《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0517 薛问天:集合的元素是确定的,不可改变和增加。评林益《0492》

已有 953 次阅读 2021-4-4 08:14 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0517 薛问天:集合的元素是确定的,不可改变和增加。评林益《0492》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《0492》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

集合的元素是确定的,不可改变和增加。

评林益《0492》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg李先生认为有限集和无限集的【元素数目】可以有上界或无上界的增加。林益先生也赞同,这是不对的。任何集合包含的元素都是确定的,它的元素不能任意改变和增加。元素有改变就成另外的集合,如果可以随意增加,它就不是集合了。现对林益先生的《0492》的评论,逐条评论如下。

 

一,集合论是以实无穷观为基础的,因而持潜无穷观的学者,不要参与【实数不可数】问题的讨论。这个康托尔定理是集合论中的重要内容。

 

二,康托尔定理证明中的aii和bii的i都是自然数,來自一个集合N。不存在这个i比另一个i的个数多或少的问题,i的个数一样多。N是无穷集,所以不是【在任意有限条件下成立】的规律。

在数学中只有「有限集」和「无限集」,没有「趋向无限集」。趋向无限,这是数学分析中求极限的用语,不是集合论中形成集合的方法。不是数在正式的数学分析理论中没有【2^∞>∞】这样的表达式。

在这里当然必须承认【无穷能完成】。潜无穷观者的观点在这里只能是【一切都是空谈】。

证明中根本没有需要,要用【实数集合】同【位数集合】的所谓【集合元素数目】相等。只用它们同自然数集一一对应就可以证明了。对角线用的是编号i,行和列是自然数i,当然一样多。

另外,李先生所定义的【集合元素数目】只对有限集时,:和比较无限集合同它的子集时有效。如果两个无穷集相互间不具有子集关系,是无法比较【集合元素数目】的多少的。

 

三,李先生认为无限集合【其元素可以无限地增加】。这种看法是错误的。全体自然数集合,是无限集合。它的元素就不可以再增加了。任何自然数加1后所得的自然数,它仍然是自然数,所以它己经包括在【全体自然数集合】中了。也就是说,我们所说的这个集合是【全体自然数集合】,它的元素并未增加。它是一个确定的无穷集合。

 

四,李先生认为【对角线的证明是不严格的】没有任何根据。另外,李先生又说【都能与自然数一一对应,也并不意味着这两个集合的元素是精确地一样多的。】这句话的问题是,你不知道什么是【这两个集合的元素是精确地一样多】?说不清这个,这句话就毫无意义!李先生所定义的【集合元素数目】,并不是对所有无穷集合都有定义。不能作为【精确地一样多】的解释。林益先生同意此观点,要说明你的理由。

 

五,在数学上说「有限」和「无限」,一定要说清你说的是什么对象,是「有限集合」「无跟集合」,「有限元」「无限元」,......。自然数和实数中只有「有限元」,没有「无限元」。但是在序数和基数中既有「有限元」又有「无限元」。超穷序数超穷级基数都是「无限元」。数学中的集合有「有限集合」「无限集合」,这些集合都是确定的数学对象,但是没有「趋向无限集合」。因而林益先生说【没有确定的无限,只有趋向无限,】是不符合事实的。

 

六,林益先生说【康托尔的对角线证法判断的依据就是:假设区间[0,1)中实数可列, 就是因为多了一个无限小数b, 破坏假设的可列性,变成不可列。显然与康托尔 的可列可加性定理矛盾。

这是林益和李鸿仪先生对康托证明的严重误解。康托尔的证明是根据发现不在序列中的实数b,同假定序列中含有全体实数产生矛盾,推翻了反证法的假定,而使定理得证的。并不是根据林益先生所说的【因为多了一个无限小数b, 破坏假设的可列性,变成不可列。可列集合增加一个元素,并不能变成不可列。

 

七,当我们定义说这个集合是【全体自然数的集合】,这个集合的构造就己完成,而且是确定的。因为只有自然数属于此集合,不是自然数就不属于此集合。{1,2,3, ⋯}中的“⋯”代表的就是省略而未写出來的全体自然数。自然数本來就没有【最后一个自然数】,而林益先生认为【应该在“⋯” 写上最后一个自然数,】完全是没有任何道理的无理要求。

关于对角线的行和列,用的是编号i,i是自然数,i的个数自然一样多(你可以把它看作是方阵)。因而bii≠aii和b≠ai,对任何i都是有意义而且成立的。

另一方面,林益先生认为要求【实数集合同位数集合一样多】是实际的吗?我前面说过,什么是【一样多】都不知道,不清楚。你怎么实际要求?林益先生,你能说清楚,对于无穷集來说,要求中的【一样多】是什么含义吗?

