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Zmn-0484 薛问天：位数有穷但个数无穷。评黄汝广《0435》
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Zmn-0484 薛问天：位数有穷但个数无穷。评黄汝广《0435》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对黄汝广先生《Zmn-0435》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
位数有穷但个数无穷。
评黄汝广《0435》
薛问天
。
最近又看了《0435》黄先生对集合A的具体描述。又翻阅了《0407》和《0423》早先的文章。了解到黄先生构造的集合A=｛1,11,111,......｝。他的基本思想是，把集合中数的位数，同集合中数的个数连系起來。认为由于集合中不同数有不同位，如果集合个数无穷，则集合中位的数目也应无穷，因而A中必存在具有无穷位的数。
他用A表示自然数的位数，用把它删除掉的次数表示A中数的个数。文中所说的【承认删除次数是无穷次，那当然就存在无穷位的自然数】，【元素个数有无穷多，因此，一定存在无穷位的自然数。】这就是黄汝广先生的基本观点。
为了具体细致地讨论，我们把这个问题严格描述如下。
定义1(A数)。把1 ，称为1位A数，把1 1，称为2位A数，把111 ，称为3位A数，...，把11...1(有穷个，n 个1)，称为有穷位A数，或称n位A数。把111... (无穷个1)，称为 无穷位A数。
定义2(A集)。把｛1｝,｛1,11｝,｛1,11,111｝，......，即由1位A数开始，位数从小到大的A数构成的各种集合，都称为A集。显然｛1｝是个数为1的A集，｛1,11｝是个数为2的A集......。
黄汝广的观点是【个数无穷的A集(即A集是无穷集)中，必定有无穷位A数。】
我认为黄先生的观点是错误的。因为我可以证明存在着一个个数无穷的A集，它的元素中没有无穷位A数。这个个数无穷的A集，就是由所有有穷位A数构成的集合P。P=｛x丨x是有穷位A数｝。显然P中没有无穷位A数。另外可以证明，P不是有穷集，是个数无穷的无穷集。这个证明很简单。因为如果P是个数有穷的A集，个数等于n，那么P中就没有n+1位的A数，但是P中应含有所有的有穷位A数，出现矛盾，所以P不是有穷集 。
这就证明了黄的论断是错误的。
自然数有这个现象，所有自然数集是无穷集，但集中并无无穷位的自然数。还有一些情况也有这个属性。所有有穷位编码数的集合是无穷集，而集中並无无穷位编码数。所有有穷小数的集合是无穷集，而集中并无无穷小数。
为什么在黄汝广先生脑中会出现这样的论断。我分析，那是因为对于有穷集合，有这样的定理。
定理A。【任何个数有穷，个数为n A集中，必定含有n位A数。】可以证明这个定理对于任何非0自然数，n∈N+都成立。
很多人由于没有注意有穷和无穷的重要区别，误以为【在有穷条件下成立的东西，到了无穷仍然应该成立。】所以就发生了这样的错误。
有趣的是最近同范秀山博士讨沦过这个问题。他公开讲【通过逻辑思维，可以知道，在有穷条件下成立的东西，到了无穷仍然应该成立。】
我批评他的这个观点，我说〖这是个被事实证明的错误观点。很多属性在有穷条件下成立，但是到了无穷就不成立了。这样的例子太多了。
例如，有穷的自然数的集合，肯定有最大数，但任何的无穷的自然数集合都没有最大数。
再例如，有穷集合不可能同它的真子集一一对应，但任何无穷集都存在有真子集同它一一对应。〗
〖最近讨论的一个例子。从(0,1)区间中去掉有穷个有理数，都剩下有穷个开区间，但是去掉所有无穷个有理数后，一个开区间都没有了。剩下不可数个无理数。〗
有趣的是今天讨论的A集和A数，也是一例，对有穷集合成立的属性，对无穷集合就不一定成立了。任何个数有穷，个数为n 的A集中，必定含有n位A数。但是个数无穷的A集中，不一定含有无穷位A数。
Zmn-0407 黄汝广： 存在无穷位的自然数吗？
Zmn-0420 薛问天： 谈自然数的扩展--无穷位编码数，评黄汝广和林益先生的《0407，0411》
Zmn-0423 黄汝广： 答薛问天先生Zmn-0420编码数。
Zmn-0431 薛问天： 这个性质不能保证对无穷次操作也成立。评黄汝广先生的《0423》
Zmn-0435 黄汝广： 答薛问天Zmn0431
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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