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Zmn-0536 薛问天：【神奇的小数】不神奇，评新华先生《0510》

已有 1542 次阅读 2021-4-17 08:24 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0536 薛问天：【神奇的小数】不神奇，评新华先生《0510》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生《0510》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

【神奇的小数】不神奇，

评新华先生《0510》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 区间[0,1]中的实数，可以表示为无穷小数。这些实数的很多有趣属性，在数学上已有很多研究。新华先生感到的很多神奇未解的问题。实际已经得到了解决。我们來仔细分析。

1，新华先生在"1"中所举的十进小数全是有穷小数。

因为他认为【十进制小数可以用将区间[0,1)不断的十等分了获得】，所以这些【分点所表示的十进制小数】只能是有穷位小数。他列出的所有十进有穷小数的个数的公式是9+9x10+9x10²+...。这是无穷级数，在极限理论中它等于部分和序列的极限，是∞ 。而不是没有意义的10^∞。

2，在这里林先生承认有无穷位小数，计算公式中考虑到了无穷个位。

公式计算的是所有无穷小数的个数，等于10x10x10x...。在这里林先生承认有无穷位小数，计算公式中考虑到了无穷个位。但是用的是极限的方法，遇到了无穷次的乘法演算，如果把无穷乘积定义为有穷乘积序列的极限，所得的个数仍然是∞，而不是无意义的10^∞。

3，新华先生提出了一种【把无穷十进制小数末尾的 0 都去掉】的方法。

但是他没有注意到，並不是所有的无穷小数尾部都有无穷个0。尾部有无穷个0的都是有穷小数。大量的无穷小数尾部並无无穷个0。因而新华先生在类似于"1"的计算公式中，只算了位数是有穷自然数的有穷小数的个数，并未包括位数是无穷的无穷小数的个数。所说的是无穷位小数，但计算的无穷级数中，仍然没有把无穷位小数的个数算进去，同"1"一样，只算了有穷小数。用极限计算的结果是∞，而不是无意义的10^∞。

4，通过上述三条可知，极限理论是算不出无穷集的【元素个数】的。

因为极限理论是在实数范围内研究的。用极限理论只知道这些无穷集个数的极限都等于∞，都是无穷集。要知道无穷集的【元素个数】仍然是有很大区别的。只有在集合论中，才能研究集合的基数，反映集合的【元素个数】之不同。因而这些公式算出的结果对实际上它的集合的【元素个数】是没有意义的。

在基数理论中是这样计算无穷集合的基数的。

对于所有有穷小数集的基数，如"1"中所述，等于9+9x10+9x10²+...。这是可数无穷多个有穷集的并集，它的基数等于可数无穷，即ℵ₀。

对于所有无穷小数集的基数，如"2"所述，它等于10x10x10x...。这是10的可数无穷次幂10^ℵ0。按照基数的幂集演算，它的结果基数是连续统ℵ，大于ℵ₀。

新华先生认为有穷小数和无穷小数【从个数的统计分析似乎没有区别，这就充分体现出“小数基本性质” 的神奇。 】是不对的，所有的有穷小数和所有的无穷小数的区别很大，它们的基数是完全不同的。:

5，新华先生在"5"中提出的两个问题很容易回答。

1)、区间[0,1)中的十进制小数，除了有穷小数外还应当有大量的十进制无穷小数，其中有无理数和以循环小数表示的有理数。

2)、区间[0,1)中无穷十进制小数按照小数基本性质转换去掉尾0后，当然还剩余大量没有转换的无穷十进制小数。因为以无穷个0结尾的只是所有的有穷小数，大量的无穷十进制小数并没有以无穷个0结尾。

6，显然，不承认无穷对象的存在，把无穷看作是延伸的有穷，就只能承认有穷小数，而不能承认无穷小数的存在。

持这种观点者也不会承认"2"中的无穷位小数。这就是持潜无穷观者的悲哀。他们只能研究有穷小数，连无理数和循环小数(是有理数)都无法研究。

7，新华先生在7中提出了一种观点:【7、如果按照实无穷观点，“2、” 区间[0,1)中无穷十进制小数构造已经完成，末尾的 0 也必然确定，利用“小数基本性质”并不影响十进制小数的个数，剩余都是末尾没有 0 的无穷十进制小数。那么“1、” 区间[0,1)中的十进制小数也可以按照自然数的延伸规律不断产生末尾不为 0 的有限十进制小数，如果承认有无穷位，那么延伸到无穷位，不是同样构造与“2、” 区间[0,1)中无穷十进制小数构造能完成吗？表明“1、” 区间[0,1)中的十进制小数与“2、” 区间[0,1)中无穷十进制小数还是没有区别】

这里涉及到对有穷小数和无穷的小数的认识问题。新华先生认为，有穷小数【可以按照自然数的延伸规律不断产生末尾不为 0 的有限十进制小数，...构造 ...无穷十进制小数 】。这种认识是不对的，看得过于简单了。实际是有穷小数通过延伸它的位数只能构造有穷小数，而不能构造无穷小数。这个道理就是自然数的道理，有穷集合通过个数加1的运算，只能生成有穷集合，而生不成无穷集合。有穷小数通过增加位数，还是有穷小数。总之通过位数的延伸是构造不了无穷小数的。要使一个小数中拥有所有的无穷个位，才是无穷小数。这就是一种飞跃，要有一种特殊的演算，直接给定无穷个位，或使有穷小数增加无穷个位，才能成为无穷小数。另外，当执行了这种演算，已经成为无穷小数后，就不是有穷小数了，就不是通过延伸产生的有穷小数。当然这种无穷小数，就不会存在于:"1"中所考虑的有穷小数之中了。可见新华先生认为“1”中的十进制小数与“2” 中的无穷十进制小数【还是没有区别】的看法是完全错误的。「所有有穷小数的集合」中的有穷小数的位数没有限制，是个无穷集合。但是这种集合中连一个无穷小数都没有，集合中没有位数是无穷的无穷小数。集合中的元素全是有穷小数。所以"1"的「有穷小数的集合」同"2"的「无穷小数的集合」是根本不同的。

8，新华先生8中提出的两个问题很好回答。

因为他在前面得出的结论是错误的。他的结论【“1、” 区间[0,1)中的十进制小数与“2、” 区间[0,1)中无穷十进制小数还是没有区别。】是错误的。"1"中是所有有穷小数，"2"中是所有无穷小数。它们不是【没有区别】，而是区别很大。新华先生认到，"1"中有穷小数代表的只是部分有理数，这种十进制小数代表不了区间中的所有实数。所以只有"2"中的「无穷十进制小数」才真能代表区间[0,1)中实数。这就是问题(1)的正确回答。

康托尔基数的计算结果，「所有无穷小数集合」的基数是ℵ=10^ℵ0>ℵ₀。「所有有穷小数集合」的基数是ℵ₀，按基数理论应有ℵ>ℵ₀。而与其矛盾的【ℵ=ℵ₀】，是由新华先生【没有区别】的错误结论引起的。当这个错误纠正后，矛盾就会烟消云散。这就是对问题(2)的正确回答。

参考资料。

Zmn-0510 新华：神奇的小数基本性质

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