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Zmn-0511 反对伊战：回复 Zmn-0504
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Zmn-0511 反对伊战：回复 Zmn-0504
【编者按。下面是反对伊战先生的文章。是对林益先生《Zmn-0504》的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
回复 Zmn-0504
反对伊战
我先聊一聊序数和基数，使大家对序数和基数有一些直观的概念。
设想桌子上有一些苹果，有一个人叫张三，想知道如果他一天吃一个苹果，能吃多少天。他于是从左向右数了起来：1,2,3,4,5。这样，他得到了序数5。如果他换一种次序（比如从右向左或别的次序）数，仍然会得到5，当然，这是生活常识。由于不管按什么次序，只要一个不漏、无重复地数，都得到5，我们就得到了基数5的概念。我们说有5个苹果。对于有限个物体，不管按什么次序数，结果都一样，数学上对此是有证明的。对于自然数，序数、基数总是相等的，所以在中、小学我们不区分序数、基数的概念，统称为自然数。现在，假想我们数完了全体自然数，继续往下数：w （w 表omega）,w+1,w+2…这时候，数无穷集得到的结果就与数的次序有关。比如，数全体自然数之集，我们先按1,2,3…次序数，数完全体非零自然数，最后数0，我们得到序数w。如果，我们先按1,3,5…次序数，数完全体正奇数，然后按2,4,6…的序数，数完全体正偶数（对2我们数w, 对4我们数w+1，等等），最后数0，我们得到序数w+w，按别的次序数，我们还会得到别的序数。那么，全体自然数之集，元素个数是对少呢？ w? w+w? 或别的序数？康托规定元素个数是各种数法中得到的最小序数！这个最小序数被称为集合的基数。对于自然数之集，这个最小序数为w，所以自然数之集的基数为w。下面，我试着回答林益先生的问题
1 、按定义，如果一个集合X是一个传递集且X在属于关系下是一个良序集，则X被称为是一个序数。X是一个传递集指如果a属于b,b属于X，则a属于X。X在属于关系下是一个良序集指任给X的非空子集B,存在B中元b，b属于B中每一个b以外的元素。序数w被定义为全体自然数之后的第一个序数，是第一个无穷序数。2w=w。现实意义我不清楚。在公理集合论中，较少使用序数运算，一般使用基数运算。按定义10^w是所有10^n（这里，n取遍所有自然数）的上确界（最小公共上界），即10^w是满足大于等于所有10^n（这里，n为自然数）条件的最小序数。一个自然数不可能大于等于所有10^n（这里，n为自然数），所以这个最小序数至少是w，而w满足大于等于所有10^n（这里，n为自然数）的条件，所以这个最小序数是w，即 10^w=w。
2、一个序数，如果每一个小于它的序数都不能与它一 一对应，就称这个序数为基数。W是一个序数，小于它的序数都是自然数，不能与它一 一对应，所以w是一个基数。人们将最小的无穷基数记为 aleph _0，w是最小的无穷基数，所以 aleph _0=w。现在只知道 10的 aleph _0次方>w，人们并不清楚序数或基数是如何从w增长到10的 aleph _0次方的。连续统假设说的是 10的 aleph _0次方是w之后的第一个基数。10^w与10的 aleph _0次方没有什么联系。10的 aleph _0次方是实数集的基数。
3、[0,1]中所有无穷小数所成的集合的基数是10的 aleph _0次方。证明如下。按定义，10的 aleph _0次方是所有{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}上无穷列所成的集合的基数。所有{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}上无穷列所成的集合与[0,1]中所有无穷小数所成的集合之间有一个显然的对应，比如，把1415…对应到0.1415…。这个对应不是一 一对应，比如1999…对应到0. 1999…，2000…对应到0.2000…，两个不同元对应到同一个元（0. 1999…=0.2000…）。所以，我规定一个以999…结尾的无穷小数不等于一个以000…结尾的无穷小数。有了这个规定，上面的对应就是一 一对应了。所以我说：“10的 aleph_0次方，按定义是[0,1]中所有无穷小数所成的集合的基数，这里一个以999…结尾的无穷小数不等于一个以000…结尾的无穷小数，比如，0.1999…不等于0.2000…。”规定一个以999…结尾的无穷小数不等于一个以000…结尾的无穷小数，这并不改变[0,1]中所有无穷小数所成的集合的基数，因为以999…结尾的无穷小数和以000…结尾的无穷小数只有可数多个。所以，[0,1]中所有无穷小数所成的集合的基数是10的 aleph _0次方。
4、 0.2=0.2000…=0.1999…。0.1999…是个定值，省略号表示这里有无穷多个9，我们写不完。
5、我不清楚（1/2）+(1/4)+(1/8)+…是如何达到1的。这台机器在（1/2）秒时列出自然数0，在（3/4）秒时列出自然数1，在（7/8）秒时列出自然数2，等等。当时间流过了一秒时，这台机器已列出了所有自然数。存在所有自然数之集，在1秒时自然数列已被这台机器构造完成。这台机器数完了所有自然数，并不说明这台机器数到了最后一个自然数。并不存在最后一个自然数。
6、0不在数列1/2,1/4,1/8…中。这个数列能够构建完成。这个数列没有最后一项。
7、数学中的定义就是用已有概念去规定一个新名词的确切含义。只要定义是无矛盾的就行。数的概念来自于实际生活，不过，在近代，数已被集合所定义。
8、公理是在一个公理系统中人们进行推理所依据的一些命题。历史上自然数是原始概念，现代数学中自然数是由集合定义的。自然数概念的历史至少有几千年，远比公理集合论早。
9、 自然数0被定义为空集，而不是空集被定义为0。空集是由公理系统的公理来定义的。是集合定义数，而不是数定义集合。一些数学家喜欢把各种数学对象都定义为集合。0被定义为空集，1被定义为 {0}, 2被定义为 {0，1}，等等。这样做，通过一个有n个元素的集合来定义n，而且，在此定义下，对于两个序数a和b，a<b当且仅当a属于b，这样，在数学上较容易操作。
10、关于无穷小数兀-3=0.1415…，我叙述那么多是想说明数学对象是由集合定义的，把数学对象定义为集合后，用ZF公理系统中的公理证明这个集合存在。关于上述数列能写多少位，这个要靠计算机去算。兀-3是个无理数。兀是无理数，这是直到18世纪才被证明的。关于具体证明，要查数论书了。证明中用了大学数学。兀是无理数的结论在社会实践中没有应用。
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