博文
Zmn-0537 薛问天： 「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。评林益先生《0522》
||
Zmn-0537 薛问天： 「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。评林益先生《0522》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《0522》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。
评林益先生《0522》
薛问天
林益先生问: 【“集合的元素是确定的，不可改变和增加。”谁定的标准？】
我來确切回答，这个标准是由集合的「外延原则: 一个集合是由它的元素完全决定的。」所规定的。
严格地说，因为集合是原始概念，没有定义，它的含义是由公理决定的。集合的这个性质是由集合论公理系统ZFC的外延公理所决定的。
《公理集合论导引》张锦文第1页。第146页
∀x∀y(∀z[z∈x↔z∈y]→x=y)。
说得很明确，集合的元素是给定的不能变化和增加′，集合是由它的元素完全决定的。外延公理说，对任何集合x和y，如果x和y的元素是一样的，即对任何元素z，如果z∈x ，则z∈y ，如果z∈y ，则z∈x ，那么集合x就同y是一个集合。换言之，如果两个集合的元素不一样，存在一个元素属于x而不属于y，则两个集合就是不同的集合。因而元素变化了增加了，集合就不等于原來的集合，成为另外一个集合了。
1，林益先生谈到【集合中的任何一个元素必须符合集合对元素属性的要求，】这是对的。
集合和类，都是符合概括原则的。即对任何集合或类S，都有一个属性P(x)，S的元素就是所有满足此属性P的对象。S=｛x丨P(x)｝，即∀X[x∈S↔P(x)]。
但是这个属性必须是确定的，是相对稳定的。不能在论证中使属于关系发生变化。也就是说，在这种理解下，集合的元素也不能增加。如果能增加，那么这个增加的元素，就从不满足属性变成了满足属性，使属性失去了应保持的相对稳定性，这是不允许的。林益先生所说的所有的自然数的集合，当然元素也是不会增加的。不是自然数的对象永远不会变成是自然数。
有人研究非确定的属性，例如每个元素x∈S有一定的概率。这种研究称为「模糊集合」，已是另类集合。
2，我们当然承认事物都是在变化的。但是我们也要认识到，事物的变化有它相对的稳定性。有它相对稳定的规律。而集合论研究的就是这种相对稳定的规律。
集合由它的元素完全决定。是研究在相对稳定条件下的规律。集合的元素增加了，集合就成为另外的集合。也就是说是集合变化了。一个以集合为值的变量，可以取不同的集合为值，但不允许同一个集合包含有变化和增加的元素。林益先生所举的家庭之例，显然生孩以前和以后的家庭成员集合，用数学的集合來表示，是两个不同的集合。如果用一个集合來表示，怎么计算集合中的元素个数。肯定矛看重重。
3，我为什么说〖持潜无穷观的学者， 不要参与"实数不可数"问题的讨论。〗不是说不准参与。而是说这样的讨论亳无意义。
因为持潜无穷观的学者不承认无穷集合是确定的集合，也不承认实数和实数的集合，更不承认可数和不可数这些概念。持这样的观点來讨论「实数集合不可数」，你认为有何意义？
4，在数学分析中不仅没有【2∞＞∞】这样的表达式，也没有【2∞=∞】这样的表达式。
∞不是数，根本就没有这种幂演算式2∞。当n→∞时2n→∞，说明的是序列2n是无穷大，也称此序列的极限是无穷大。这同集合论中的幂演算【2ℵ0>ℵ0】，没有任何【类似】与【矛盾】之处。
5，林益先生对我说的这句话〖在这里当然必须承认【无穷能完成】。潜无穷观者的观点在这里只能是【一切都是空谈】。〗很有意见，上纲反击。可是他忘了【一切都是空谈】这是他自己说的。我还用了括号。
他是这样说的【这里就涉及无穷能否完成的问题，也就是是否存在确定的无穷，如果存在确定的无穷， b构建就能完成， 与(1)中任何实数比较也能完成， 如果不存在确定的无穷，一切都是空谈。】对此观点我回答〖在这里当然必须承认【无穷能完成】。潜无穷观者的观点在这里只能是【一切都是空谈】。 〗因为潜无穷观认为【不存在确定的无穷】。林益先生把这说成是【这是做人最起码的道德标准。】请问你这个标准指的是哪个说【一切都是空谈】的人呢？
另外关于我说〖证明中根本没有需要，要用【实数集合】同【位数集合】的所谓【集合元素数目】相等。〗的问题，我们将在评李鸿仪先生的《0531》中，专门再作些陈述。
5(林文有两个5)，林益先生说【无穷公理的表达式就表明无穷公理元素不能构造结束， 元素构造不能完成，认为 所以"全体自然数集合"已经完成显然与无穷公理矛盾。】
这是对无穷公理的严重歪曲。无穷公理承认归纳集合的存在，就承认它是一个确定的，构造己经完成的集合。集合中的任何元素x，x∪{x} 都属于这个集合，是这个集合的属性，並不是【增加】新的元素。例如我们说5+1=6，这个6就是在自然数集中的，不是每作一次演算都:生成一个新的自然数6。
另外林益先生竟然不承认【全体自然数集合】的存在，也是毫无道理的。林益先生认为【自然数集合】不是【全体自然数集合】，这点就说明强调【全体】二字的重要性，强调此二字就说明【全体自然数集合】的元素，不能再增加和再变化了。包括了全体，当然不能再增加了。
无限集也是集合，是确定的集合，它的元素是可以给定和可以定义的。无限集也必须符合外延原则，由它的元素完全决定。序数和基数虽然是无穷的，但也都是可以完全严格定义的。所以说无穷的序数和基数数系，也已经定义完成。
