博文
Zmn-0519 沈卫国： 微积分有关问题的讨论（三）
||
Zmn-0519 沈卫国： 微积分有关问题的讨论（三）
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
微积分有关问题的讨论（三）
一、在“相对不可达极限”与“绝对不可达极限”的视野下，看三明治定理（夹逼定理、挤压定理、收缩定理）使用中暴露出的问题
这里以所谓“微积分中一个最著名与有用的事实”（方源、王元语，微积分上，p60）
(Sinθ)/θ在θ→0时的极限等于1为例说明之。这个公式极其重要，但不得不说，按传统理解，对它的解释实际是错的。这与笔者指出的极限法微积分求导比如对二次函数的求导所犯的错误是一脉相承的。通常的做法是，在半径为1的圆弧上的某点，引垂线到θ=0的水平线，这个三角形的面积小于该点到θ=0的弧线所对应的面积，后者又小于斜边过该点的外切三角形的面积（示图在任何一本教科书中都可查到，比如方源、王元，微积分上，p61。此处省略）。由此关系，我们得到
Sinθcosθ＜θ＜ Sinθ/cosθ， 其中 0＜θ＜π/2
....................(1)
注意到，这个式子的各项是以小于号“＜”相连的，不是“小于等于”号“≤”。此外，θ≠0。
将上式各端除以因为θ≠0而非0的sinθ,并取倒数，我们可以得到
cosθ＜(Sinθ)/θ＜1/cosθ， 其中 0＜θ＜π/2，即亦有θ≠0
....................(2)
由于在θ→0时cosθ与1/cosθ的极限都是1,，因此由所谓的“三明治定理”，得到
(Sinθ)/θ在θ→0时的极限等于1的结论。
上述传统推导看似天衣无缝，但实际上不成立。这是由于(1)式中各端，尽管在θ=0点都无定义，但其在θ=0点的极限都是0，且都为上节所谓的“相对不可达极限”。即按式中出现的三角函数本身的定义，无论正弦函数还是余弦函数，在θ=0点都是有定义的。也就是有其函数值的。但(1)式中等于强行“规定”θ≠0，造成（1）式中各端的θ→0时的极限都是所谓的“相对不可达极限”，且都是0。显然，这种做法仅仅是为了各端除以非0的
Sinθ而得到（2）式所特设的。但此时，也就是对（1）式求θ→0时的极限，我们会得到不合理的0＜0＜0，这大概是传统作者没所没有想到的吧？这只能视为是一个矛盾。
更深入一些，（1）式原本应该是可以用“≤”号相连的，也就是定义域包括θ=0点。这是显然的。无论在θ=0还是θ→0时，都有0=0=0。这是三角函数本身所要求的。实际上，（1）式的几何意义，就是三个三角形的面积的大小比较，在θ=0时，三个三角形的面积都是0，怎么会有0＜0＜0？就是说极限θ→0也一样。三个面积的极限在θ→0都是0。不等号不成立。成立的应该是等号。但为了求得（2）式要除以非0的Sinθ（分母不能为0），就必须要求θ≠0，定义域不能包括θ=0点了。但实际上，这就造成了0＜0＜0的问题。
其次，更重要的，在（2）式的两端，cosθ与1/cosθ，θ→0时的极限都仍旧是“相对不可达极限”，且为1。实际上，显然地，参照上一段的讨论，“相对不可达极限”原本是可以是“可达极限”（即函数值），也就是这两个三角函数的函数值原本就是在θ=0点等于1的。但中端的(Sinθ)/θ，显然是“绝对不可达极限”，这个函数本身的性质就决定了它的函数值不可能在θ=0点等于1。因此与中间的函数与两边的函数产生不一致的矛盾。于是按前节笔者分析，它与两端的函数cosθ与1/cosθ，根本就不能视之是同一个函数。因此该式所求极限无效，也就是 (Sinθ)/θ在θ→0时的极限等于1的结论不成立。
实际上，我们由（1）式通过除以非0的sinθ以得到（2）式时，是先求有
(Sinθ/Sinθ)cosθ＜θ/Sinθ＜( Sinθ/Sinθ)/cosθ 0＜θ＜π/2
.............................................................（3）
进而得到（1/1）cosθ＜θ/Sinθ＜( 1/1）/cosθ 0＜θ＜π/2
