Zmn-0479 薛问天：评李鸿仪先生《Zmn-0468》对康托定理证明的质疑。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《Zmn-0468》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

评李鸿仪先生《Zmn-0468》

对康托定理证明的质疑。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

李鸿仪先生这次对康托定理证明质疑前，对证明进行了描述。他是这样描述的。

假定实数可数，则根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出： 

a1，a2 ，a3，…                 （1） 

将上述实数写成 

       a1=0.a11a12a13... 

       a2=0.a21a22a23... 

       a3=0.a31a32a33... 

       …… 

     其中, aij表示实数ai的第j位小数， 

     不妨称由其中对角线元素构成的小数    0.a11a22a33...   为对角线小数。关于构造的实数   

  b=0.b11b22b33….                      （2）

  中用到下式b的第i位bii不等于第i个实数ai的第i位aii。

     bii ≠aii,（i=1,2,3,…）            （3）

由于式(3)保证了对于"任何"一个实数 ai，b中都有一位小数bii，与该实数的第i位小数aii,不同，这就巧妙地保证了对于 "任何"一个实数ai，都有

ai≠ b, （i=1,2,3,…）         （4）

成立，即b是一个不在（1）内的实数，与“根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出”矛盾，所以，康托认为他证明了实数不可数。

我认为，李先生这次对康托定理证明的描述，还是比较好的。基本上是正确的，没有错误。

只是我感到不足的地方，是对【假定实数可数】，只说了【则根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出】 ，而没有明确说出【则根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数同自然数集合N建立一一对应。】 我后面将会分析，这点是他质疑产生错误的主要原因。

李鸿仪先生对证明的质疑是这样的。

李首先说道【公式（3）左端的下标可以表示实数的数目，而右端的下标可以表示b的小数位数。由于式（3）左右两端的下标相同，这就意味着符合（3）的实数数目与b的小数位数是精确相等的。】

应该说得更准确点，这里的(3)式是bii≠aii，(i=1,2,3,,,)。写得非常清楚，首先要认清式中的所有的i，都是自然数，i∈N。其次要认清，其中aii左边的l是(1)中实数的编号，右边的i是无穷小数位数的编号。其中bii的i是无穷数位数的编号。这里的i都是自然数，都属于N，如果要说i的个数，当然一样多，都是Ｎ中的元素。而且式中的i是相等的。(3)式同b11≠a11，b22≠a22，b33≠a33，,,,。是等价的，是一个意思。也就说实数的编号和位数的编号是精确相等的。这一点问题都没有，因为都属自然数一个集合。

但是李先生接着说:【然而，实数数目与对角线小数位数风马牛不相及，没有任何理由可以认为它们应该是精确相等的，所以不能不考察如果它们不相等，对角线证明还能否成立？】

李先生在这里说【实数数目与对角线小数位数风马牛不相及，没有任何理由可以认为它们应该是精确相等的，】这是错误的。我们这里的讨论是在反证法的假定下的论证。而被李先生所忽视的【根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数同自然数N建立一一对应。】起了重要作用。实数集合同自然数N一一对应，因而全体实数有唯一确定的实数编号。对角线小数位数同N一一对应，因而小数的位数有唯一确定的位数编号。编号是自然数。另外跟据一一对应关系的传递性。实数集合就同位数集合一一对应。对任何编号为i的实数ai，由于b的构造中的第i位bii不等于实数ai的第i位，即bi≠aii ，所以b不等于ai。这就证明b不在(1)中。

李先生说【如果实数数目大于b的小数位数，这时式（3）两边的元素数目不相等，故必然会有一部分"多出来的"实数无法出现在（3）的左端。对这部分实数，以（3）为前提的（4）当然也不一定成立！】

李先生的疑虑是不存在的。由于(3)的i，不论是实数的编号i，还是位数的编号i都属于自然数，是一个集合的数，当然一样多。另一方面实数集合同自然数一一对应，形成实数的编号，位数同自然数一一对应，形成位数的编号。无穷集合的一一对应就是无重复无遗漏的双射。所以不存在李先生所担心的【会有一部分"多出来的"实数无法出现在（3）的左端】的这种情况。因为任何实数都有它的编号αi，αi有αii。b有bii≠aii，b≠ai。所以说康托尔的证明，完全可以证明b不在(1)中。这里没有任何问题。李先生的质疑是不成立的。

李先生后面的一些论证，不能认为是数学论证。他用了一些非数学语言，在数学上是不成立的。例如他说【如果实数数目大于b的小数位数，】在他心目中有【无穷集合的元素数目】这个概念，而且不等于用一一对应定义的【基数】这个概念。但这并不是有数学定义的数学概念。所以这样的证明和论断，我们只能认为是错误的。在论证中还说【设实数数目为m=n+p，其中n为b的小数位数。】请问无穷集合的元素数目能用自然数表示吗？你用m表示实数的数目，用n表示小数的位数，而m和n是什么数？还是自然数吗？

他还说我【根本不知道这些结论都是在m<=n才成立的，而在m>n时并不成立。】我当然不知你的这些m和n是什么？是自然数吗？自然数怎么能表无穷集合的元素数目呢？

另外用【当n趋近于无穷大时】，这样的语言。要知道这是求极限的数学语言，并不是构成无穷集合的数学语言。这样的论断不能算作数学论断。实数的序列(1)并不是由有穷个序列当m趋近于无限而形成的，b也不是由bn趋近于无限而得到的。李先生的这些论断不能算是数学的论证，所谓的定理1的证明说什么【其中, bn 是b的n位有限小数，m和n均趋于无限，这样就将无限和有限统一起来了。由于n趋于无限时，无法排除m>n的可能，这时limn→∞(m-n)>0, 即实数的数目比b的小数位数多，】都属此类，这不是严格的数学论述。不知道你在说什么。所以用数学的标准來评论，这都不是符合数学要求的论证，只能认为是错误的论证。

李先生文章后面谈的所谓【有限公理】和【无限的定义】，因为同康托尔定理的证明没有直接关系，就不在此评论了。只说一个意见。我认为在数学中不要为抽象的【有限】和【无限】寻求定义，因为这不是数学概念。在数学中要严格定义的是【有限集合】和【无限集合】，【有穷小数】和【无穷小数】，【有穷序列】和【无穷序列】，【有限极限】和【无限极限】，【有穷级数】和【无穷级数】，【有穷次运行函数】和【无穷次运行函数】，...等具体的数学概念。只要把这些具体的数学概念，分别和具体地定义清楚了，就行了，数学就可以研究了。

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