Zmn-0486 薛问天：关键是复合函数的二大要素。评师教民《0465》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生《Zmn-0465》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

关键是复合函数的二大要素。

评师教民《0465》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

关于我同师教民先生的争论。我曾归结成四个问题。师先生对此四个问题提出了他的四点总结《0440》。我在《0459》中批评了它的总结。但他《0465》对我的批评没有作出任何实质性的回答。说明他回答不了。

其实问题的关键是相当简单的。关键就是一个问题。由函数y=f(x)和函数x=g(y)构成的复合函数f[g(y)]，它的函数关系(即映射，对应法则)是什么？它的定义域是什么？

数学分析把这两点看作是函数的两大要素。我把教科书的原文都引出來了。原文表述得很清楚，对于一个函数f來说，【构成函数的要素是: 定义域Df，及对应法则f。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。】

正因为如此，在所谓【解析式型函数定义】中:，【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．前边的部分是函数式:；后边括号内的部分是定义域，即是函数的自变量的取值范围。】也就是说在一个函数的定义中，要把函数的两大要素填写清楚，前边部分写出函数关系(映射)，后边部分写出定义域。

对于一个由函数y=f(x)和函数x=g(y)构成的复合函数f[g(y)]，如果你很确定，很明确，认为它的函数关系(即映射)是复合映射f·g.，认为它的定义域是Dg（函数x=g(y)的定义域），那么这个复合函数的【解析式型定义】中，函数关系就应填写复合映射f·g，定义域就应填写Dg。我在《0459》中说〖这才是复合函数的正确定义。〗师教民先生不敢对此作出任何表态。

而师教民先生却硬是用y=f(x)來作为函数式(薛注：正确的应为f·g)，用函数x=g(y)來作为定义域(薛注：正确的应为Dg)，用这样的方式來定义复合函数显然是错误的。因为复合函数的函数关系是f·g而不是f，而且定义域是Dg，不是【函数x=g(y)】。

另外，师先生在文中说【我也早已证明了 f 和 f·g 是同一个函数．薛问天先生认为〖函数关系不同的函数就一定不是同一个函数〗暴露了他〖没有读懂或没有学会〗相同函数的判别法！】这充分暴露了师先生的概念混乱到什么程度。

可见，现在的关键问题是，复合函数的两大要素问题。师教民先生是否承认复合函数的函数关系是复合映射f·g，是否承认复合函数的定义域是Dg。

师教民先生是否现在还认为，复合函数的函数关系是f，复合函数的定义域是函数x=g(y)。为什么坚持要在函数的【解析式型定义】中，把f写在【函数式】栏中，把函数x=g(y)写在【定义域】栏中。

师先生在总结中，把过去认为的【复合函数同 y=f (x)是"同一个函数"】改成复合函数是由【函数 y=f (x)变成的】。既然【变】了，当然不是【同一个函数】。这不能不说是一个进步。但是这句话仍然是不对的。因为复合函数是由两个函数f和g用复合的方法一起共同构成的，而不是由两个函数之一y=f(x)【变成的】。

其实关键的争论是复合函数的因变量微分是什么？师先生总是不断地把复合函数同函数y=f(x)拉在一起，开始把复合函数就称为函数f，后來又强调复合函数同f(x)是同一函数，错误地认为定义复合函数是在定义f(x)。用f(x)定义函数的函数关系，用函数ⅹ=g(y)來定义函数的定义域。现在又坚持【复合函数是函数y=f(x)变的】。要知道【函数y=f(x)的因变量的微分是dy①，而复合函数因变量的微分是dy③】。而师先生的目的是要把这两个微分混为一谈。引起微积分的矛盾。

不知现在师先生的看法如何？【复合函数同 y=f (x)是"同一个函数"】改成复合函数是由【函数 y=f (x)变成的】。是否改变了他原來把dy①同 dy③混为一谈的看法。 如果师先生认为【复合函数是函数f(x)变的】，和其它理由，并不影响【复合函数的微分是dy③而不是dy①】，我看争论【复合函数是否是由函数f(x)变的】和其它问题，就没有什么意义了。但是如果师先生还坚持认为由于【复合函数是由函数f(x)变的】，和其它理由，则【复合函数的微分就是函数f(x)的微分dy①】，那么就还要争论下去。因为【复合函数的因变量微分是dy③，而不是函数f(x)的因变量微分dy①。】

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