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Zmn-0512 薛问天:讨论数学问题要用严格推理,评范秀山《0508》。

已有 768 次阅读 2021-4-1 13:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0512 薛问天:讨论数学问题要用严格推理,评范秀山《0508》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对范秀山先生《0508》两篇文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

 

讨论数学问题要用严格推理,

评范秀山《0508》。

  薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg范秀山博士的两篇文章,反映他从数学和逻辑上反驳不了我对他的批评。

一,我们大家都知道,我们是在讨论数学问题。

我在《0503》批评的是他把用10 x,0.1x两种方法证明0.999...=1的正确证明,说成是错误的【数学魔术】。那么在他的【驳...】的文章中,就应具体谈谈他对这些问题的看法。可是他的《0508》的第一篇文章【驳...】竟然对这些数学问题,一个都未提到。说的却是没有任何根据的空头议论。什么【瞒天过海、颠倒黑白、强词夺理、胡搅蛮缠。

对于我说的“我们定义,「无穷级数的和S」等于「无穷级数的部分和序列 S1,S2,……,Sn,……」当n → ∞时的极限。”

范博士竟然对【我们】提出了质问: 【请问薛先生,这里的“我们”是谁?您说的“我们”是否包括林益先生、李鸿仪先生、黄小宁先生、侯小山先生、丁某某先生、曹俊云先生呢?您最好先打听一下,免得闹出笑话。至于我么,我声明,您那个“我们”里面不包括我。

这太有趣了,你如果对这个公认的定义认为不合适,你可以提出你的反对理由,或提出你认为合适的定义来,可在这里竟然空洞地质问起提出定义的【我们】来了。

范博士说【按照薛先生等官科们给出的“定义”,0.999… 直接就被“定义”为 1,哪里用得着什么证明!?

范博士的这个说法不对。我们给出的定义是①「无穷小数是无穷级数」,和②「无穷级数的和等于部分和序列的极限」(似乎范博士承认①但不承认②)。然后用定义①和②,可采用各种方法证明0.999...=1。包括你提出的【10x】和【0.1x】这两个证明。

范博士说【我为什么坚决反对薛先生的这个“定义”呢?因为它将导致 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = …… 这样的荒谬推论,将导致数学失去“确定性”,

我查了一下,他的这个错误观点同这两个定义①和②一点关系都没有。范博士是在《极限理论十大罪状》的四中说了这个意见。他说【无穷大加上无穷大,其结果仍然是无穷大;无穷大加上一个常数,其结果仍然是无穷大。即∞ + ∞ = ∞,∞ + A = ∞。根据上述规则,我们可以写出下列式子∞ + 1 = ∞,∞ + 2 = ∞,。∞ + 3 = ∞,∞ + 4 = ∞,∞ + 5 = ∞......。对上述各式化简,两边同时减去无穷大∞,得到正面的式子: 1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0......。既然1、2、3、4、5都等于0,当然有1 = 2 = 3 = 4 = 5。

关于这个错误,我已在《0373》(四),∞是无限极限(无穷大)的符号,不是数。做了评论。〖由于∞不是数,更不是自然数,把它当作自然数一样來进行算术演算,当然是错误的。这不是极限理论的错,极限理论中没有这些内容,这是这位同学自以为是随心所欲的错误推论。〗

后來范博士又在跟帖中说【 我们考察一个东西,不要孤立地看待它,一定要看它的来世今生。∞ 怎么来的?是从一个数列来的:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10、……100、……、1000、……、10000、 ……、 ∞

无穷大从数演化而来,它具有数的全部特征,是数的代表,数的发言人。普通数所具有的属性它都有,普通数不具有的属性它也有(比如它的运动性)。

说∞不是数,等于说班长不是学生,白马不是马,黑人不是人、省长不是官员,丈夫不是男人,这是标准的诡辩。

我在《0421》中给了评语,〖薛评。「说∞不是数」这说的是事实。在数学中没有这个数。数学是个非常严谨的科学。所有的数系都有严格的定义。在数学中学过,有自然数,整数,有理数,实数,复数,...... 等各种各样的数系。请问∞是哪个数系中的数?只有数系中的数之间才有加減等四则运算。请问你所作的运算是哪个数系的运算?全都没有。你所说的∞是数,以及相应的运算和推理,全部是你自己的主观臆想。你用这些主观臆想所推出的错误结论。【1=2=3=......】,说明不了【数学乱得一塌糊涂】,因为数学中没有这些东西。这只能说明你把∞当作数,主观臆想的这些运算和推理【乱得一塌糊涂】。〗范博士对这些评论无言以对。而这次又用此來反对有关无穷小数和无穷级数的定义。说这是【我为什么坚决反对薛先生的这个“定义”】的理由,这岂不是逻辑上的大混乱吗?

