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Zmn-0551 薛问天：评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误，评《0549》
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Zmn-0551 薛问天：评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误，评《0549》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《0549》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误，
评《0549》
薛问天
在这次李鸿仪先生的《0549》一文中，有明显的四个错误。其中的第二和第三个错误，过去曾批评过。这次李先生又提出來了。所以再重复作些评论。
第一个错误，关于在可列实数集中，把一个无穷真子集置于前端的错误。
李鸿仪先生别出心裁地提出了一个方案。把一个无穷的实数真子集置于可列实数集的前端，使证明失效。他是这样说的：
【考察（1）的一个真子集，
0.1000…，
0.11000…，
0.111000…，
……
并把该真子集置于（ 1）的最前端， 显然，这时只能保证 b 与该真子集的任何元素不同，不 能保证与（ 1）中任何其他元素不同,对角线证明失败。】
我在《0538》文后的跟帖评论【50】，评【47】中己作过评论。李先生考察了【所列实数】的一个真子集，然后说【把该真子集置于所列实数的最前端，】
李先生，你想没想到你做不到这点。你这样做后，因为你的真子集是可列无穷的，所以原來的【可列实数】的双射己不是同ω=｛1,2,...｝的双射，而变成同ω+ ω=｛1,2,...,①,②,...｝的双射了。破坏了原假定【可列实数】同ω的正常双射。所以你说的【把该真子集置于所列实数的最前端，】的做法是错误的，是做不到的。原假定的双射是全体实数同自然数集ω=｛1,2,...｝的双射，而不是同ω+ω的双射。
也就是说，李先生对【可列实数】(1)的理解不够。【可列实数】是指实数集对自然数集ω=｛1,2,...｝的双射。在这种双射下，是不可能做到【把该真子集置于所列实数的最前端，】的。因为把一个无穷的真子集置于前端，就变成实数集对二倍的自然数集ω+ω=｛1,2,...,①,②,...｝的双射。所以李先生的方案是做不到的，是完全错误的。
第二个错误，关于要求实数集合同位数集合的【元素数目】相等的错误。
李先生说【错误的隐含假定“实数数目精确等于对角线小数位数”是对角线证明错误的原因所在。】
李先生在这里提出了这样的要求。李先生说【式（3）左右两端的下标相同，故（3）左端的实数数目与右端 b 的小数位数精确一致。如果把滿足（3）的实数定义成集合 A 的元素，那么 A 只是 B 的一个真子集，这里， B 是以（1）为元素的集合。】
在这里实际上是有两个错误。
(1)，所要求的【实数集合】同【位数集合】的【元素数目】精确一致，即【相等】。
这个要求本身是无意义的，因为【元素数目】对一般的无穷集合來说是没有定义的，不知道它是什么意思，什么是两个一般的无穷集合的【元素数目相等】，这个要求亳无意义。
(2)，在(3)式中用的是实数的编号和位数的编号。这两个编号集是相同的，都是自然数。所以根本不存在编号自然数不相等的任何问题。
在李先生对(3)的评论中，只字不提编号，不提自然数，是错误的。要知道在证明中论证的是，对任何实数，都存在自然数i，此实数以i为编号，记为ai。实数ai是无穷小数，有以自然数i为位数编号的第i位小数aii，在b的构造中，b的第i位小数bii≠aii。证明的思路离不开编号和自然数。李先生回避自然数在证明中的重要作用是完全错误的。
至于李先生所证明的A-B非空。当然是错误的。因为有穷小数同无穷小数根本是两个不同的概念。对于有穷n位小数，小数的数目大于位数，这个事实推不出无穷小数的任何结论。李先生所说的【无限小数的数目当然更多】，这只是李先生的主观想像，不能作为数学证明的正式推论。把想像作为推论是李先生的严重错误。
第三个错误，我已多次指出，李鸿仪先生提出的关于证明违背【可列可加性】规律的质疑，实际上是他对康托尔定理证明的误读。