................................................（4）
然后去掉“无用的”1/1，比较各项之倒数，才有的（2）式。
因此显然，既然θ≠0，（3）式就必然成立。也就是分母上的那个Sinθ，过去讲，不必非消去。而在新观点下，也就是在“相对不可达极限”、“绝对不可达极限”必须分清的观点下，其实根本就不允许、不应该消去。理由很简单：既然求的是同类函数间大小的比较，这些函数就应该性质相同。如果中间的是“绝对不可达极限”，两边的也应该是。这样才有资格比较。同时，同样条件下（θ≠0），对（2）式我们在两端乘上一个Sinθ/Sinθ（其实乘以θ/θ也一样），变为（3）式，也完全可以。这样，我们会在θ→0时得到一个0/0＜0/0＜0/0，这是“双料的不合理”：0/0不合理，用“＜”号相连相同的东西更不合理。这从另一个角度说明（2）式不成立。这与二次曲线情况下笔者的讨论结论是一脉相承的、完全一致的。
此外，居然被传统作者有意无意“遗忘”的是，就算我们由（2）式能够得到(Sinθ)/θ在θ→0时的极限等于1的结论。那么，我们由（2）式，不是得到了一个1＜1＜1吗？这当然不合理。但又不能不如此。如果等号成立，或“≤”成立。那么，θ以及Sinθ就必然可以等于0。如此，还能够由（1）式除以Sinθ得到（2）式吗？当然不行。所以，矛盾是避免不了的。
但另一个问题是，既然(Sinθ)/θ在θ→0时的极限等于1的结论不成立（极限实际上就是与其函数值一样的0/0），那在微积分中应用如此广泛的一个公式，就能轻易地废除吗？当然不是。应该做的，是如二次函数情况一样，解释如何处理这个分母上的自变量θ以及与其相关的、在θ=0点都等于0的Sinθ。我们取直角坐标y=Sinθ，x=θ。同时θ可视为其与θ=0点的增量△x=△θ=θ-0=θ，△y=△sinθ=sinθ-sin0=sinθ-0=sinθ,当然，也有 sin△x=sin△θ=Sinθ。仿二次函数增量方程时的做法，取曲线与其割线的增量方程，但不过此时一个交点是固定在x=θ=0点罢了：sinθ=k(θ)θ。注意，当θ=0时，我们有sin0=k(0)0=0。此时θ与sinθ都是0，但k(0)可不一定为0，这是必须清楚的。因为k是直线的系数，也就是斜率。θ≠0时，是割线的系数（斜率），θ=0时，是切线的系数（斜率）。将sinθ=k(θ)θ与二次函数k（△x）=（2x+△x）△x对比可知，作为线性函数（直线方程），k中的θ与△x，和k外的θ与△x是不一样的。K内的，只决定直线的斜率，也就是方向，它当然可以等于0，此时为切线的斜率。而k外的，不必须是交点的，它可以是直线也就是割线或切线上的任意两点。
当我们由（1）式各项同除sinθ得到（3）式时，将sinθ=k(θ)θ代入（3）式，再求倒数，则可得到
Cosθ（k(θ)θ/k(θ)θ）＜(k(θ)θ)/θ＜(1/cosθ)(k(θ)θ/k(θ)θ) 0＜θ＜π/2
................（5）
但在我们通过约分消去（5）式中各项分母上的θ时，等于是无意中宣示了式子中的三个θ，与二次函数时式子中的三个自变量△x情况一样，不是同一个了。“约分消分母”这个“动作”使得θ/θ=1/1=1。而k(θ)中的那个θ并不需要也等于1。它实际可以为0，因为决定sinθ=k(θ)θ不为0的k外的θ此时经过约分消分母上的θ，已经变成1了，不再为0了，所以，k(θ)中的θ，就与二次函数的割线的系数（斜率）k（△x）=（2x+△x）中的△x可以等于0一样，也可以等于0。因此，经过约分消去分母上的θ后，剩下的k(θ)中的θ是可以等于0的。于是，此时的定义域应该把原先的小于号，改成小于等于号。即由（5）式，可以通过约分消分母得到
Cosθ（1/1）≤(k(θ)1/1≤(1/Cosθ)（1/1） 0≤θ≤π/2
即 Cosθ≤k(θ)≤(1/Cosθ) 0≤θ≤π/2
.............................(6)
当θ=0时（或θ→0），有1=k(0）=1
...............................(7)
