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Zmn-0506 沈卫国：微积分有关问题的讨论（二）

已有 1824 次阅读 2021-3-29 13:07 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0506 沈卫国：微积分有关问题的讨论（二）

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

微积分有关问题的讨论（二）

沈卫国

1、传统极限法微积分求导（第二代微积分、标准分析）所隐藏的问题揭示及简要讨论——约分消分母，其前提不仅不能△x=0，也不能有极限△x→0

对于传统上的极限法微积分求导（所谓第二代微积分，标准分析），这里重申两点意见：第一，曲线的增量比值函数的极限即使有，也不应该用它去代替该函数的不存在的函数值（函数值为0/0）。第二，更何况这个极限根本还不存在。

这里不细谈了，笔者系列论文中都有论述。只是在这里打个比喻：

对于第一点的比喻：假设一人被剑刺死。被“论证”成在该人死之前，在这个前提下，那把剑会无限接近该人而达不到该人，以该人位置为不可达极限值。于是，既然这是个不可达极限，那么，这个极限过程就是以该人不死为不可达极限值。以这个结论代替原先该人已死的现实，所以该人未被刺死，也就是没死。这个，就是极限法微积分求导实际上干的事。

再一个例子，一个人在一个地点插了一个牌子，说此地不能来，有地雷。但可以“无限接近”。那么好，既然不能来，他怎么去的？怎么在那里插的牌子？地雷不是他去了才埋的吗？说有一个点，是个不可达极限值，谁也到不了，但可以无限接近。但这个点是如何确定的？永远不可能到达它，又是如何能确定这个点的？这里面明显有逻辑循环。这个问题，不只是笔者发现的。实际很多人都有此论。比如克莱因在其«古今数学思想»中，任德麟的«微积分原理与严格的理论基础»都有这方面的表述。后者披露，与极限大为有关的戴德金分化、康托法、外尔斯特拉斯法等确定实数的做法中，都实际需要“上确界公理”或其等价命题。据说国外很多教材已经放弃了这三种定义方式，直接用公理代之，直接了当。因为反正也要引用这个公理或等价形式，为严格起见，干脆直接引用就完了。其它都是多余的。“上确界”本身就是极限的等价命题。这也说明，极限法涉及的不可达极限，就算是常规的，也就是不涉及分母为0与否的，也是规定出来的，不是什么真正意义的求出来的。

对于第二点，前期论文有详述。极限法求导，是因为在0点没有合理的函数值（因为函数值为0/0），因此才“定义”该函数在0点无定义。如此，分母不再为0，可以约分消去分母上的自变量。没了自变量，自然在自变量趋于0时，其不可达极限值不可能再有分母为0的情况，因此会有合理的极限值。于是才能又把这个极限值定义成导数。可居然谁都没有注意到，这是一种只知其一、不知其二的推导。理由很简单：既然0点函数无定义，分母不为0，可以（仅仅是“可以”！不是“必须”）消去分母上的自变量再求极限。那既然在同一个条件分母不为0下，既然不为0，那么不消这个分母直接求极限就不可以了吗？分母不为0，并不意味着只能消去这个不为0的分母才能求极限。对求极限这一点而言，消分母不是必要条件。只是对求非0/0型的合理的极限而言，它才是必要条件。但我们不是还没有证明在0点就一定有非0/0型的合理的极限值吗？何以能未加证明地一口咬定0点一定有非0/0型的合理的极限值的？这是典型的逻辑上的因果倒置。更何况我们还有同样的理由：既然自变量在0点无定义，也就是不为0，我们是不是也同样可以在原本没有分母的函数上乘以一个“自变量/自变量”（即通常写为△x/△x的），以加上一个自变量△x的分母后，再求极限，而得到一个不合理的、但与其函数值一致的极限值0/0？自变量不为0或在0点无定义，是可以求出0点合理的（分母不为0的，非0/0型的）不可达极限值的充分必要条件吗？当然不是。因此，极限法求导，根本就是错的，仍然会有贝克莱悖论。说明其在0点的不可达极限值与其函数值一样，都是0/0。换一个说法，分母上的那个自变量，如果想要通过约分或除法消去它（即是使得△x/△x=1/1=1或△x/△x→1/1=1），其充分必要条件是不但要不允许△x=0（条件△x≠0），也要不能有极限△x→0。如此，在这个前提下，如何还能求出△x→0的不可达极限来？而传统极限法微积分求导（所谓的“第二代微积分”、标准分析），却正是先通过约分或除法，消去了分母上的自变量△x，再去求△x→0的不可达极限的。这是把一个原本是“绝对不可达极限”，改换成立一个“相对不可达极限”，其实就是改成了“可达极限”，也就是“函数值”（详细的讨论见下面的第10节），这在逻辑上叫“偷换概念”、“因果倒置”、“循环论证”等等。