6，关于林益先生同意的，李鸿仪先生提出的康托尔证明违反了【可列可加性】规律的质疑，是由于对康托尔定理证明的误读，我将在评李鸿仪先生的《0531》中，专门再作些陈述。
7，关于「有限元」和「无限元」
我们所指的自然数和序数，每个数都代表一个集合。例如0化表空集，自然数n代表集合{0,1,2,...,n-1｝，序数ω代表｛0,1,2,...｝，序数ω+1代表｛0,1,2,...,ω｝，
我们把代表有限集的数称为「有限元」，把代表无跟集的数称为「无限元」。所以在自然数中只有「有限元」，无「无限元」。但是在序数中所有的有穷序数(即自然数)是「有限元」，而所有超穷序数都是「无限元」。不同数系中的元素有不同的属性，这在逻辑上是一点矛盾都没有的。
8，同6。
9，关于错误地要求【实数集合同位数集合一样多】的问题，我们将在评李鸿仪先生的《0531》中，专门再作些陈述。
10，林益先生说【不仅子集和母集的基数相同， 而且不同维数空间的基数也完全相同，就这样“严格的精确”！就这样不“模糊”！！】说明林益先生对无穷集合的属性，特别是基数的属性，还未真正认识。
这些属性都是严格证明的事实，非常【精确】一点都不【模糊】。我前面说过，对理论的质疑，要拿出跟据來，没有根据的质疑是毫无意义的。
11，林益先生应了解定义有等价的定义，关于无穷集可以定义为【能够与其某真子集一一对应的集合，称为无限集合。 】也可以定义为【非有限的集合称为无限集合】。这是等价的定义。
等价的意思是可以相互推出。即可以证明:「能够与其某真子集一一对应的集合一定是非有限集合」，和「非有限的集合一定能够与其某真子集 一一对应。」
关于自然数。我们讨论的自然数集合，是已经完成了它的生成过程的自然数集合。因而任何自然数加1还是自然数，这是自然数的集的一个性质，如5+1是6是自然数。这个6是已有的自然数，并不是新增加的自然数。另外，没有最大自然数，这也是自然数的性质。自然数集合的确定和完成，并不要求一定要有最大自然数。没有最大自然数，自然数集合本身完全可以构造完成。也就是说，集合论的理论(公理系统)已承认自然数集合的存在，无穷公理和外延公理已保证自然数集合由它的所有自然数作为元素，决定了这是个确定的集合。外延原则决定了所有的集合都是由它的全部元素所决定的。数学上的集合概念就是这样，如果是个确定的集合，它的元素就不能改变和增加。要建立对集合概念的正确认识。
12，林益先生认为【完全可以谈"上界""的问题】。这就要求林益先生在讨论问题时，有严格的语言结构。
请问你说的是什么"上界"。如果指的是元素增加的上界。而集合的元素就不能增加，哪來的"上界"可谈？如果指的是有序集合中元素的「序关系」的上界。显然自然数集合中是没有上界的。但是并不是所有的无穷集合中都没有上界。
例如序数ω+1=｛0,1,2,...,ω｝，是个无限集合，其中就有上界ω。
13，強调【全体】二字
通常人们讲的「自然数集合」，就是我说的「全体自然数集合」。因为此集合中包括了全体自然数。正是有些人故意混淆概念含义，不认为它包括全体自然数，我才強调【全体】二字。林益先生反对我的这个名称，请你明确指出，你是否认为「自然数集合」并不包括全体自然数作为元素。把你的意见谈清楚。
看來，林益先生说的不是个名称的问题。他根本就不承认存在有包含全体自然数的集合。同时他还认为【没有整个数列可以包括数列中所有的项。】我认为，如果是坚持这种潜无穷观，是不可能正确接受「集合」这个概念的，甚至连「数列」这个概念也不能正确接受。正确的认识是「自然数集合」包括了全体自然数作为元素，「整个数列」包括了数列中所有的项。
14，林益先生说他质疑书上的东西，都是有跟据的。但是却问【有根据， 根据一定要拿吗？】
我们是在讨论数学问题，是在寻求正确的答案，你质疑的根据和理由一定要拿出來让大家看看，是否正确。如果讨论后根据是错误的，不是就可以不质疑了吗？怎么这样的道理也要问。
15，【必须要接受客观事实和实践的检验】 这不是那么简单的事。
常常想像的，说的是接受了检验，可是实际上并不是真正的检验。有些人常常把符合他自己的感观或直观当作实践检验，这完全是错误的。这里必须具体间题具体分析。
另外，客观检验是正确的，必须首先在逻辑上是正确的，如果在逻辑上是错误的，在客观上就不可能检验是正确的。因而数学就特别强调逻辑上的正确性。我们的数学讨论也大多通过摆事实讲道理在逻辑上先追求正确，再通过实践检验。
我非常欣赏这个《数学啄木鳥专栏》。通过反复的讨论，树立了正确的理论，批评和纠正了错误的论点。从整体上起到了啄木鳥消除害虫的作用。我们大家网友都是啄木鳥，而错误的论点才是害虫。
参考资料。
Zmn-0522 林 益 “集合的元素是确定的，不可改变和增加。” 谁定的标准？
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
Zmn-0492 林 益：《Zmn-0479》评论的评论
Zmn-0479 薛问天： 评李鸿仪先生《Zmn-0468》对康托定理证明的质疑。
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1282597.html
上一篇：Zmn-0536 薛问天：【神奇的小数】不神奇，评新华先生《0510》
下一篇：Zmn-0538 薛问天：关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》