 

二,范秀山博士在他的【驳...】的文章中, 没有具体谈他对我所批评的那些问题的反驳意见。

看來是反驳不了。因为这太明:显了,这里无穷小数是有有限极限的,他用极限是无穷大的序列不能用定理K的错误,來反驳有有限极限的序列使用定理K,当然反驳不了。于是又找了个理由,【产生了新的信息,违反了大众的共识,】,【等号两侧的总项数并不相同】。我们后面來具体分析。

什么叫方程的等价?用的是逻辑推理,如果由方程A从逻弭上推出B,则A的解肯定是B的解。如果由方程B:从逻弭上上推出A,则B:的解肯定是A的解。如果能由A推出B,又能从B堆出A,则A同B等价,A和B的解是一样的。公式(1)可推出(2),(3),(4) ,而(2),(3),(4)又可推出(1) ,所以这四个方程等价。

虽然【一个方程只能表达有限的信息】,【没有任何新的信息】,说这是判断公式等价的标准,也不能说错,但这只是一种非形式的描述,不能作为公式等价的严格数学定义。因而说【如果有人通过特殊手段,对式(1)进行变换,得出有异于式(1)的新结论,那么可以肯定,新结论一定是错误的。】就不好判断。什么叫【有异于式(1)的新结论】,在数学上并不严格。如果从逻辑上能正确地由(1)推出(2),又由(2)推出(1),那么(1)同(2)肯定等价。所以关键是正确的逻辑推理。

这里有一个定理,如果有公式α=β,有函数f(t),α和β在f(t)定义域内,则由公式α=β可推出公式f(α)=f(β)。

例如用f(t):=2t,由x=1可推出2x=2。用函数f(t)=t/2,由2x=2即可推出x=1。即(1)(2)等价。同理,用f(t)=3t+1,由x=1可推出3x+1=4,用f(t)=(t-1)/3,可推出x=1。即(1)同(3)等价。

 以上说明要使公式等价,就使用逻辑推理。只要逻辑推理是正确的,得出的公式等价就没有错。

 

范博士在文中提出了一种对0.999...=1的证明。证明如下。

在数学中,无限循环小数0.999…就是一个无穷级数和,即

0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+…             (5)

式(5)是大众共识,没有任何疑问。一位魔术师上场。他令

0.999…= x                          (6)

0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x                 (7)

对式(7)左边第2项之后的其他项提取公因式0.1

0.09+0.009+0.0009+…=0.1(0.9+0.09+0.009+0.0009+…)    (8)

0.09+0.009+0.0009+…=0.1 x                 (9)

将式(9)代入式(7),得到

0.9+0.1x = x                         (10)

x =1                           (11)

 

范博士根据什么说这个证明是错误的呢?他是这么说的。

根据前面的分析可知,式(6)是一个独立的方程,无论如何变换,也不会产生新的信息。但是,魔术师通过式(7)~式(11)的一系列操作,产生了新的信息,违反了大众的共识,因此一定是错误的。

他说的这个根据显然是不严格的。什么叫【产生了新的信息,违反了大众的共识,】范博士并没有具体说出【产生了新的信息】是什么?怎么【违反了大众的共识】,所以由此來断定证明有错,显然没有根据。

于是后面又接着说【不妨将式(5)等号的右侧的项数记为N项(或无穷项)。式(8)等号左侧有N-1项,等号右侧的括号内也是N-1项。但是到了式(9),等号左边仍然只有N-1项,但等号右边被悄悄替换成了0.1x。0.1 x有多少项呢?当然与x一样多:N项。

那么问题来了:在式(9)中,等号左侧N-1项,右侧N项。

尽管前若干项看起来似乎完全相同,能够“一一对应”,但由于等号两侧的总项数并不相同,式(9)当然不成立。

所以,式(9)~式(11)全部错误。

这些评论是毫无道理的。这是无穷序列,根本不存在N不等于N-1,等号两侧的总项数并不相同的问题。因而范博士提出的【产生了新的信息,违反了大众的共识,】和【总项数并不相同的问题】根本否定不了这个证明。

