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Zmn-0533 薛问天:无穷级数同部分和序列是两个不同的概念。评林益《0509》。

已有 964 次阅读 2021-4-15 08:32 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0533 薛问天:无穷级数同部分和序列是两个不同的概念。评林益《0509》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益先生《Zmn-0509》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

无穷级数同部分和序列是两个不同的概念。

评林益《0509》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,数学概念的符号标记不要那么死板。

我最近在想,为什么林益先生反对我用英文字母"S"來表示「无穷级数的和」,说这是【错误】(文中2)。想來想去,原來他对数学概念的名称和符号标记有偏见,过分死板和主观。他说【理由是: S 通常表示为确定的数值或确定的函数,属性是确定的】。哪里有这样的规定,这完全是林益先生的偏见和过分的死板和主观。数学中允许用任何字母和字母串以及汉语來作为数学对象的标记,没有任何限制。在这里,我用S表示无穷级数的和,无可厚非。无穷级数的和有的情况,就是它的标记有的情况。这里有三种情况,S可能是确定的值,可能是无穷大,也可能在部分和序列没有极限时,它什么都不是。有趣的是,林益先生认为用S标记是错误的,但是他认为用S來标记就成为正确的了。他没有讲理由。不过部分和序列是用S1,s2,...表示的。如果它认为无穷级数的和是部分和序列中的一个无穷项S,那可要犯严重错误。因为无穷序列并无最后的第无穷项。

 

二,在文中3,林益先生认为既使部分和的极限存在,它也不能等于无穷级数的和,因为极限是确定的数,而无穷级数【的属性是在延伸不断变化,】这就是林益先生一个严重的认识错误。

不断延伸变化的是【部分和序列】,是这个序列【在延伸不断变化】。由于无穷级数已经包括了所有这无穷个延伸的项的相加,所以你所说的延伸都是重复过去己经作过的延伸。无穷级数就己经是确定的对象,不能再有新的延伸和变化了。所以说这个定义是正确的。如果部分和的极限存在,这个确定的数就是无穷级数的和。如果极限是无穷大则S是无穷大,如果部分和没有极限,则S什么也不是。

 

 

三,关于4中对无穷小数0.999...的讨论,林益先生在认识上有个错误。关键是从概念上没有分清无穷级数部分和序列这两个不同的概念。

无穷小数0.999...是无穷级数,是一个确定的实数。而它的部分和序列0.9,0.99,0.999,...是个实数的无穷序列,有无穷多个值。是0.999...等于「部分和序列」的极限。这个极限值不是无穷级数【0.999...的极限值。】而是0.999...的确切值。所谓的【极限不可达】,指的这个序列的n不会等于∞。並不是指序列的每个项(有穷小数)不等于极限值,更不是指无穷级数0.999..不等于极限值。

 

四,林益先生文中5,6的错误,是由于认知的误区,错误地以为【按照数学分析中数列极限的定义,不存在无限极限,

我已在《0530》中列出了关于无穷极限的教材原文。在极限论中是有无限极限的定义的。认为【不存在无限极限,】是严重的认知缺陷。

 

五,我们來看林益先生对0.999...=1证明的质疑。

他提出两点。第(1)点,林先生说【无穷级数 0.9+0.09+0.009+⋯中的省略号“⋯”表明无穷级数在不断延伸,值在不断增加变化中,属性不是定值, 因此x的属性与无穷级数 0.9+0.09+0.009+⋯的属性完全不同, x是静态的, 无穷级数 0.9+0.09+0.009+⋯是动态的;

这段话是毫无道理的。根据什么就说【省略号“⋯”表明无穷级数在不断延伸,值在不断增加变化中,这3个点的省略号完全可以代表所有这无穷个项的相加,从而这个无穷级数就是包括所有应加的项的全部相加。只是部分和序列的值【值在不断增加变化中】,但是作为无穷级数已经把所有应加的无穷个项全部相加后,怎么还会【值在不断增加变化中】呢?这样的质疑没有任何道理。

第(2)点,林先生说【如果对照定理K, 应该是 0.999...→x, 根据定理K,令k=10, 9.999⋯→10x,不是 10x=9.999⋯, 】在这里林益先生又犯了我在(三)中所讲的错误,把「无穷级数」同「部分和序列」混为一谈了。我在《0503》的证明中写得非常清楚。

〖己知无穷小数x=0.999…,是无穷级数:

x=0.9+0.09+0.009+......。由于无穷级数的和等于部分和序列的极限,所以x等于序列0.9,0.99,0.999,.....的极限,而且x是有限极限,根据定理K,令k=10,显然10x等于序列 9,9.9,9.99,...的极限,即10x=9+0.9+0.09+...=9.999....

