】也是确定的,只不过它不是确定的数而已。

林说【任何确定的数都是有限的】,也设说这里的数指的是什么数。要知道序数中的趋穷序数,基数中的超穷基数都不是有限数。而且都有比它们更大的超穷数。如ωくω+1Aleph0<Aleph1.因而这就说明林先生的结论【任何两个数,只要能够比较大小,其中必然有一个数是有限的。】是完全错误的。

林说【的运算法则规定为:∞+1=∞,∞-1=∞,2∞=∞,2=∞,⋯是完全符合逻辑规则的。】说的也不对,在数学分析中,∞不是数,没有公认的包含∞的数系,在其中规定了这样的∞运算法则。在所有的数系中都没有这样的【运算法则】。

 

四,这一段表明林是典型的潜无穷观的持有者。他坚持反对自然数集合,及归纳集合的存在。反对无穷小数的存在。认为无穷小数【包含了所有小数,也表明小数的构造已经完成,那就必然是确定的,不能再延伸,小数必然有最后一位,小数的个数必然有最后一个,】这种认识当然是错误的。无穷小数,已经包含了所有的位,位数不再延伸,并不是就意味着【小数必然有最后一位,小数的个数必然有最后一个,这是无穷集合同有穷集合不同的特性。任何有穷的有序集合,必有最后一个,但无穷的有序集合,则它的存在,不一定【必然就有最后一个。】

另外,实无穷观的出现,承认归纳集合的存在,承认无穷集合的确定性,永认逻辑思维中「所有」这个量词的巨大功能,这一切都代表了人类文明的进步,代表了人类思维的聪明才智。把实无穷观说成是【在逻辑上是讲不通的,是矛盾的。】甚至说成是【神经不正常的人的言论,】这些都是极端错误的话语。差得太远了,思想太落后了。实无穷观早己为广大专业人员所接受,要尽快地提高自已对实无穷观的正确认识,这是当务之极。坚持潜无穷观,可以说对现代数学是格格不入的,寸步难行。

 

五,这段评论,林首先反对我对A数的定义。他说【数的位数是和自然数构成一一对应的。存在无穷自然数吗?如果存在无穷自然数,定义就是正确的。如果不存在无穷自然数,定义是绝对错误的。】谁告沂你有这个规定【数的位数是和自然数构成一一对应的。】A数是我定义的数,我当然可以规定A数中包括无穷位A数:111...。这个无穷位A数的位数不是自然数。那些位数是自然数的是有穷位A数,並未包括全部A数。

这是什么逻辑,自然数没有无穷位,难道就不能定义别的无穷位数?上次讨论的【无穷位编码数】【p-adic数。】就是自然数的推广,它们的位数不是有穷位,而是有无穷个位。(Zmn-0420 薛问天: 谈自然数的扩展--无穷位编码数。评黄汝广和林益先生的《0407,0411》)。这些实例充分说明林益先生观点的错误。

我们定义的A数和A集,指的是数的类型和集合的类型。你可以把它理解为「A类数」和「A类集合」。林益先生这样的理解【内容的含义。是对集合分类,】是对的。就如同我们定义【实数】,是一类数,【部分实数的集合】是一类集合,是一个道理,【A数】是一类数,【A集】是一类集合。定义的不是一个具体的数和一个具体的集合,是一类。显然林益先生给出的评价【显然这个定义不是定义,可能评者就不懂得什么叫定义,随便瞎写就称定义。】是错误的。评价不能这样【随便瞎写】。我看这样的评价者才是【就不懂得什么叫定义】?

 

六,我在A数和A集的定义中说得如此严格和详细,可林益先生居然还在问【这个A数和A集中“A”是何义?】,原来林益的习惯是,他理解数学概念不是根据概念的定义,而是根据概念名称的字面涵意。这个概念的名称就是个"A",因而林益先生搞不清【这个A数和A集中“A”是何义?】

怎么办?尽快放棄这个坏习惯,“A”只是这个数学概念的名称,不要在【名称】上做文章了,不要查字典去探讨"A"的意思了。快去看定义,就能找到此概念的确切涵义。

从A数A集的定义即可看出A数并不是自然数。有穷位A数是自然数,但无穷位A数不是自然数。只有部分自然数(各位数码都是1)是A数,大部分自然数(各位数码不全为1)不是A数。

存在有无穷个自然数构成的集合,其中没有无穷位自然数,同样存在有无穷A集,其中没有无穷位A数。

但是A数中有无穷位A数,自然数中没有无穷位自然数。因而存在有A集,其中有无穷位A数,可是任何自然数的集合中,都没有无穷位自然数。这是两者的最根本的区别。

 

七,林益先生不承认有「所有有穷位编码数」

林益先生说【有「所有有穷位编码数」吗?所有有穷位的最大位是多少位?评者能给一个明确的回答吗?不存在“所有”,只存在延伸,有穷位也是有限位,位数可以延伸,趋向无穷,不存在无穷位编码。】林益先生的观点就是不承认有无穷集,不承认有「所有自然数集」,就是坚持錯误的潜无穷观。由于自然数没有【最大自然数】,就不承认"所有"自然数构成的集合。不承认这是一个确定的集合。林益先生至今为止,都没有认识到潜无穷观的严重危害性。在所有他的质疑中,潜无穷观是最重要的根源。

