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Zmn-0517 薛问天：集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
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Zmn-0517 薛问天：集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《0492》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
集合的元素是确定的，不可改变和增加。
评林益《0492》
薛问天
李先生认为有限集和无限集的【元素数目】可以有上界或无上界的增加。林益先生也赞同，这是不对的。任何集合包含的元素都是确定的，它的元素不能任意改变和增加。元素有改变就成另外的集合，如果可以随意增加，它就不是集合了。现对林益先生的《0492》的评论，逐条评论如下。
一，集合论是以实无穷观为基础的，因而持潜无穷观的学者，不要参与【实数不可数】问题的讨论。这个康托尔定理是集合论中的重要内容。
二，康托尔定理证明中的aii和bii的i都是自然数，來自一个集合N。不存在这个i比另一个i的个数多或少的问题，i的个数一样多。N是无穷集，所以不是【在任意有限条件下成立】的规律。
在数学中只有「有限集」和「无限集」，没有「趋向无限集」。趋向无限，这是数学分析中求极限的用语，不是集合论中形成集合的方法。∞不是数，在正式的数学分析理论中没有【2^∞>∞】这样的表达式。
在这里当然必须承认【无穷能完成】。潜无穷观者的观点在这里只能是【一切都是空谈】。
证明中根本没有需要，要用【实数集合】同【位数集合】的所谓【集合元素数目】相等。只用它们同自然数集一一对应就可以证明了。对角线用的是编号i，行和列是自然数i，当然一样多。
另外，李先生所定义的【集合元素数目】只对有限集时，:和比较无限集合同它的子集时有效。如果两个无穷集相互间不具有子集关系，是无法比较【集合元素数目】的多少的。
三，李先生认为无限集合【其元素可以无限地增加】。这种看法是错误的。全体自然数集合，是无限集合。它的元素就不可以再增加了。任何自然数加1后所得的自然数，它仍然是自然数，所以它己经包括在【全体自然数集合】中了。也就是说，我们所说的这个集合是【全体自然数集合】，它的元素并未增加。它是一个确定的无穷集合。
四，李先生认为【对角线的证明是不严格的】没有任何根据。另外，李先生又说【都能与自然数一一对应，也并不意味着这两个集合的元素是精确地一样多的。】这句话的问题是，你不知道什么是【这两个集合的元素是精确地一样多】？说不清这个，这句话就毫无意义！李先生所定义的【集合元素数目】，并不是对所有无穷集合都有定义。不能作为【精确地一样多】的解释。林益先生同意此观点，要说明你的理由。
五，在数学上说「有限」和「无限」，一定要说清你说的是什么对象，是「有限集合」「无跟集合」，「有限元」「无限元」，......。自然数和实数中只有「有限元」，没有「无限元」。但是在序数和基数中既有「有限元」又有「无限元」。超穷序数超穷级基数都是「无限元」。数学中的集合有「有限集合」「无限集合」，这些集合都是确定的数学对象，但是没有「趋向无限集合」。因而林益先生说【没有确定的无限，只有趋向无限，】是不符合事实的。
六，林益先生说【康托尔的对角线证法判断的依据就是：假设区间[0,1)中实数可列， 就是因为多了一个无限小数b， 破坏假设的可列性，变成不可列。显然与康托尔 的可列可加性定理矛盾。】
这是林益和李鸿仪先生对康托证明的严重误解。康托尔的证明是根据发现不在序列中的实数b，同假定序列中含有全体实数产生矛盾，推翻了反证法的假定，而使定理得证的。并不是根据林益先生所说的【因为多了一个无限小数b， 破坏假设的可列性，变成不可列。】可列集合增加一个元素，并不能变成不可列。