当然这个证明的叙述并不严格。我可以更加严格地叙述如下。使用严格的逻辑推理,如果你找不出推理的毛病,你就必须承认证明的正确。

除了上次讲的两个定理,

【定理+-x】两个序列,a1,a2,...,an,...和b1,b2,...,bn,...。如果当n→∞时,an→A,bn→B,其中A和B是有限值,则当n→∞时,(an+bn)→A+B,(an-bn)→A-B,(anxbn)→AxB。

【定理K】当序列an→A(n→∞),而且A是有限极限时,对任何k,其乘积的极限等于极限的乘积,:即当n→∞时,有kan→kA。

我们再介绍一个定理。 

【定理A】无穷序列S1,S2,S3,... 的极限等于S,当且仅当无穷序列S2,S3,S4,...的极限等于S。

【证明】如果无穷序列S1,S2,S3,... 的极限等于S。则对任何ε>0,存在N,当n>N时有丨Sn-S丨<ε。那只要选同样的N就可证明无穷序列S2,S3,S3,...的极限也等于S。反之,如果无穷序列S2,S3,S4,...的极限等于S,对任何ε>0,存在N,当n>N时有丨Sn-S丨<ε。那只要选比此N大1 的N就可证明无穷序列S1,S2,S3,...的极限也等于S。证毕

 

我们现在來考查范博士提出的证明。

0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+…             (5)

范博士已认可。实际上根据无穷级数的和等于部分和序列的极限,还可推出

0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+…

=Lim{0.9,0.99,0.999,...}

由于这是一个递增和有界的序列,它的有限极限是一定存在的。所以令此极限等于x,写成

0.999…= x                          (6)

0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x                 (7)

而且可以写成x=0.999… = 0.9+0.09+0.009+0.0009+…。即

x=Lim{0.9, 0.99, 0.999, ...}。

而且根据【定理+-x】

x =Lim{0.9, 0.99, 0.999, ...}

=Lim{0.9, 0.9, 0.9,...}+Lim{0.0, 0.09. 0.099,...}再根据【定理A】,序列的第1项0.0可以去掉而极限不变。

x=0.9+Lim{0.09, 0.099, 0.0999, ...}。(式A)

另一方面知 : 

0.09+0.009+0.0009+…=Lim{0.09, 0.099, 0.0999, ...}

=0.1 X Lim{0.9, 0.99, 0.999,...}(根据【定理K】)

=0.1 X(0.9+0.09+0.009+0.0009+…)

=0.1X (0.999...)=0.1x

这就是对范博士的(8),(9)式的严格证明。(8),(9)式为:

0.09+0.009+0.0009+…=0.1(0.9+0.09+0.009+0.0009+…)    (8)

0.09+0.009+0.0009+…=0.1 x                 (9)

此式可进一步改写为

Lim{0.09, 0.099, 0.0999, ...}=0.1 x 。(式B)

最后的几步,将(式B)代入(式A),【得到

0.9+0.1x = x                         (10)

x =1                           (11)】使0.999...=1得证。

 

结论

以上的证明经过严格的推理。找不出逻辑错误就应承认证明的正确。也就是说通过以上分析可以得出如下结论。

(1),由于无穷小数0.999...,作为无穷级数,它的部分和序列是递增和有界序列,有确定的有限极限存在。所以令0.999...= x,是完全合理的。

(2),根据极限理论中的【定理+-x】和【定理A】可证

x=0.9+0.09+0.009+...

=0.9+Lim{0.09, 0.099, 0.0999, ...}。(式A)

即x等于无穷级数的第1项0.9+第2项后的无穷级数的和。

 (3),再根据极限理论中的【定理K】证明,第2项后的无穷级数的和等于0.1乘上0.999...。即

Lim{0.09, 0.099, 0.0999, ...}=0.1 x 。(式B)

(4),最后将(式B)代入(式A),即得出x=0.9+0.1x,证明了x=1。

(5),以上的所有结论都是根据相应理论,严格地通过逻辑推理得出的证明。并没有范博士提出的【产生了新的信息,违反了大众的共识。

(6),极限理论的【定理A】说明无穷序列的极限,既使去掉开始的若干项,它的极限是不会改变的。范博士所指的【总项数并不相同的问题】根本不是问题,它否定不了证明的正确性。

可悲的是,时至今日,被数学家们严格证明的数学结论“0.999…=1”,仍然被范秀山博士认为是骗人的数学魔术】。这是极其令人痛心的。

 



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