Zmn-0542 一阳生：关于集合论外延公理的认识

【编者按。下面是一阳生先生的文章。是对薛问天先生《0537》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

关于集合论外延公理的认识

一阳生

最近看了薛老师的Zmn-0537 。我认为薛老师关于集合论外延公理的认识和表达，不能说错误，至少不严格，容易让人迷糊！下面是我去年已写好但没及时发表的文章的一部分。现在发表请薛老师和所有老师批评。

关于【相同】【相等】【同一】和【同一律】

首先我在Zmn-0124中已经认同了【“相同”当且仅当“相等”当且仅当“同一”】，并且试图在皮诺亚公理中找到依据。

而您在Zmn-130中，在相等的前提下根据同一律可以得出各种结论，如：【设a和b是自然数，(a=b)→(a'=b')。】和【设y , a和A是集合，如果y=a 且a ϵ A，则y ϵ A】。让我对“同一律”产生了极大的好奇，同一律是什么？在数学中处于什么地位？也许我的理解是肤浅的甚至错误的，真诚请教薛老师给出一个权威的经典的答案。

其次您在Zmn-130中的：“关于公理集合论，外延公理规定的两个集合的【相等】就是逻辑上的【同一】对象。可以在推理中进行替换。否则你怎么证明【如果a ϵ A且y=a，则y ϵ A。】?要知道在公理集合论中属于(ϵ)关系是原始概念，无需定义。并没有一阳生先生提出的【 若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】这样的定义。另外这作为【 集合论中元素集合之间的属于关系(ϵ)定义】也不合适，因为定义中用到【 集合中的某一元素】这个概念，就用到了属于关系 。如果作为定义就是【循环定义】。所以说要证明 【如果a ϵ A且y=a，则y ϵ A。】还必须用同一对象的替换法则，否则无法证明。”

您提到了循环定义，让我陷入了困境。但是您上面的一段话让我再次想起了，我曾经读《陶哲轩实分析》集合论章时的一个困惑。书中介绍集合论公理时没有提到外延公理，而只给出了集合相等定义：两个集合A和Ｂ是相等的，A=B，当且仅当A的每个元素都是Ｂ的元素而且Ｂ的每个元素都是A的元素。集合相等定义是外延公理吗？

现在我认为集合相等定义绝对不是外延公理！考虑到朴素集合论带来的悖论，我认为外延公理应该是：

[设X、Y、A、B是集合，若X ∈A当且仅当X ∈B，则A ∈Y当且仅当B ∈Y。]

若把前提定义为相等即:(A=B)当且仅当(X ∈A当且仅当X ∈B)，则可证属于关系定义的集合之相等是自反的、对称的、传递的。

外延公理规定相等关于属于关系是替换的。

所以，设y , a和A是集合，如果y=a 且a ϵ A，根据外延公理(而不是同一律)有y ϵ A。出于谨慎请薛老师确认我关于外延公理的认识是否正确。

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