他这次还如此说：【另外一个更明显的逻辑漏洞是：对角线证明的全部工作，不过是企图构造一个不在（ 1） 内的 b。如果认为该企图一旦成功，就可以推翻可数假定的话，不管康托的主观意愿是什么， 也不管他具体是怎么讲的，客观上就等于宣告， b 的存在，是与可数假定矛盾的。然而，根据康托自己建立的可列可加性理论，在可数集合里，再增加一个、多个甚至无限个 b，与可 数假定都无法形成任何必然的矛盾！这就会导致这样的结果：如果认为对角线证明的思路是正确的（是不是证明了是另外一回事），就必须宣布可列可加性是错的；反之，如果认为可 列可加性是对的，就必须宣布对角线的证明思路是错的。 其实光凭这一点，就足以推翻康托的理论体系。】
从此段话可以看出李鸿仪先生并设有看懂康托尔定理的证明。康托尔定理的证明，並不是李先生所理解的是根据【 b 的存在，是与可数假定矛盾的】來证明的。而是在反证法【实数集可数】的假定下，全体实数组成的【实数集】全在实数序列(1)中。但是发现了单位区间中另有实数b不在所论述的(1)中，从而产生「全体和非全体」的矛盾，推翻了反证法的假定。证明了【实数不可数】的定理。李先生也知道【在可数集合里，再增加一个、多个甚至无限个 b，与可数假定都无法形成必然的矛盾！】怎么能作为证明的根据呢。说康托尔的证明是根据在可数集合外发现了实数b的存在，就证明实数不可数了，这是对康托定理证明的严重误读。李先生所说的【如果认为对角线证明的思路是正确的，就必须宣布可列可加性是错的；反之，如果认为可 列可加性是对的，就必须宣布对角线的证明思路是错的。 】这样的断言毫无根据，是完全错误的。李先生说【不管康托的主观意愿是什么， 也不管他具体是怎么讲的，】这完全是強词夺理，看证明就要看他证明的根据是什么，怎么能【不管他具体是怎么讲的，】李先生自己提出一个错误的【根据】，然后再來批判这个【根据】的错误。由此來断定康托证明的错误，李先生把这么明显的错误逻辑推理，拿到我们的正规讨论之中，确实是难以想像。
其实弄清这个问题很简单，就是请李先生回答，你看懂康托尔的证明设有，康托尔推翻反证法假定的根据是什么？他发现的矛盾是什么？如果能正确回答这个问题，李先生的质疑马上就不存在了。
第四个错误，也是最有趣的错误，是李先生宣告他【证明】了【实数是可数的定理】。
李先生说【其实实数的可数性根本不需要复杂的推理即可证明：
定理 实数是可数的。
证明： 设在实数轴上任取一实数，将其编号为 1，然后再任取另一个数，将其编号为 2..... 该过程无限地延续下去，则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时，必定有一 个数会被取出，故任何一个数都可能被取出，也可能不被取出，不存在永远取不出的数，证毕。
当然，这个过程是不会终止的。这个很正常：任何无限集合的元素都是永远取不完的，...】
从这个定理和对它的证明，就可看出李先生对什么是数学概念，什么是数学证明，还缺乏最基本的了解。还需要进一步的学习和理解。
首先要了解任何数学概念都有严格的数学定义。要了解教学概念的确切含义，就要根据它的定义。在数学上最忌讳的事就是不根据定义，而是用概念名称的字面含义胡乱发挥，來理解数学概念的含义。例如集合的【可数】，按定义是在该集合同自然数集合之间存在一个双射。因而要证明实数可数，就要在实数和自然数间建立一个映射，而且要证明这个映射是无重复无遗漏的双射。这才是真正的数学证明。而把【可数】从它的字面含义，认为是可以从数轴上一个一个地取出编号，【该过程无限地延续下去，则所取的数已经与自然数一一对应了，...故任何一个数都可能被取出，...不存在永远取不出的数，】 ，这那里是证明，完全是李先生的主观想像。而康托尔则是严格地用数学方法(反证法)，严格地证明了实数不可数。如果【实数可数】，就会出现矛盾，从而推翻了【实数可数】的假定，证明了【实数不可数】的结论。
参考文献
Zmn-0549 李鸿仪： 再议对角线, 兼评《Zmn-0538 薛问天：关于对康托尔定理证明质疑的错误》中的错误．
Zmn-0538 薛问天： 关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
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