由于极限法微积分求导统治数学界多年，竭力维护其权威甚至已经不单单是个学术问题，而成了一个维护一干学者、教师的“面子”、声誉问题，因此预计尽管已经讨论的如此充分，仍会有人继续辩解说：由于在0点的极限为0/0，所以不可以，因此必须消去分母再求极限值云云。如果这个论点可以成立，那牛顿、莱布尼兹的第一代微积分早就没有问题了，何劳第二代微积分极限法登场？后者不是多余吗？因为同样的理由，不是也可以说，“由于在0点的函数值为0/0，所以不可以，因此必须消去分母再求函数值云云”吗？这里仅仅把原先的“极限值”改成了“函数值”而已。既然第二代微积分成立的理由是否定那个“消分母再求函数值”的，理由是它求的实际是有分母的函数的函数值。那在同样的理由下，第二代微积分的“消分母再求极限值”，不是它实际上求的也是有分母的函数的极限值吗？这从任何一本微积分教科书的求导公式中都可以查到。求导公式的原始式中，都是有分母的（分母上有自变量的）。可见想要厚此薄彼，在逻辑上行不通的。

这里暂且再举一个通俗的比喻予以说明：一个小女孩为她的玩偶穿什么衣服而发愁，定不下来（相当于“不定式”0/0）.结果她妈说：玩偶没有感觉，不怕冷，所以可以给它脱些衣服穿夏装（相当于先消分母，取极限）。但是，同样的理由，玩偶无感觉，不知冷暖，不也说明它不怕热，并以此为理由，给玩偶多加些衣服着冬装（相当于先加分母，再取极限）吗？

笔者最后强调：对导数及瞬时速度的新定义，和引出的求导方法或对牛顿法的诠释，与极限法求导在逻辑上并不相关。也就是即使极限法求导对，也不意味着笔者提出的定义和求导方法就错。而如果极限法求导错，则笔者提出的诠释及方法就是唯一正确的。这里面的逻辑关系是如此的。说白了，就是不要试图用为极限法求导的正确性辩护来否定笔者提出的导数新定义和在其基础上的求导新方法。

2、相对不可达极限与绝对不可达极限

小节标题的概念及名词，为笔者首先提出。但实际是显而易见的，基本思想笔者早期论文就提出过。

比如我们有函数2x+△x，其在△x=0时的函数值是2x，极限值也是2x，无疑是可达极限。但如果我们定义这个函数的定义域不包括△x=0点，也就是该函数必须满足△≠0的条件，则该函数在△x=0点无定义，显然不再会等于2x，但其极限值仍旧是2x。当然这个极限值是不可达极限。同样，如果我们有函数(2x+△x)△x/△x，此函数在△x=0点当然无定义，没有函数值，也就是其条件是△≠0，而在其余任何点，其数值都等于2x+△x。传统认为，既然在△≠0时，这两个函数数值相等，同时又都在△x=0点无定义，那么，(2x+△x)△x/△x在△x=0点的不可达极限值，就应该等于2x+△x在△x=0点的不可达极限值，也就是2x（注意，这里说的是传统看法如此，其对错是另一回事）。换言之，传统上认为或隐含地认为（默认，不言自明，没认识到，理所当然），这两个函数没有区别，于是在△x=0点都无函数值，但都有不可达极限值2x。事实果真如此吗？当然不是。理由笔者系列文章及上文都分析了，不必重复。这里仅从另一个角度提出另一个有力论据：2x+△x，就这个函数自身的性质，在△x=0点当然可以有定义，无任何问题。其函数值就是2x。但函数的定义当然是任由我们的，如果我们“强行”定义这个函数必须满足△≠0的条件，当然可以。此时就自然没有了函数值2x，但不可达极限值仍旧是2x。这种类型的不可达极限，也就是按函数的性质本身，在某点本可以有函数值和可达极限值，但由于种种原因，我们取消该函数在该点的定义，也就是其定义域不再包括该点，这种不可达极限，我们谓之“相对不可达极限”。但对于函数(2x+△x)△x/△x，可以看到，此函数按其性质本身，在△x=0点本来就根本不可能有定义，不用我们再去做什么“强行”定义。其定义域不包括△x=0点（也就是必须以△≠0为前提条件），是这个函数的性质所固有的。2x根本就没有可能是这个函数在△x=0点的函数值。这种函数在△x=0点的不可达极限，如果还能有的话，谓之“绝对不可达极限”。明确地说，所谓“相对不可达极限”，比如函数2x+△x在△x=0点的“无定义”本身，是被人为“定义”出来的。而“绝对不可达极限”，比如函数(2x+△x)△x/△x在△x=0点的无定义，是这个函数的性质本身决定的。这是一个根本性的区别，大为以往论者所忽略。我们说，如果两个函数绝对相等，其所有性质都必须相等。某函数在某点可以具有相对不可达极限或绝对不可达极限，是该函数的伴随性质之一。换言之，如果两个函数在某点的极限，一个是相对不可达极限，另一个是绝对不可达极限，那么，无疑这两个函数是不同的。应该被视为是两个函数。因此，在△x=0点无定义的前提下，虽然在△≠0的条件下，2x+△x与(2x+△x)△x/△x数值一样，但它们也不是同一个函数，因为在△x=0它们的极限，一个是相对不可达极限，一个是绝对不可达极限。至于函数(2x+△x)△x/△x的在△x=0点的绝对不可达极限是什么？是不是还是由函数2x+△x求得的在△x=0点的相对不可达极限值2x？直观上就不可能一样。如有谁非说一样，是不是要给一个证明？也就是要证明：消去分母求出的在△x=0点的极限，就是原本要求的、未消去分母上自变量的增量比值函数在△x=0点的极限。而这个证明，只能是通过把(2x+△x)△x/△x分母上的△x消去才可能得到（如不消去，极限是0/0，与该点的函数值一致）。但如此一来，不是因果倒置的循环论证了吗？凭什么非消分母？不消不行？反正也有在△≠0的条件，同样理由，不消分母当然可以，因为分母不会为0了，如此，不是也可以求得不可达极限为0/0（也就是根本没有合理的极限值）吗？实际上，前文笔者已经论证了，它的绝对不可达极限就是0/0，与其函数值是一致的。明白说，就是没有有意义的极限值。与没有有意义的函数值相一致。

