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Zmn-0533 薛问天：无穷级数同部分和序列是两个不同的概念。评林益《0509》。
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Zmn-0533 薛问天：无穷级数同部分和序列是两个不同的概念。评林益《0509》。
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《Zmn-0509》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
无穷级数同部分和序列是两个不同的概念。
评林益《0509》。
薛问天
一，数学概念的符号标记不要那么死板。
我最近在想，为什么林益先生反对我用英文字母"S"來表示「无穷级数的和」，说这是【错误】(文中2)。想來想去，原來他对数学概念的名称和符号标记有偏见，过分死板和主观。他说【理由是： S 通常表示为确定的数值或确定的函数，属性是确定的】。哪里有这样的规定，这完全是林益先生的偏见和过分的死板和主观。数学中允许用任何字母和字母串以及汉语來作为数学对象的标记，没有任何限制。在这里，我用S表示无穷级数的和，无可厚非。无穷级数的和有的情况，就是它的标记有的情况。这里有三种情况，S可能是确定的值，可能是无穷大，也可能在部分和序列没有极限时，它什么都不是。有趣的是，林益先生认为用S标记是错误的，但是他认为用S∞來标记就成为正确的了。他没有讲理由。不过部分和序列是用S1,s2,...表示的。如果它认为无穷级数的和是部分和序列中的一个无穷项S∞，那可要犯严重错误。因为无穷序列并无最后的第无穷项。
二，在文中3，林益先生认为既使部分和的极限存在，它也不能等于无穷级数的和，因为极限是确定的数，而无穷级数【的属性是在延伸不断变化，】这就是林益先生一个严重的认识错误。
不断延伸变化的是【部分和序列】，是这个序列【在延伸不断变化】。由于无穷级数已经包括了所有这无穷个延伸的项的相加，所以你所说的延伸都是重复过去己经作过的延伸。无穷级数就己经是确定的对象，不能再有新的延伸和变化了。所以说这个定义是正确的。如果部分和的极限存在，这个确定的数就是无穷级数的和。如果极限是无穷大则S是无穷大，如果部分和没有极限，则S什么也不是。
三，关于4中对无穷小数0.999...的讨论，林益先生在认识上有个错误。关键是从概念上没有分清无穷级数同部分和序列这两个不同的概念。
无穷小数0.999...是无穷级数，是一个确定的实数。而它的部分和序列0.9,0.99,0.999,...是个实数的无穷序列，有无穷多个值。是0.999...等于「部分和序列」的极限。这个极限值不是无穷级数【0.999...的极限值。】而是0.999...的确切值。所谓的【极限不可达】，指的这个序列的n不会等于∞。並不是指序列的每个项(有穷小数)不等于极限值，更不是指无穷级数0.999..不等于极限值。
四，林益先生文中5,6的错误，是由于认知的误区，错误地以为【按照数学分析中数列极限的定义，不存在无限极限，】
我已在《0530》中列出了关于无穷极限的教材原文。在极限论中是有无限极限的定义的。认为【不存在无限极限，】是严重的认知缺陷。
五，我们來看林益先生对0.999...=1证明的质疑。
他提出两点。第(1)点，林先生说【无穷级数 0.9+0.09+0.009+⋯中的省略号“⋯”表明无穷级数在不断延伸，值在不断增加变化中，属性不是定值， 因此x的属性与无穷级数 0.9+0.09+0.009+⋯的属性完全不同， x是静态的， 无穷级数 0.9+0.09+0.009+⋯是动态的； 】
这段话是毫无道理的。根据什么就说【省略号“⋯”表明无穷级数在不断延伸，值在不断增加变化中，】这3个点的省略号完全可以代表所有这无穷个项的相加，从而这个无穷级数就是包括所有应加的项的全部相加。只是部分和序列的值【值在不断增加变化中】，但是作为无穷级数已经把所有应加的无穷个项全部相加后，怎么还会【值在不断增加变化中】呢？这样的质疑没有任何道理。
第(2)点，林先生说【如果对照定理K， 应该是 0.999...→x， 根据定理K，令k=10， 9.999⋯→10x，不是 10x=9.999⋯， 】在这里林益先生又犯了我在(三)中所讲的错误，把「无穷级数」同「部分和序列」混为一谈了。我在《0503》的证明中写得非常清楚。
〖己知无穷小数x=0.999…，是无穷级数:
x=0.9+0.09+0.009+......。由于无穷级数的和等于部分和序列的极限，所以x等于序列0.9，0.99，0.999，.....的极限，而且x是有限极限，根据定理K，令k=10，显然10x等于序列 9，9.9，9.99，...的极限，即10x=9+0.9+0.09+...=9.999....