七，当我们定义说这个集合是【全体自然数的集合】，这个集合的构造就己完成，而且是确定的。因为只有自然数属于此集合，不是自然数就不属于此集合。{1,2,3， ⋯}中的“⋯”代表的就是省略而未写出來的全体自然数。自然数本來就没有【最后一个自然数】，而林益先生认为【应该在“⋯” 写上最后一个自然数，】完全是没有任何道理的无理要求。
关于对角线的行和列，用的是编号i，i是自然数，i的个数自然一样多(你可以把它看作是方阵)。因而bii≠aii和b≠ai，对任何i都是有意义而且成立的。
另一方面，林益先生认为要求【实数集合同位数集合一样多】是实际的吗？我前面说过，什么是【一样多】都不知道，不清楚。你怎么实际要求？林益先生，你能说清楚，对于无穷集來说，要求中的【一样多】是什么含义吗？
八，林益先生认为【基数】是【模糊概念】。这是非常严重的错误。基数在数学上有严格的精确的数学定义，怎么能是模糊概念。要进一步学习要提高。
李先生对无限集合的定义是【所谓无限集合，不过是其元素数目的增加没有上界的一 种集合而已。】
要知道一个合适的定义，在定义中用到的概念必须是有定义的。不能用到尚不知含义的概念。但是在这个定义中用到的【元素数目】对于无穷集合來说就不清楚是什么意思。所以不能在定义中应用。
我己介绍过了，数学上对有限集和无限集有严格的明确的定义。有限集是能同自然数表示的集合一一对应的集合。无限集是非有限集合的集合。这是数学上的严格定义。
李先生定义的错误在于把元素在不断增加的对象还称为集合，是绝对错误的。集合是确定的，它的元素不能正在增加和減少。增加或减少后就变成另外的集合。元素不断在变化的对象就不是确定的集合。全体自然数的集合的元素不会再变。只有自然数是它的元素，不会再变。不会有不是自然数而成为它的元素。
林益先生问【难道薛问天老师认为无限元素数目的增加有上界吗？】我根本就不认为集合的元素在变化，在增加，元素在增加的就不是集合。集合的元素必须是确定的。有限集无限集都如此。元素增加或减少就成为另外一个集合。同一个集合不会允许它包含的元素在变化和增加。因此也就谈不上有无【上界】的问题。
林益先生认为全体自然数集【可以没有上界地增大】。显然是错误的，因为任何自然数都有比它大的自然数，但这个自然数就是「全体自然数集N中」的元素，N并未变化。
林益先生肯定说【N 的"元素数目"还能无上界增加。】是完全错误的，因为如果N的元素在不断变化，N就不是确定的集合。
林益先生问【请问薛问天老师：“自然数集能确定不变吗？ 有最大自然数吗？ ”】还说【自然数集合 N， 没有最大自然数， 只有更大自然数， 就确定自然数没有上界， 就决定〖N 的【元素数目】还能无上界增加。 〗】
林益先生把「全体自然数集合」的元素确定不变的事实，同「没有最大自然数」这个自然数的属性看作是矛盾的观点是不对的。这是两件不同的事。认为【自然数没有上界， 就决定〖N 的【元素数目】还能无上界增加。〗】是错误的。自然数没有上界，任何自然数都有比它大的自然数，但所有的比它大的自然数都已在「全体自然数的集合N」之中了。N的元素包含了所有的自然数，N的元素不需要作任何改变。同「全体自然数集合」的元素确定不变的事实，没有任何矛盾。
另外还要说明一下，我这里用的是「集合的元素」的改变和增加。林先生用的是李先生提出的集合的【元素数目】的增加。 要知道李先生提出的集合的【元素数目】这个概念并不适用于所有的无穷集合。所以不要随意使用。
林益先生问【自然数数列的项有上界吗？】 其实他已作了回答【自然数数列与自然数集是一样的】。 数列的项沒有上界，但整个数列可以包括数列中所有的项，同此并无矛盾。
是的，【不能认为数学书上的东西都是对的。】但是你的质疑必须要有根据，你认为存在的问题也【必须要接受客观事实和实践的检验。】把你认为不对的根据和检验拿出來。
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