 

八,林益先生认为【基数】是【模糊概念】。这是非常严重的错误。基数在数学上有严格的精确的数学定义,怎么能是模糊概念。要进一步学习要提高。

李先生对无限集合的定义是【所谓无限集合,不过是其元素数目的增加没有上界的一 种集合而已。

要知道一个合适的定义,在定义中用到的概念必须是有定义的。不能用到尚不知含义的概念。但是在这个定义中用到的【元素数目】对于无穷集合來说就不清楚是什么意思。所以不能在定义中应用。

我己介绍过了,数学上对有限集和无限集有严格的明确的定义。有限集是能同自然数表示的集合一一对应的集合。无限集是非有限集合的集合。这是数学上的严格定义。

李先生定义的错误在于把元素在不断增加的对象还称为集合,是绝对错误的。集合是确定的,它的元素不能正在增加和減少。增加或减少后就变成另外的集合。元素不断在变化的对象就不是确定的集合。全体自然数的集合的元素不会再变。只有自然数是它的元素,不会再变。不会有不是自然数而成为它的元素。

林益先生问【难道薛问天老师认为无限元素数目的增加有上界吗?】我根本就不认为集合的元素在变化,在增加,元素在增加的就不是集合。集合的元素必须是确定的。有限集无限集都如此。元素增加或减少就成为另外一个集合。同一个集合不会允许它包含的元素在变化和增加。因此也就谈不上有无【上界】的问题。

林益先生认为全体自然数集【可以没有上界地增大】。显然是错误的,因为任何自然数都有比它大的自然数,但这个自然数就是「全体自然数集N中」的元素,N并未变化。

林益先生肯定说【N 的"元素数目"还能无上界增加。】是完全错误的,因为如果N的元素在不断变化,N就不是确定的集合。

林益先生问【请问薛问天老师:“自然数集能确定不变吗? 有最大自然数吗? ”】还说【自然数集合 N, 没有最大自然数, 只有更大自然数, 就确定自然数没有上界, 就决定〖N 的【元素数目】还能无上界增加。 〗

林益先生把「全体自然数集合」的元素确定不变的事实,同「没有最大自然数」这个自然数的属性看作是矛盾的观点是不对的。这是两件不同的事。认为【自然数没有上界, 就决定〖N 的【元素数目】还能无上界增加。〗】是错误的。自然数没有上界,任何自然数都有比它大的自然数,但所有的比它大的自然数都已在「全体自然数的集合N」之中了。N的元素包含了所有的自然数,N的元素不需要作任何改变。同「全体自然数集合」的元素确定不变的事实,没有任何矛盾。

另外还要说明一下,我这里用的是「集合的元素」的改变和增加。林先生用的是李先生提出的集合的【元素数目】的增加。 要知道李先生提出的集合的【元素数目】这个概念并不适用于所有的无穷集合。所以不要随意使用。

林益先生问【自然数数列的项有上界吗?】 其实他已作了回答【自然数数列与自然数集是一样的】。 数列的项沒有上界,但整个数列可以包括数列中所有的项,同此并无矛盾。

是的,【不能认为数学书上的东西都是对的。】但是你的质疑必须要有根据,你认为存在的问题也【必须要接受客观事实和实践的检验。】把你认为不对的根据和检验拿出來。

 

 

 

 

 

返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       

 




 




https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1280182.html

上一篇:Zmn-0516 数 森: 回复李鸿仪《Zmn-0468》
下一篇:Zmn-0518 反对伊战:回复 Zmn-0515
收藏 IP: 111.19.46.*| 热度|

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (2 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-8-9 13:25

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部