 

八,林益先生对名称过于关注,看得太重,其实不必,名称是用于指称的,只要不发生冲突  ,能够加以区别即可。不存在林益先生所担心的【研究数学的人所具有的素质修养】的问题。

不过我在(六)中己谈到A数和自然数不同,不可随意互换。

 

九,林益先生根本不承认【无穷集合】的存在。所以无法对此问题给出回答。

他根本不承认无穷集合的存在,当然就不承认有【到了无穷仍然应该成立】的属性。他只承认′【在趋向无穷时仍然应该成立】的属性。可是【趋向无穷】还是有穷集合的情况,属有穷集合的范畴。仍然是【在有穷条件下成立的东西。】同我们讨论的问题无关。

不过有趣的是林先生最后说了这么一段话【在“外力”作用下,迫使它改变给定的规律,发生质变,改变原来属性,在新的条件下重新开始,按照新的规律运行。】是不是对无穷集合又有了些什么新的认识。有些实无穷观的萌芽感觉。不得而知,希林先生继续思考。

 

十,同(九)一样,林益先生不承认无穷集合,当然不承认论述中【到了无穷】的情况。因而例子也不会承认。

不过我请林先生注意,我们讲的每句话都是有确切含义的。「自然数集合」是由某些自然数构成的集合,即元素是自然数的集合。「无穷自然数集合」是「个数无穷」的「自然数集合」。至于什么是其元素「个数无穷」的「无穷集」,什么是其元素「个数有穷」的「有穷集」,我在本文的(一)中作了具体的介绍(定义1和定义2)。因而「有穷的自然数集合」同「无穷的自然数集合」,都是存在的确定的集合。「肯定有最大数」这是任何「有穷的自然数集合」的属性,而「没有最大数」这是任何「无穷的自然数集合」所具有的属性。

林益先生关于「一一对应」的一些议论,充分暴露了他的两个问题。一个问题是他的潜无穷观,根本不承认无穷集合的存在,所以认为【一一对应只能在有限的条件下进行】。另一个问题就是他了解数学概念的涵义,不是去查看概念的定义,而是去啄磨概念的名称的字面涵意。而且以此來作为论证的依据,显然这样的作法是完全错误的。关于「一一对应」,他说【一一对应的两个“一”必须具备的条件是什么?对应关系必须具备什么条件?】想从【一一】和【对应】这个名称的字面上去了解概念,绝对是一种错误的习惯作法,林益先生应尽早改正这种思考数学问题的坏习惯。两个集合一一对应按定义是这两个集合间存在双射。这样的双射当然在无穷集合间,是可能成立的。林所想像的【具备的条件】完全是他的主观臆想。我早己说过,集合论是建立在实无穷观的基础之上的。如果林益先生坚持潜无穷观,就不要参与任何集合论的学木讨论,因为不承认无穷集合的存在,对集合论那只能是格格不入。

 

十一,从林益先生这段文字可以看出,他要否定现代数学的内容太多了。

除了否定无穷集的存在,从而否定集合论以外,他还否定解析几何,测度理论,和实变函数中的区间理论等。错误很多,说來话长,不好在此全面评论。

【线段不是由点构成的,】【如果一个集合是点构成的集合,必然是离散集,】【(0,1)区间无论是去掉有限个点,还是无穷多个点,它们都是离散点,只能构成离散的闭集,】【没有任何理由认为(0,1)中无理数集测度大于0,】【勒贝格测度论中是把区间(0,1)看成只有有理数和无理数构成的,显然违反实数稠密性原则。】【线是由点构成违反客观事实。】【认为(0,1)中无理数集测度为1是绝对错误的,】【康托尔证明线、面、体的点数相等,丧失了线、面、体的度量差异,完全违反客观存在的事实。】

我建议林益先生把你的这些观点详细地写成文章,明确阐述你的具体观点和根据。我们再來逐一评论。

 

十二,林益先生对数学概念的名称看得太重了。

说什么【A集和A数,不能因为名称中含有“A”,就能放在一起讨论,】我已经劝过林益先生多次,了解数学概念要根据他的定义,不要去探讨他的名称。在我的定义中,定义2(A集)。把{1},{1,11},{1,11,111},......,即由1位A数开始,位数从小到大的A数构成的各种集合,都称为A集。

也就是说A集全是由一定的A数构成的集合。怎么能说仅仅是【名称中含有“A”】,【它们属性完全不同】,【把不同属性的事物放在一起讨论,只能证明概念模糊不清。

这样的评论根本不符合事实。我用A数和A集证明了「存在着一个个数无穷的A集,它的元素中没有无穷位A数」。从而否定了黄汝广先生的论断【个数无穷的A集中,必定有无穷位A数。】。怎么能说是【概念模糊不清】呢?

 





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