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Zmn-0537 薛问天: 「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。评林益先生《0522》

已有 801 次阅读 2021-4-18 13:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0537 薛问天: 「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。评林益先生《0522》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《0522》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。

评林益先生《0522》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg林益先生问: 【集合的元素是确定的,不可改变和增加。”谁定的标准?

我來确切回答,这个标准是由集合的「外延原则: 一个集合是由它的元素完全决定的。」所规定的。

Untitled-1.jpg

严格地说,因为集合是原始概念,没有定义,它的含义是由公理决定的。集合的这个性质是由集合论公理系统ZFC的外延公理所决定的。

Untitled-2.jpg

《公理集合论导引》张锦文第1页。第146页

∀x∀y(∀z[z∈x↔z∈y]→x=y)。

说得很明确,集合的元素是给定的不能变化和增加′,集合是由它的元素完全决定的。外延公理说,对任何集合x和y,如果x和y的元素是一样的,即对任何元素z,如果z∈x ,则z∈y ,如果z∈y ,则z∈x ,那么集合x就同y是一个集合。换言之,如果两个集合的元素不一样,存在一个元素属于x而不属于y,则两个集合就是不同的集合。因而元素变化了增加了,集合就不等于原來的集合,成为另外一个集合了。

 

1,林益先生谈到【集合中的任何一个元素必须符合集合对元素属性的要求,】这是对的。

集合和类,都是符合概括原则的。即对任何集合或类S,都有一个属性P(x),S的元素就是所有满足此属性P的对象。S={x丨P(x)},即∀X[x∈S↔P(x)]。

但是这个属性必须是确定的,是相对稳定的。不能在论证中使属于关系发生变化。也就是说,在这种理解下,集合的元素也不能增加。如果能增加,那么这个增加的元素,就从不满足属性变成了满足属性,使属性失去了应保持的相对稳定性,这是不允许的。林益先生所说的所有的自然数的集合,当然元素也是不会增加的。不是自然数的对象永远不会变成是自然数。

有人研究非确定的属性,例如每个元素x∈S有一定的概率。这种研究称为「模糊集合」,已是另类集合。

 

2,我们当然承认事物都是在变化的。但是我们也要认识到,事物的变化有它相对的稳定性。有它相对稳定的规律。而集合论研究的就是这种相对稳定的规律。

集合由它的元素完全决定。是研究在相对稳定条件下的规律。集合的元素增加了,集合就成为另外的集合。也就是说是集合变化了。一个以集合为值的变量,可以取不同的集合为值,但不允许同一个集合包含有变化和增加的元素。林益先生所举的家庭之例,显然生孩以前和以后的家庭成员集合,用数学的集合來表示,是两个不同的集合。如果用一个集合來表示,怎么计算集合中的元素个数。肯定矛看重重。

 

3,我为什么说〖持潜无穷观的学者, 不要参与"实数不可数"问题的讨论。〗不是说不准参与。而是说这样的讨论亳无意义。

因为持潜无穷观的学者不承认无穷集合是确定的集合,也不承认实数和实数的集合,更不承认可数和不可数这些概念。持这样的观点來讨论「实数集合不可数」,你认为有何意义?

 

4,在数学分析中不仅没有【2>∞】这样的表达式,也没有【2=∞】这样的表达式。

不是数,根本就没有这种幂演算式2。当n→∞时2n→∞,说明的是序列2n是无穷大,也称此序列的极限是无穷大。这同集合论中的幂演算【2ℵ0>ℵ0】,没有任何【类似】与【矛盾】之处。

 

5,林益先生对我说的这句话〖在这里当然必须承认【无穷能完成】。潜无穷观者的观点在这里只能是【一切都是空谈】。〗很有意见,上纲反击。可是他忘了【一切都是空谈】这是他自己说的。我还用了括号。

他是这样说的【这里就涉及无穷能否完成的问题,也就是是否存在确定的无穷,如果存在确定的无穷, b构建就能完成, 与(1)中任何实数比较也能完成, 如果不存在确定的无穷,一切都是空谈。】对此观点我回答〖在这里当然必须承认【无穷能完成】。潜无穷观者的观点在这里只能是【一切都是空谈】。 〗因为潜无穷观认为【不存在确定的无穷】。林益先生把这说成是【这是做人最起码的道德标准。】请问你这个标准指的是哪个说【一切都是空谈】的人呢?

另外关于我说〖证明中根本没有需要,要用【实数集合】同【位数集合】的所谓【集合元素数目】相等。〗的问题,我们将在评李鸿仪先生的《0531》中,专门再作些陈述。

 

5(林文有两个5),林益先生说【无穷公理的表达式就表明无穷公理元素不能构造结束, 元素构造不能完成,认为 所以"全体自然数集合"已经完成显然与无穷公理矛盾。

这是对无穷公理的严重歪曲。无穷公理承认归纳集合的存在,就承认它是一个确定的,构造己经完成的集合。集合中的任何元素x,x∪{x} 都属于这个集合,是这个集合的属性,並不是【增加】新的元素。例如我们说5+1=6,这个6就是在自然数集中的,不是每作一次演算都:生成一个新的自然数6。

另外林益先生竟然不承认【全体自然数集合】的存在,也是毫无道理的。林益先生认为【自然数集合】不是【全体自然数集合】,这点就说明强调【全体】二字的重要性,强调此二字就说明【全体自然数集合】的元素,不能再增加和再变化了。包括了全体,当然不能再增加了。

无限集也是集合,是确定的集合,它的元素是可以给定和可以定义的。无限集也必须符合外延原则,由它的元素完全决定。序数和基数虽然是无穷的,但也都是可以完全严格定义的。所以说无穷的序数和基数数系,也已经定义完成。