总之，如果0点不包括在函数的定义域内，则在非0点，才有有分母与无分母两个函数的一致性，即函数值一样。于是在同样的非0点，二者的可达极限值也一样。这个无问题。但在0点，也就是函数定义域外的点，二者的极限值是否还一样？能否由于在非0点有分母与无分母的函数值无区别，就说无分母的函数在定义域外的0点的极限值（相对不可达极限），就是有分母的函数在定义域外的0点的极限值（绝对不可达极限）？比如二次函数下的2x？如果说就是，那是否应该给出一个证明来证明一下二者求出的在0点的极限值是一样的2x？或者说既然二者一样，那么，我们由有分母的函数直接求0点的极限值，就可以得到无分母的函数在0点的极限2x吗？当然不行，因为此时直接求是求不出2x的，此时得到的是与其函数值一样的极限值0/0（尽管这是个不合理的、无意义的极限值）。其本质就是，既然在非0点有分母与无分母的函数是一样的，那么，就不止是可以通过约分消去分母，也可以是不去约分不消分母。这才叫真正的“二者一样”。更何况原本没有分母，我们还可以加上分母。因为反正在0点也是无定义的。有没有分母都无关系。不是必须没有分母，必须消去分母，数学中没有这个规定。没有有分母必须消去这个规定。

结论，对(2x+△x)△x/△x求在△x趋于0时的极限值（绝对不可达极限值），是不可能通过消去分母上的△x后得到的2x+△x的在△x趋于0时的极限值（相对不可达极限）来得到有意义的极限值2x的。

经常见到有一种说法，说是古希腊的芝诺悖论，以往解决不了，但在第二代微积分的极限法求导下就被圆满解决了云云。实际上，笔者在其它文章中早就论证了，这个讲法不成立。与其说用极限法的不可达极限来论证芝诺悖论的谬误，还不如说芝诺悖论恰好论证了极限法求导的谬误。芝诺悖论的表述，等于不把静止参照系定义在乌龟身上，也就是乌龟是运动着的，于是，问题看起来复杂了一些，把人们“绕”进去了。这是因为，如果我们把静止参照系固定在乌龟身上，那么，阿克琉斯或兔子，就相当于永远也到达不了这个乌龟“点”，却可以无限接近这个点，或说以乌龟“点”为其不可达极限。这与中国古代庄子的“日取其半，万世不竭”是不谋而合的。但事实上，当然阿克琉斯或兔子是绝对可以到达乌龟那一点的。因此芝诺悖论的表述当然是错的，与之实际是一回事的极限法微积分求导，也一样是错的。如果只是说能否到达，这是一个前面说的“相对不可达极限”问题。因为原本可以追上、到达，却偏去定义不能到达、追上，这个“不可达”是定义出来的。但是如果不把静止参照系定义在乌龟身上，则如果问：阿克琉斯或兔子，在追上乌龟哪一个“瞬时”，它们的相对速度（瞬时速度）是多少？这个问题，就是一个“绝对不可达极限”问题。这实际就是芝诺的“飞矢不动”悖论。因为前述理由，有没有时间长度（时段为0），是无法直接定义速度乃至瞬时速度的。

坦率而言，只有在笔者提出的瞬时速度定义和导数定义的基础上，芝诺悖论才可以彻底得到澄清。

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