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Zmn-0512 薛问天：讨论数学问题要用严格推理，评范秀山《0508》。
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Zmn-0512 薛问天：讨论数学问题要用严格推理，评范秀山《0508》。
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对范秀山先生《0508》两篇文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
讨论数学问题要用严格推理，
评范秀山《0508》。
薛问天
范秀山博士的两篇文章，反映他从数学和逻辑上反驳不了我对他的批评。
一，我们大家都知道，我们是在讨论数学问题。
我在《0503》批评的是他把用10 x，0.1x两种方法证明0.999...=1的正确证明，说成是错误的【数学魔术】。那么在他的【驳...】的文章中，就应具体谈谈他对这些问题的看法。可是他的《0508》的第一篇文章【驳...】竟然对这些数学问题，一个都未提到。说的却是没有任何根据的空头议论。什么【瞒天过海、颠倒黑白、强词夺理、胡搅蛮缠。】
对于我说的“我们定义，「无穷级数的和S」等于「无穷级数的部分和序列 S1，S2，……，Sn，……」当n → ∞时的极限。”
范博士竟然对【我们】提出了质问: 【请问薛先生，这里的“我们”是谁？您说的“我们”是否包括林益先生、李鸿仪先生、黄小宁先生、侯小山先生、丁某某先生、曹俊云先生呢？您最好先打听一下，免得闹出笑话。至于我么，我声明，您那个“我们”里面不包括我。】
这太有趣了，你如果对这个公认的定义认为不合适，你可以提出你的反对理由，或提出你认为合适的定义来，可在这里竟然空洞地质问起提出定义的【我们】来了。
范博士说【按照薛先生等官科们给出的“定义”，0.999… 直接就被“定义”为 1，哪里用得着什么证明！？】
范博士的这个说法不对。我们给出的定义是①「无穷小数是无穷级数」，和②「无穷级数的和等于部分和序列的极限」(似乎范博士承认①但不承认②)。然后用定义①和②，可采用各种方法证明0.999...=1。包括你提出的【10x】和【0.1x】这两个证明。
范博士说【我为什么坚决反对薛先生的这个“定义”呢？因为它将导致 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = …… 这样的荒谬推论，将导致数学失去“确定性”，】
我查了一下，他的这个错误观点同这两个定义①和②一点关系都没有。范博士是在《极限理论十大罪状》的四中说了这个意见。他说【无穷大加上无穷大，其结果仍然是无穷大；无穷大加上一个常数，其结果仍然是无穷大。即∞ + ∞ = ∞，∞ + A = ∞。根据上述规则，我们可以写出下列式子∞ + 1 = ∞，∞ + 2 = ∞，。∞ + 3 = ∞，∞ + 4 = ∞，∞ + 5 = ∞......。对上述各式化简，两边同时减去无穷大∞，得到正面的式子: 1 = 0，2 = 0，3 = 0，4 = 0，5 = 0......。既然1、2、3、4、5都等于0，当然有1 = 2 = 3 = 4 = 5。】
关于这个错误，我已在《0373》(四)，∞是无限极限(无穷大)的符号，不是数。做了评论。〖由于∞不是数，更不是自然数，把它当作自然数一样來进行算术演算，当然是错误的。这不是极限理论的错，极限理论中没有这些内容，这是这位同学自以为是随心所欲的错误推论。〗
后來范博士又在跟帖中说【 我们考察一个东西，不要孤立地看待它，一定要看它的来世今生。∞ 怎么来的？是从一个数列来的：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10、……100、……、1000、……、10000、 ……、 ∞
无穷大从数演化而来，它具有数的全部特征，是数的代表，数的发言人。普通数所具有的属性它都有，普通数不具有的属性它也有（比如它的运动性）。
说∞不是数，等于说班长不是学生，白马不是马，黑人不是人、省长不是官员，丈夫不是男人，这是标准的诡辩。】
我在《0421》中给了评语，〖薛评。「说∞不是数」这说的是事实。在数学中没有这个数。数学是个非常严谨的科学。所有的数系都有严格的定义。在数学中学过，有自然数，整数，有理数，实数，复数，...... 等各种各样的数系。请问∞是哪个数系中的数？只有数系中的数之间才有加減等四则运算。请问你所作的运算是哪个数系的运算？全都没有。你所说的∞是数，以及相应的运算和推理，全部是你自己的主观臆想。你用这些主观臆想所推出的错误结论。【1=2=3=......】，说明不了【数学乱得一塌糊涂】，因为数学中没有这些东西。这只能说明你把∞当作数，主观臆想的这些运算和推理【乱得一塌糊涂】。〗范博士对这些评论无言以对。而这次又用此來反对有关无穷小数和无穷级数的定义。说这是【我为什么坚决反对薛先生的这个“定义”】的理由，这岂不是逻辑上的大混乱吗？