这就是当θ→0时，所谓(（Sinθ）/θ)=1的真相。这个式子此时只能是0/0，与二次函数情况一样。真正等于1的，是（7）式揭示的，在θ=0点的函数sinθ的切线方程的斜率（系数）。实际也就是该点的函数Sinθ的导数值，为1。由（6）式可以看出，当θ=0时，cos0=1=k(0)，这显然与Sinθ的导数值为 Cosθ相一致。导数之所以不是1/Cosθ，是因为它是圆的外切三角形相关的，因此虽然此时它也等于1，但它并没有资格充当正弦函数的导数。
注意，此时的θ，虽然是角度，但表示为直角坐标的横坐标，不再是角坐标形式。因为此时斜率需要的两点之一，是固定在θ=0点的。此时求的斜率，是以θ为横坐标的斜率，也就是对θ的、以θ为自变量的斜率。此时的θ的增量，就是θ本身，因为增量所需要的另一个点，是固定的θ=0点。则增量△θ=θ-0=θ。此时是增量的特例，当然不是一般意义的增量。一般意义的增量是由下节（12节）所求的。
二、三角函数sinx的求导问题
在上节（11节）讨论的基础上，这个问题就十分容易了。笔者前期论文中都有，这里简单重述一下。（参考方源、王元，微积分上，p113）
传统上，通过对sinx的增量比值函数的因式分解，得到
△(sinx)/△x=cos(x+h)sinh/h，△x=h，当h→0时
................................(8)
但上节已经充分讨论了，（8）式中的sinh/h，当h→0时，并不存在有意义的不可达极限值（函数值或可达极限值更不用说了），即其不可达极限值与其函数值一样，也是无意义的0/0。那么怎么办？按上节分析结论，就是将sinh=k(h)h代入。这个式子的等号左边，是非线性的曲线方程（三角函数的正弦函数），而右边，是该曲线的割线方程，是非曲线的线性方程。二者以交点发生关系（比较特殊地，其中一个交点固定在h=0点），所以有等号。如此，我们就把曲线的增量，改写（换成）了一个直线方程（具体就是割线方程及以后的切线方程）代入（8）式，有
cos(x+h)k(h)h/h=cos(x+h)k(h)=k1(h)
.............................(9)
k1(h)即为一般意义的sinx的割线方程的系数，也就是其斜率。它包括两个部分。当h=0时，按上节分析，k(0)=1，而cos(x+h)=cosx，于是代入（9）式求得
k1(0)=cosx h=0时
.............................(10)
至于k(h)的数值，在h≠0时，是(sinh)/h，在 h=0时，就是cos0=1。理由前节已经充分讨论了。
此外，这里的导数值，就是 h=0时的函数的确定值（或等价的“可达极限值”），而不是传统的什么h→0时的不可达极限值。这是一定要注意到的。
总之，任何曲线，都会有割线。任何直线，都会有系数，也就是斜率。求这个系数，就是求的割线斜率。当这个系数中的横坐标增量为0时的系数，就是切线的系数，也就是切线的斜率。按此思路、原则，任何比较复杂的曲线都可以求出其切线的斜率，即其导数。
三、非标准分析所提出的问题简评
非标准分析，有它的问题，它等于回到牛顿。标准分析，否定牛顿。非标准分析，又回到牛顿。但又不敢说否定了标准分析，只说与标准分析等价。这等于说笫一与笫二代微积分等价，极限法与无穷小法等价。而原本极限法是用来否无穷小法的。这一切，意味深长，耐人寻味。任何不怀偏见且诚实的人都不能否定，一切问题又回到了出发点。这已经充分暴露出理论存在内在矛盾的端倪，而这些矛盾其实是理论中所固有的，一直就存在的，只不过被种种华丽术语、行话所有意无意地掩盖了罢了。
当然，既然非标准分析等于是回到了牛顿等的第一代微积分的思路，那其除了也与后者一样需要一个解释外，其实比第二代微积分的极限法要合理，起码它与笔者提出的理论诠释是相容的、不矛盾的。哥德尔、吴文俊等认为非标准分析“是未来的微积分”的看法，在委婉地否定标准分析这一点上，无疑是有远见的。
参考文献
[1] 莫绍揆.试论微分的本质.南京大学学报(自然科学),1994年第03期
[2] 沈卫国.论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性.前沿科学，2017年03期.