所以10x=9.999...是可以严格证明的。〗
这段证明还可用《0512》提供的更严密的方法來证明。
①，由于无穷小数0.999...，作为无穷级数，它的部分和序列是递增和有界序列，有确定的有限极限存在。所以令0.999...= x，是完全合理的。
x=0.9+0.09+0.009+......=Lim｛0.9，0.99，0.999，.....｝
②，根据极限理论中的【定理K】，令k=10，则可证
10x=10X(0.999...)=10XLim｛ 0.9, 0.99，0.999,...｝=Lim｛9, 9.9, 9.99, ...｝。
③，再根据极限理论中的【定理+-x】和【定理A】可证
10x=Lim｛9, 9.9, 9.99, ...｝
=Lim｛9，9，9，...｝+Lim｛0，0.9，0.99，...｝
=9+Lim｛0.9，0.99，0.999，...｝
=9+(0.999...)=9+x。
这里讲的很清楚，不是林先生所讲的【0.999...→x】而是0.999...=x，不是【9.999⋯→10x】，而是
10x=10X(0.999...)=10XLim｛0.9, 0.99, 0.999，...｝=Lim｛9, 9.9, 9.99, ...｝=9,999...。
所以林益先生对证明所质疑的两点均不成立。
六，林益先生在8,9中观点的错误，仍然是把无穷级数同部分和序列混为一谈了，甚至认为无穷级数是部分和序列的【缩写】。
部分和序列的极限为1，他却说是【0.999⋯的极限为 1】，还说如果0.999...=1，就犯了【极限可达】的错误。这就是他认识上的错误，0.999...是「无穷级数」等于1。趋近于极限的是「部分和序列」。我们知道极限不可达，是指序列的n不等于∞。不是指在部分和序列中的每个项都不能等于极限1。而无穷级数却是根据定义等于极限，等于1。他所说的用实践检验0.999...≠1，实际上是检验出部分和序列中的有穷小数不等于1。他所画的图，都是部分和序列中的各个项的图，就没有画出无穷级数的图。他根本没有能检验出无穷小数0.999...≠1。他把无穷小数同有穷小数混为一谈了。
其实林益先生把无穷级数0.999...同部分和序列混为一谈，就矛盾重重。部分和序列有无穷多个数值，那么0.999...指的是序列中的哪一个值？说999...く1，但又要大于部分和序列中所有的值，请问林益先生，有这样的值存在吗？
七，林益先生最后提出了所谓【近千年数学界的一个数学悖论】。
其实这些所谓古代的【悖论】，早已被现代数学消解，纯粹是逻辑上不严谨的错误。确实不值得现在还拿它來说事。让我们來分析一下林益先生所举的【悖论】。
林先生说【令 S=1+x+x2+x3 ⋯ (1)；
(1)两边同乘以x得， xS= x+x2+x3+x4+ ⋯ (2)；
(1)- (2) 得， S- xS=1 (3)；
(3)两边同除以 1-x，得 S=1/(1-x) (4)；
由(1)与(4)得， 1+x+x2+x3 ⋯ =1/(1-x)。
在推导过程中，根本推不出收敛区间|x|<1。】
实际上根据无穷级数的和是部分和的极限，以及极限的有关定理可证下面有关无穷级数的定理。
定理1 ，如果无穷级数A=a1+a2+a3+...和B=b1+b2+b3+...中的A和B是有限值，则
无穷级数∑1∞(an+bn)=A+B，
无穷级数∑1∞(an-bn)=A-B，
无穷级数∑1∞(anXbn)=AXB，
在所有bn≠0和B≠0的条件下，无穷级数∑1∞(an/bn)=A/B，
定理2，对任何实数k，如果无穷级数A=a1+a2+a3+...中的A是有限值，则无穷级数∑1∞(kXan)=kXA，
当然这里的条件A，B是有限值的这个条件是非常重要的。这个条件不滿足，定理则不适用。
我们用这两个定理來审核上述证明。显然林先生所说的【在推导过程中，根本推不出收敛区间 |x|<1。】是不对的，推导过程必须要求 |x|<1。
式(1)是个无穷级数。S可能有三种情况，S可以不是有限值。 (我感到奇怪了，林先说我用S是错误的，怎么在这里他也用S来表示无穷级数了。)
但是式(2)要成立和式(3)要成立，根据定理，则必须要求S是有限值。因为只有 |x|<1时，部分和序列才收斂，S才是有限值。所以这段推理是在 |x|<1的条件下，在S是有限值时，根据定理，(2)和(3)成立。
式(3)两边同除以 1-x，等于同乘以k=1/(1-x)。所以根据定理得(4)成立。
所以说在条件|x|<1下可以严格证明1+x+x2+x3 ⋯ =1/(1-x)。而林益先生的结论【数学分析把它作为公式是绝对错误的。】才是绝对错误的。
范秀山博士的错误就是忽视了这里无穷级数必须是有限值的条件。他以在不是有限值时不成立，來反对这个公式在是有限值时成立，从而犯了错误。
林益先生最后用极限的方法也证明了:
当|x|<1 时， n→∞时， 部分和序列Sn(x)的极限函数S(x)= 1/(1-x)。；
这个证明基本上是正确的。只是不应把x=0排除在外，单独來证。x=0也满足公式S(0)=1。主要是林益先生对极限不可达理解的错误。极限不可达，是指序列的n不等于∞。不是指在部分和序列中的每个项都不能等于极限。是允许部分和序列中的项等于极限的。
当然林益先生最重要的错误是把「无穷级数」和「部分和序列」两个不同的概念混为一谈了。你证明的是「部分和序列」Ｓn(x)→1/(1-x)，而不是
「无穷级数」1+x+x2+x3 ⋯→1/(1-x)，
由于「无穷级数」等于「部分和序列」的极限，所以1+x+x2+x3 ⋯=1/(1-x)。
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