二，范秀山博士在他的【驳...】的文章中， 没有具体谈他对我所批评的那些问题的反驳意见。
看來是反驳不了。因为这太明:显了，这里无穷小数是有有限极限的，他用极限是无穷大的序列不能用定理K的错误，來反驳有有限极限的序列使用定理K，当然反驳不了。于是又找了个理由，【产生了新的信息，违反了大众的共识，】，【等号两侧的总项数并不相同】。我们后面來具体分析。
什么叫方程的等价？用的是逻辑推理，如果由方程A从逻弭上推出B，则A的解肯定是B的解。如果由方程B:从逻弭上上推出A，则B:的解肯定是A的解。如果能由A推出B，又能从B堆出A，则A同B等价，A和B的解是一样的。公式(1)可推出(2),(3),(4) ，而(2),(3),(4)又可推出(1) ，所以这四个方程等价。
虽然【一个方程只能表达有限的信息】，【没有任何新的信息】，说这是判断公式等价的标准，也不能说错，但这只是一种非形式的描述，不能作为公式等价的严格数学定义。因而说【如果有人通过特殊手段，对式（1）进行变换，得出有异于式（1）的新结论，那么可以肯定，新结论一定是错误的。】就不好判断。什么叫【有异于式（1）的新结论】，在数学上并不严格。如果从逻辑上能正确地由(1)推出(2)，又由(2)推出(1)，那么(1)同(2)肯定等价。所以关键是正确的逻辑推理。
这里有一个定理，如果有公式α=β，有函数f(t),α和β在f(t)定义域内，则由公式α=β可推出公式f(α)=f(β)。
例如用f(t):=2t，由x=1可推出2x=2。用函数f(t)=t/2，由2x=2即可推出x=1。即(1)(2)等价。同理，用f(t)=3t+1，由x=1可推出3x+1=4，用f(t)=(t-1)/3，可推出x=1。即(1)同(3)等价。
以上说明要使公式等价，就使用逻辑推理。只要逻辑推理是正确的，得出的公式等价就没有错。
范博士在文中提出了一种对0.999...=1的证明。证明如下。
【在数学中，无限循环小数0.999…就是一个无穷级数和，即
0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+… （5）
式（5）是大众共识，没有任何疑问。一位魔术师上场。他令
0.999…= x （6）
0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x （7）
对式（7）左边第2项之后的其他项提取公因式0.1
0.09+0.009+0.0009+…=0.1（0.9+0.09+0.009+0.0009+…） （8）
0.09+0.009+0.0009+…=0.1 x （9）
将式（9）代入式（7），得到
0.9+0.1x = x （10）
x =1 （11）】
范博士根据什么说这个证明是错误的呢？他是这么说的。
【根据前面的分析可知，式（6）是一个独立的方程，无论如何变换，也不会产生新的信息。但是，魔术师通过式（7）~式（11）的一系列操作，产生了新的信息，违反了大众的共识，因此一定是错误的。】
他说的这个根据显然是不严格的。什么叫【产生了新的信息，违反了大众的共识，】范博士并没有具体说出【产生了新的信息】是什么？怎么【违反了大众的共识】，所以由此來断定证明有错，显然没有根据。
于是后面又接着说【不妨将式（5）等号的右侧的项数记为N项（或无穷项）。式（8）等号左侧有N-1项，等号右侧的括号内也是N-1项。但是到了式（9），等号左边仍然只有N-1项，但等号右边被悄悄替换成了0.1x。0.1 x有多少项呢？当然与x一样多：N项。
那么问题来了：在式（9）中，等号左侧N-1项，右侧N项。
尽管前若干项看起来似乎完全相同，能够“一一对应”，但由于等号两侧的总项数并不相同，式（9）当然不成立。
所以，式（9）~式（11）全部错误。】
这些评论是毫无道理的。这是无穷序列，根本不存在N不等于N-1，等号两侧的总项数并不相同的问题。因而范博士提出的【产生了新的信息，违反了大众的共识，】和【总项数并不相同的问题】根本否定不了这个证明。
当然这个证明的叙述并不严格。我可以更加严格地叙述如下。使用严格的逻辑推理，如果你找不出推理的毛病，你就必须承认证明的正确。
除了上次讲的两个定理，
【定理+-x】两个序列，a1,a2,...,an,...和b1,b2,...,bn,...。如果当n→∞时，an→A，bn→B，其中A和B是有限值，则当n→∞时，(an+bn)→A+B，(an-bn)→A-B，(anxbn)→AxB。