所以10x=9.999...是可以严格证明的。〗

这段证明还可用《0512》提供的更严密的方法來证明。

①,由于无穷小数0.999...,作为无穷级数,它的部分和序列是递增和有界序列,有确定的有限极限存在。所以令0.999...= x,是完全合理的。

x=0.9+0.09+0.009+......=Lim{0.9,0.99,0.999,.....}

②,根据极限理论中的【定理K】,令k=10,则可证

10x=10X(0.999...)=10XLim{ 0.9, 0.99,0.999,...}=Lim{9, 9.9, 9.99, ...}。

③,再根据极限理论中的【定理+-x】和【定理A】可证

10x=Lim{9, 9.9, 9.99, ...}

=Lim{9,9,9,...}+Lim{0,0.9,0.99,...}

=9+Lim{0.9,0.99,0.999,...}

=9+(0.999...)=9+x

这里讲的很清楚,不是林先生所讲的【0.999...→x】而是0.999...=x,不是【9.999⋯→10x】,而是

10x=10X(0.999...)=10XLim{0.9, 0.99, 0.999,...}=Lim{9, 9.9, 9.99, ...}=9,999...

所以林益先生对证明所质疑的两点均不成立。

 

六,林益先生在8,9中观点的错误,仍然是把无穷级数同部分和序列混为一谈了,甚至认为无穷级数是部分和序列的【缩写】。

部分和序列的极限为1,他却说是【0.999⋯的极限为 1】,还说如果0.999...=1,就犯了【极限可达】的错误。这就是他认识上的错误,0.999...是「无穷级数」等于1。趋近于极限的是「部分和序列」。我们知道极限不可达,是指序列的n不等于∞。不是指在部分和序列中的每个项都不能等于极限1。而无穷级数却是根据定义等于极限,等于1。他所说的用实践检验0.999...≠1,实际上是检验出部分和序列中的有穷小数不等于1。他所画的图,都是部分和序列中的各个项的图,就没有画出无穷级数的图。他根本没有能检验出无穷小数0.999...≠1。他把无穷小数同有穷小数混为一谈了。

其实林益先生把无穷级数0.999...同部分和序列混为一谈,就矛盾重重。部分和序列有无穷多个数值,那么0.999...指的是序列中的哪一个值?说999...く1,但又要大于部分和序列中所有的值,请问林益先生,有这样的值存在吗?

 

七,林益先生最后提出了所谓【近千年数学界的一个数学悖论】。

其实这些所谓古代的【悖论】,早已被现代数学消解,纯粹是逻辑上不严谨的错误。确实不值得现在还拿它來说事。让我们來分析一下林益先生所举的【悖论】。

林先生说【令 S=1+x+x2+x3 ⋯      (1);

 (1)两边同乘以x得, xS= x+x2+x3+x4+ ⋯   (2);

 (1)- (2) 得, S- xS=1      (3); 

(3)两边同除以 1-x,得 S=1/(1-x)      (4);

由(1)与(4)得, 1+x+x2+x3 ⋯ =1/(1-x)。

在推导过程中,根本推不出收敛区间|x|<1。

 

实际上根据无穷级数的和是部分和的极限,以及极限的有关定理可证下面有关无穷级数的定理。

定理1 ,如果无穷级数A=a1+a2+a3+...和B=b1+b2+b3+...中的A和B是有限值,则

无穷级数∑1(an+bn)=A+B,

无穷级数∑1(an-bn)=A-B,

无穷级数∑1∞(anXbn)=AXB,

在所有bn≠0和B≠0的条件下,无穷级数∑1(an/bn)=A/B,

定理2,对任何实数k,如果无穷级数A=a1+a2+a3+...中的A是有限值,则无穷级数∑1(kXan)=kXA,

当然这里的条件A,B是有限值的这个条件是非常重要的。这个条件不滿足,定理则不适用。

我们用这两个定理來审核上述证明。显然林先生所说的【在推导过程中,根本推不出收敛区间 |x|<1。】是不对的,推导过程必须要求 |x|<1

式(1)是个无穷级数。S可能有三种情况,S可以不是有限值。 (我感到奇怪了,林先说我用S是错误的,怎么在这里他也用S来表示无穷级数了。) 

但是式(2)要成立和式(3)要成立,根据定理,则必须要求S是有限值。因为只有 |x|<1时,部分和序列才收斂,S才是有限值。所以这段推理是在 |x|<1的条件下,在S是有限值时,根据定理,(2)和(3)成立。

式(3)两边同除以 1-x,等于同乘以k=1/(1-x)。所以根据定理得(4)成立。

所以说在条件|x|<1下可以严格证明1+x+x2+x3 ⋯ =1/(1-x)。而林益先生的结论【数学分析把它作为公式是绝对错误的。】才是绝对错误的。

范秀山博士的错误就是忽视了这里无穷级数必须是有限值的条件。他以在不是有限值时不成立,來反对这个公式在是有限值时成立,从而犯了错误。

林益先生最后用极限的方法也证明了:

当|x|<1 时, n→∞时, 部分和序列Sn(x)的极限函数S(x)= 1/(1-x)。; 

这个证明基本上是正确的。只是不应把x=0排除在外,单独來证。x=0也满足公式S(0)=1。主要是林益先生对极限不可达理解的错误。极限不可达,是指序列的n不等于∞。不是指在部分和序列中的每个项都不能等于极限。是允许部分和序列中的项等于极限的。

当然林益先生最重要的错误是把「无穷级数」和「部分和序列」两个不同的概念混为一谈了。你证明的是「部分和序列」Sn(x)→1/(1-x),而不是

「无穷级数」1+x+x2+x3 ⋯→1/(1-x),

由于「无穷级数」等于「部分和序列」的极限,所以1+x+x2+x3 ⋯=1/(1-x)。



 

 

 

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