[3] 方源,王元.微积分（上）.高等教育出版社，2014年7月第一版.
[4] 沈卫国.论微积分求导公式的一种全新推导模式(解方程法)及贝克莱悖论的彻底消除.天津职业院校联合学报，2013年2期.
[5] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年05期.
[6] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述（续）——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年11期.
[7] 沈卫国.微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析.天津职业院校联合学报，2017年06期.
[8].沈卫国.辩证逻辑与智能.智能系统学报.2011年04期.
[9].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（上）.天津职业院校联合学报.2018年04期.
[10].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（下）.天津职业院校联合学报.2018年07期.
[11].沈卫国.数学基础若干问题的创新性思考.理论数学.2018年08期.
[12].[美]R.柯朗 H.罗宾.什么是数学——对思想和方法的基本研究（増订版）.复旦大学出版社.2005年5月第二版.
[13].徐利治.论无限——无限的数学与哲学.大连理工大学出版社.2008年12月第1版.
[14].沈卫国.由1=0.99999..........与否引伸出的有理数、无理数的本质性定义问题以及无穷相关问题的讨论.国家科技图书文献中心预印本.2020年11月18日
[15].沈卫国.有关微积分的进一步讨论.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月3日
[16].沈卫国. 芝诺悖论、可达与不可达极限、无穷（无穷大、无穷小、实无穷、潜无穷、
1与0.9999........相等与否等相关问题与微积分.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月
[17].沈卫国. 微积分极限法（第二代微积分、标准分析）所必须正视与回答的问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月
[18].沈卫国. 在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿） —————————高等数学初等化的必由之路及有效途径.国家科技图书文献中心预 印本.2021年1月
[19].沈卫国. 极限法微积分求导过程中的贝克莱悖论问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月
笔者近些年所写文章的检索方式
1、进入“国家科技图书文献中心”官网→点击“特色服务”→点击“预印本”→在“文章检索”“条件一”下输入“沈卫国”→点选“全部学科”→点击“检索”。
即可看到笔者今年所有文章。这些文章有些后来发表了，有些没有没有正式发表。都可以免费下载的。
或
2、进入“汉斯出版社中文学术期刊官网”→在搜索栏中输入“沈卫国”。笔者发表于其“理论数学”网刊和“预印本”的文章（不多，不全）亦可以看到和免费下载
或
3、进入“知乎官网”→搜“何许”（笔者知乎、微信名），亦可见到笔者一些文章、博文。但注意，这里的文章中的一些图、表、公式没有显示。但可能有些与“知友”的讨论
或
4、进入“科学网博客”→搜“文清慧”博客。其中有些笔者文章及讨论
或
5、进入“科学网”→搜“沈卫国”亦可。
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0519 沈卫国： 微积分有关问题的讨论（三）
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1280331.html
上一篇：Zmn-0518 反对伊战：回复 Zmn-0515
下一篇：Zmn-0520 林 益： 评《我对微分的困惑》