【定理K】当序列an→A(n→∞)，而且A是有限极限时，对任何k，其乘积的极限等于极限的乘积，:即当n→∞时，有kan→kA。
我们再介绍一个定理。
【定理A】无穷序列S1,S2,S3,... 的极限等于S，当且仅当无穷序列S2,S3,S4,...的极限等于S。
【证明】如果无穷序列S1,S2,S3,... 的极限等于S。则对任何ε>0，存在N，当n>N时有丨Sn-S丨<ε。那只要选同样的N就可证明无穷序列S2,S3,S3,...的极限也等于S。反之，如果无穷序列S2,S3,S4,...的极限等于S，对任何ε>0，存在N，当n>N时有丨Sn-S丨<ε。那只要选比此N大1 的N就可证明无穷序列S1,S2,S3,...的极限也等于S。证毕。
我们现在來考查范博士提出的证明。
0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+… （5）
范博士已认可。实际上根据无穷级数的和等于部分和序列的极限，还可推出
0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+…
=Lim｛0.9,0.99,0.999,...｝
由于这是一个递增和有界的序列，它的有限极限是一定存在的。所以令此极限等于x，写成
0.999…= x （6）
0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x （7）
而且可以写成x=0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+…。即
x=Lim｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝。
而且根据【定理+-x】
x =Lim｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝
=Lim｛0.9, 0.9, 0.9,...｝+Lim｛0.0, 0.09. 0.099,...｝再根据【定理A】，序列的第1项0.0可以去掉而极限不变。
x=0.9+Lim｛0.09, 0.099, 0.0999, ...｝。(式A)
另一方面知 :
0.09+0.009+0.0009+…=Lim｛0.09, 0.099, 0.0999, ...｝
=0.1 X Lim｛0.9, 0.99, 0.999,...｝(根据【定理K】)
=0.1 X（0.9+0.09+0.009+0.0009+…）
=0.1X (0.999...)=0.1x。
这就是对范博士的(8),(9)式的严格证明。(8),(9)式为：
0.09+0.009+0.0009+…=0.1（0.9+0.09+0.009+0.0009+…） （8）
0.09+0.009+0.0009+…=0.1 x （9）
此式可进一步改写为
Lim｛0.09, 0.099, 0.0999, ...｝=0.1 x 。(式B)
最后的几步，将（式B）代入（式A），【得到
0.9+0.1x = x （10）
x =1 （11）】使0.999...=1得证。
结论
以上的证明经过严格的推理。找不出逻辑错误就应承认证明的正确。也就是说通过以上分析可以得出如下结论。
(1)，由于无穷小数0.999...，作为无穷级数，它的部分和序列是递增和有界序列，有确定的有限极限存在。所以令0.999...= x，是完全合理的。
(2)，根据极限理论中的【定理+-x】和【定理A】可证
x=0.9+0.09+0.009+...
=0.9+Lim｛0.09, 0.099, 0.0999, ...｝。(式A)
即x等于无穷级数的第1项0.9+第2项后的无穷级数的和。
(3)，再根据极限理论中的【定理K】证明，第2项后的无穷级数的和等于0.1乘上0.999...。即
Lim｛0.09, 0.099, 0.0999, ...｝=0.1 x 。(式B)
(4)，最后将(式B)代入(式A)，即得出x=0.9+0.1x，证明了x=1。
(5)，以上的所有结论都是根据相应理论，严格地通过逻辑推理得出的证明。并没有范博士提出的【产生了新的信息，违反了大众的共识。】
(6)，极限理论的【定理A】说明无穷序列的极限，既使去掉开始的若干项，它的极限是不会改变的。范博士所指的【总项数并不相同的问题】根本不是问题，它否定不了证明的正确性。
可悲的是，时至今日，被数学家们严格证明的数学结论“0.999…=1”，仍然被范秀山博士认为是【骗人的数学魔术】。这是极其令人痛心的。
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