 

6关于林益先生同意的,李鸿仪先生提出的康托尔证明违反了【可列可加性】规律的质疑,是由于对康托尔定理证明的误读,我将在评李鸿仪先生的《0531》中,专门再作些陈述。

 

7,关于「有限元」和「无限元」

我们所指的自然数和序数,每个数都代表一个集合例如0化表空集,自然数n代表集合{0,1,2,...,n-1},序数ω代表{0,1,2,...},序数ω+1代表{0,1,2,...,ω},

我们把代表有限集的数称为「有限元」,把代表无跟集的数称为「无限元」。所以在自然数中只有「有限元」,无「无限元」。但是在序数中所有的有穷序数(即自然数)是「有限元」,而所有超穷序数都是「无限元」。不同数系中的元素有不同的属性,这在逻辑上是一点矛盾都没有的。

 

8,同6。

9关于错误地要求【实数集合同位数集合一样多】的问题,我们将在评李鸿仪先生的《0531》中,专门再作些陈述。

 

10,林益先生说【不仅子集和母集的基数相同, 而且不同维数空间的基数也完全相同,就这样“严格的精确”!就这样不“模糊”!!】说明林益先生对无穷集合的属性,特别是基数的属性,还未真正认识。

这些属性都是严格证明的事实,非常【精确】一点都不【模糊】。我前面说过,对理论的质疑,要拿出跟据來,没有根据的质疑是毫无意义的。

 

11,林益先生应了解定义有等价的定义,关于无穷集可以定义为【能够与其某真子集一一对应的集合,称为无限集合。 】也可以定义为【非有限的集合称为无限集合】。这是等价的定义。

等价的意思是可以相互推出。即可以证明:「能够与其某真子集一一对应的集合一定是非有限集合」,和「非有限的集合一定能够与其某真子集 一一对应。」

关于自然数。我们讨论的自然数集合,是已经完成了它的生成过程的自然数集合。因而任何自然数加1还是自然数,这是自然数的集的一个性质,如5+1是6是自然数。这个6是已有的自然数,并不是新增加的自然数。另外,没有最大自然数,这也是自然数的性质。自然数集合的确定和完成,并不要求一定要有最大自然数。没有最大自然数,自然数集合本身完全可以构造完成。也就是说,集合论的理论(公理系统)已承认自然数集合的存在,无穷公理和外延公理已保证自然数集合由它的所有自然数作为元素,决定了这是个确定的集合。外延原则决定了所有的集合都是由它的全部元素所决定的。数学上的集合概念就是这样,如果是个确定的集合,它的元素就不能改变和增加。要建立对集合概念的正确认识。

 

12,林益先生认为【完全可以谈"上界""的问题】。这就要求林益先生在讨论问题时,有严格的语言结构。

请问你说的是什么"上界"。如果指的是元素增加的上界。而集合的元素就不能增加,哪來的"上界"可谈?如果指的是有序集合中元素的「序关系」的上界。显然自然数集合中是没有上界的。但是并不是所有的无穷集合中都没有上界。

例如序数ω+1={0,1,2,...,ω},是个无限集合,其中就有上界ω。

 

13,強调【全体】二字

通常人们讲的「自然数集合」,就是我说的「全体自然数集合」。因为此集合中包括了全体自然数。正是有些人故意混淆概念含义,不认为它包括全体自然数,我才強调【全体】二字。林益先生反对我的这个名称,请你明确指出,你是否认为「自然数集合」并不包括全体自然数作为元素。把你的意见谈清楚。

看來,林益先生说的不是个名称的问题。他根本就不承认存在有包含全体自然数的集合。同时他还认为【没有整个数列可以包括数列中所有的项。】我认为,如果是坚持这种潜无穷观,是不可能正确接受「集合」这个概念的,甚至连「数列」这个概念也不能正确接受。正确的认识是「自然数集合」包括了全体自然数作为元素,「整个数列」包括了数列中所有的项。

 

14,林益先生说他质疑书上的东西,都是有跟据的。但是却问【有根据, 根据一定要拿吗?

我们是在讨论数学问题,是在寻求正确的答案,你质疑的根据和理由一定要拿出來让大家看看,是否正确。如果讨论后根据是错误的,不是就可以不质疑了吗?怎么这样的道理也要问。

 

15,【必须要接受客观事实和实践的检验】 这不是那么简单的事。

常常想像的,说的是接受了检验,可是实际上并不是真正的检验。有些人常常把符合他自己的感观或直观当作实践检验,这完全是错误的。这里必须具体间题具体分析。

另外,客观检验是正确的,必须首先在逻辑上是正确的,如果在逻辑上是错误的,在客观上就不可能检验是正确的。因而数学就特别强调逻辑上的正确性。我们的数学讨论也大多通过摆事实讲道理在逻辑上先追求正确,再通过实践检验。

我非常欣赏这个《数学啄木鳥专栏》。通过反复的讨论,树立了正确的理论,批评和纠正了错误的论点。从整体上起到了啄木鳥消除害虫的作用。我们大家网友都是啄木鳥,而错误的论点才是害虫。

 

参考资料。

Zmn-0522 林   益  “集合的元素是确定的,不可改变和增加。” 谁定的标准?

Zmn-0517 薛问天: 集合的元素是确定的,不可改变和增加。评林益《0492》 

Zmn-0492 林   益:《Zmn-0479》评论的评论   

Zmn-0479 薛问天: 评李鸿仪先生《Zmn-0468》对康托定理证明的质疑。  

 



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   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       

 




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